“三招”搞定方差的大小比较

“三招”搞定方差的大小比较

湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学　赵国瑞

在近几年的中考试题中，经常出现一类比较两组数据方差大小的问题．那么应该怎样比较两组数据的方差大小呢？现归纳总结三种方法，以供参考．

 

一、公式比较法

 

先根据方差公式计算两组数据的方差，然后再比较方差的大小，这是比较方差大小的最直接也是最基本的方法．

 

例1　10名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，他们身高(单位：cm)如下表所示：

	队员1	队员2	队员3	队员4	队员5
甲队	177	176	175	172	175
乙队	170	175	173	174	183

 

设两队队员身高的平均数依次为，，身高的方差依次为，，则下列关系中完全正确的是(  )

 

A．=，＞        B．=，＜

 

C．＞，＞    D．＜，＜

 

解：=(177+176+175+172+175)=175，

 

=(170+175+173+174+180)=175，

 

所以=[(177-175)²+(176-175)²+(175-175)²+(172-175)²+(175-175)²]=2.8，

 

=[(170-175)²+(175-175)²+(173-175)²+(174-175)²+(183-175)²]=18.8．

 

显然，=，＜，答案选B．

 

点评：公式比较法的本质是计算两组数据的方差，由于方差是一组数据中各个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，所以求一组数据的方差可以简记为：先求平均数，再求差，然后平方，最后求平均数．

 

二、极差比较法

 

极差能够反映一组数据的变化范围，是最简单的一种度量数据波动情况的量．一组数据的极差越大，这组数据的波动范围就越大，这组数据就越不稳定．因此我们可以根据两组数据的极差并结合其他统计知识先判断两组数据的波动情况，然后比较方差大小．

 

例2　甲、乙两人5次射击命中的环数如下：

 

甲   7  9   8   6  10

 

乙   7  8   9   8  8

 

则这两人5次射击命中的环数的平均数==8，方差＿＿．(填“＞”“＜”或“=”)

 

解：甲组数据的极差是：10-7=3，乙组数据的极差是：9-7=2，且甲组数据中没有相同的数据，乙组数据中有3个相同的数据(都是8)，因此甲组数据波动大，即甲组数据的方差大，所以＞，故填“＞”．

 

点评：同学们也可先计算两组数据的方差，然后再比较与的大小，看看结果与“极差比较法”的结果是否一致．另外“极差比较法”也正好体现了“极差”与“方差”这两个统计量的密切联系．

 

三、折线统计图比较法

 

由于折线统计图可以反映数据的变化趋势，如果一组数据的变化趋势越小，这组数据就越稳定；反之，如果一组数据的变化趋势越大，这组数据就越不稳定．于是我们可以借助折线统计图来判断两组数据的波动情况，进而比较方差大小．

 

例3　如图是甲、乙两射击运动员的10次射击训练成绩(环数)的折线统计图，观察图形，甲、乙这10次射击成绩的方差，之间的大小关系是＿＿．

   

　　解：从折线统计图不难看出，甲运动员的射击训练成绩变化趋势小，乙运动员的射击训练成绩变化趋势大，因此＜．

 

点评：“折线统计图比较法”适合比较已经给出折线统计图的两组数据的方差．如果需要比较的两组数据没有给出折线统计图，这时宜选用“公式比较法”．如果已经给出折线统计图，那么“折线统计图比较法”就应该成为首先方法，因为运用它比较两组数据的波动情况非常直观．

 

需要说明的是，以上三种方法体现了极差、方差和折线统计图在刻画一组数据的波动情况时的密切联系，无论运用“公式比较法”或者“极差比较法”还是“折线统计图比较法”，都要注意运用它们的前提条件是只有在两组数据的平均数相等或比较接近的情况下，才能运用上述三种方法．离开了这个前提条件再来比较两组数据的方差就没有意义，甚至会得出错误的结论，这一点请同学们一定要注意呦！

 

做为练习，请同学们运用以上三种方法解决下面的问题，千万不要偷懒呦！

 

为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽出 10株苗，测得苗高如下(单位：cm)

 

甲：12，13，14，15 ，10，16，13，11，15，11

 

乙：11，16，17，14，13，19，6，8，10，16

 

设两种小麦苗高的方差依次为，，则，之间的大小关系是＿＿．(填“＞”“＜”或“=”)

 

参考答案：＜

2012-05-10  人教网