|
所谓存在性探究、探索题是指在一定的条件下，判断某种数学对象是否存在的问题。这类问题构思巧妙，对考察学生思维的敏锐性、推理的严密性具有独特的作用。存在性试题近年来频繁出现在中考试卷及各类竞赛考试中，主要以解答题的形式出现，其内容涉及到代数、几何等各知识点。 对存在性探索问题的解法思路一般是：先假设结论的某一个方面成立，通过结合已知条件数学公式、定理进行演算、推理论证，得到某一结论。如果推理、演算得到的结论与某个已知条件、某个公式、定理相矛盾，说明我们前面的假设不成立；若通过推理、计算，得到的结论符合已知条件、公式、定理（包括客观的事实），说明我们前面的假设成立；整个过程可以概括为：“假设………推理…………否定或肯定结论…………得到结论” 中考数学二轮复习资料下载请点击： 例1：如图所示，已知A(1,0)、B ，C、D为直角坐标系内两点，点C在x轴负半轴上，且OC=2OA，以A点为圆心、OA为半径 作⊙A。直线CD切⊙A于D点，连结OD。 （1）求点D的坐标； （2）求经过O、B、D三点的抛物线解析式； （3）判断在（2）中所得的抛物线上是否存在一点P，使ΔDCP∽ΔOCD？若存在，求出P点坐标；不存在，请说明理由。 分析：本例中第（3）小题是结论探索型题目。欲判断在第2小题中得到的抛物线上是否存在一点P，使ΔDCP∽ΔOCD，可从代数、几何两个方面入手去考虑。从代数入手，可先求抛物线与x轴的交点坐标，然后证明该点在⊙A上，进而证明该点满足条件ΔDCP∽ΔOCD。从几何入手，可先考虑⊙A与x轴的另一交点（设为F）。不难证明ΔDCF∽ΔOCD。再证明点在（2）中所得的抛物线上，进而知F即为P点。 解：（1）连结AD，则AD⊥CD于D,作DE⊥OA于E。 ∵ 点A坐标为（1，0），且OC=2OA，∴AC=3， ∵ sin∠ACD= , ∴sin∠ADE= , ∴ AE= ,因而OE=1－ = ， ∴ DE= ， ∴ D点坐标为( ). （2）设抛物线y=ax2+bx+c经过O(0,0)、B( )、D( ), 则C=0，且 解得： ， ∴ 所求的抛物线的解析式为y=- x2+ x. （3）设⊙A与x轴的另一个交点为F(2,0)，连结DF， ∵ CD切⊙A于D，∴∠CDO=∠CFD， 又∠DCO=∠FCD，∴ΔOCD∽ΔDCF， 将x=2代入y=- x2+ x中，得y=0， ∴ F（2，0）在抛物线上， ∴点F即为所求的P点， ∴ 抛物线y=- x2+ x上存在一点P，使ΔPCD∽ΔDCO。 说明：本例并未要求判断结论的唯一性，若存在，找到一个就可以了，在这里，观察、分析，采用合情推理进行判断起了关键作用。 例2 已知点A(-1,-1)在抛物线y=(k2-1)x2-2(k-2)x+1上。 （1）求抛物线的对称轴。 （2）若B与A点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点B的直线？如果存在，求符合条件的直线；如果不存在，说明理由。 分析：（1）用待定系数法确定函数解析式，从而求抛物线对称轴。 （2）由轴对称性可求B点坐标。结合图形进行综合分析，利用解方程组判定直线的存在性。 解答：（1）∵ A(-1,-1)在抛物线y=(k2-1)x2-2(k-2)x+1上， ∴ -1=k2-1+2(k-2)+1, k2+2k-3=0, ∴ k1=1, k2=-3, ∵ k2-1≠0, ∴k1=1(舍去), ∴k=-3. ∴ y=8x2+10x+1, 得对称轴为x=- . （2）∵ B点与A点关于x=- 对称， ∴ B点坐标为(x, -1)，且B点在抛物线上， 由(1)知，抛物线为y=8x2+10x+1. ∴ -1=8x2+10x+1, 4x2+5x+1=0, ∴ x1=-1, x2=- , ∴ B点坐标为(- ,-1). (i)假设存在直线y=mx+n与抛物线y=8x2+10x+1只交于一点B，则-1=- m+n，即 m-4n=4.............① 又由 只有一个实数解， 得8x2+(10-m)x+1-n=0 ∵ Δ=0, ∴ (10-m)2-32(1-n)=0...........② 由①,②解得 ∴y=6x+ . (ii)当直线过B(- ,-1)且与y轴平行时，直线与抛物线只有一个交点，此时直线为x=- . ∴ 符合条件的直线为y=6x+ ，x=- . 误区：误认为与抛物线只有一个公共点的直线只有y=6x+ 或x=- . 说明：在结论探索题中，常见的一类就是探索存在性的问题，这类问题的特点是探求命题的结论是否存在。一般的求解方法是：假设结论存在，如果求出的结论符合已知条件则结论存在；如果求出结论不符合已知条件或与定理、公理等相矛盾，则结论不存在。探求存在型试题可以考查学生的判断能力和发现问题、解决问题的能力 |
|
|
