线性代数

全国2010年1月高等教育自学考试

线性代数试题

课程代码：02198

 

说明：本卷中，A^T表示矩阵A的转置，α^T表示向量α的转置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，A^-1表示方阵A的逆矩阵，R（A）表示矩阵A的秩.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设行列式 （      ）

A.                                                             B.1

C.2                                                              D.

2.设A，B，C为同阶可逆方阵，则（ABC）^-1=（      ）

A. A^-1B^-1C^-1                                                  B. C^-1B^-1A^-1

C. C^-1A^-1B^-1                                                  D. A^-1C^-1B^-1

3.设α₁，α₂，α₃，α₄是4维列向量，矩阵A=（α₁，α₂，α₃，α₄），如果|A|=2，则|-2A|=（      ）

A.-32                                                           B.-4

C.4                                                              D.32

4.设方阵A满足A⁵=E，则必有（      ）

A.A=E                                                         B.A=-E

C.|A|=1                                                        D.|A|=-1

5.设α₁，α₂，α₃，α₄ 是三维实向量，则（      ）

A. α₁，α₂，α₃，α₄一定线性无关          B. α₁一定可由α₂，α₃，α₄线性表出

C. α₁，α₂，α₃，α₄一定线性相关          D. α₁，α₂，α₃一定线性无关

6.设A是4×6矩阵，R（A）=2，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数是（      ）

A.1                                                              B.2

C.3                                                              D.4

7.设A= ，则以下向量中是A的特征向量的是（      ）

A.（1，1，1）^T                                           B.（1，1，3）^T

C.（1，1，0）^T                                           D.（1，0，-3）^T

8.设矩阵A= 的三个特征值分别为λ₁，λ₂，λ₃，则λ₁+λ₂+λ₃ = （      ）

A.4                                                              B.5

C.6                                                              D.7

9.三元二次型f （x₁，x₂，x₃）= 的矩阵为（      ）

A.                                                B.

C.                                                D.

10.设矩阵A= 是正定矩阵，则a满足（      ）

A.a<2                                                          B.a=2

C.a=6                                                          D.a>6

 

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.行列式 =_________.

12.设方阵A满足A³-2A+E=0，则（A²-2E）^-1=_________.

13.设A= ，则A^-1=_________.

14.设α=（1，1，-1），β=（-2，1，0），γ=（-1，-2，1），则3α-β+5γ=_________.

15.实数向量空间V={（x₁,x₂,x₃）|x₁+x₂+x₃=0}的维数是_________.

16.设线性方程组 有无穷多个解，则a=_________.

17.设A是m×n实矩阵，若R（A^TA）=5，则R（A）=_________.

18.设n阶矩阵A有一个特征值3，则|-3E+A|=_________.

19.设向量α=（1，2，-2），β=（2，a，3），且α与β正交，则a=_________.

20.二次型 的秩为_________.

 

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21．计算行列式D= .

22.设A= ，判断A是否可逆，若可逆，求其逆矩阵A^-1.

23.设向量组α₁=（1，2，3，6），α₂=（1，-1，2，4），α₃=（-1，1，-2，-8），α₄=（1，2，3，2）.

（1）求该向量组的一个最大线性无关组；

（2）将其余向量表示为该最大线性无关组的线性组合.

24.求齐次线性方程组 的基础解系及其结构解.

25.设矩阵A= ，求可逆方阵P，使P^-1AP为对角矩阵.

26.已知二次型 的秩为2，求参数c.

 

四、证明题（本大题6分）

27．设方阵A与方阵B相似，证明：对任意正整数m，A^m与B^m相似.