戎艳生：一般形变空间中的几何学与张量分析基础

一般形变空间中的几何学与张量分析基础

戎艳生

摘要：提出了“非等分曲线坐标系”相关的基本概念。给出了非等分曲线坐标系中长度元的坐标表达式，指出了其中度规的“非黎曼性质”。定义了“形变空间”、“形变空间中的张量”以及“形变空间中的标量积”。指出了形变空间中(不同于黎曼空间)的几何特性。论述了形变空间中的张量在坐标系变换下的变换规律。论述了形变空间中标量、矢量和张量的平移规律，并得出了标量、矢量和张量协变微商公式。计算出了形变空间中“平移联络”，得出了形变空间中的短程线方程。推导出了形变空间中“形变张量”的数学表达式。发展了黎曼几何学和传统的张量分析理论。

关键词：非等分曲线坐标系 形变空间 张量张量的平移张量的协变微商平移联络 短程线方程 形变张量

 

1 非等分曲线

首先需要明确的是：任何观察者对于长度的测量结果都是用自身所在位置相对静止的尺量取的长度，即空间的测量具有相对性。在一般的黎曼空间中，只是空间各部分之间发生了不同程度的弯曲形变（空间本身并没有被拉伸或者压缩），空间中的曲线仍然是等分曲线。所谓“等分曲线”是指曲线上任意坐标差相同的两点之间的长度都相等。等分曲线包括等分直线为其特例。等分曲线上，对于任何位置的观察者而言，曲线的长度与坐标之间的函数关系为