研究新课程近三年全国高考

研究新课程近三年全国高考

──谈极坐标与参数方程试题思考探究

贵州省习水县第一中学　袁嗣林

内容摘要：本文通过对新课程近三年高考极坐标与参数方程试题分析研究，明确提出所涉及的基本考点和应试策略．

 

关键词：极坐标与参数方程

 

一、新课程近三年高考极坐标与参数方程试题情况

 

2009年（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

 

已知曲线： （为参数），：（为参数）．

 

（Ⅰ）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

 

（Ⅱ）若上的点对应的参数为，为上的动点，求中点到直线

 

：（为参数）距离的最小值．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m          

 

解：（Ⅰ）由曲线：（为参数）得，

 

两式平方相加消去参数，得曲线的普通方程为：．为圆心是，半径是1的圆．

 

由曲线：（为参数）得，

 

两式平方相加消去参数，得曲线的普通方程为：． 为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．

 

（Ⅱ）因为上的点对应的参数为，故，又为上的点，所以，故中点为．

 

由：（为参数）消去参数知，为直线，则到的距离．.5.u.c.o.m          

 

从而当，时，取得最小值．

 

2010年（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

 

已知直线：（为参数），圆：（为参数），

 

（Ⅰ）当时，求与的交点坐标；

 

（Ⅱ）过坐标原点作的垂线，垂足为，为中点．当变化时，求点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

 

解：（Ⅰ）因为直线：（为参数）表示过定点，倾斜角为的直线，所以当时，的普通方程为，圆：（为参数）是圆心在圆点半径为的圆，的普通方程为．

 

联立方程组 ，解得与的交点为，．

 

（Ⅱ）由（Ⅰ）的普通方程为，即（或由直接消去参数可得）．

 

又直线垂直，所以直线的方程为．

 

联立方程组，解得点坐标为，

 

为的中点，故当变化时，点轨迹的参数方程为：（为参数），

 

由得，即，

 

两式平方相加得，点轨迹的普通方程为．

 

故点轨迹是圆心为，半径为的圆．

 

2011年（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

 

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），是上的动点，点满足，点的轨迹为曲线．

 

（Ⅰ）求的方程；

 

（Ⅱ）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求．

 

解：（Ⅰ）设，，则由条件，得，即．由于点在上，所以 ，即，

 

从而的参数方程为（为参数）．

 

（Ⅱ）由曲线的参数方程（为参数）得，两式平方相加得普通方程为，即，从而，又，所以曲线的极坐标方程为，同理，曲线的极坐标方程为．

 

射线与的交点的极径为，

 

射线与的交点的极径为．

 

根据极径的几何意义，得．

 

二、新课程近三年高考极坐标与参数方程试题考点分析

 

考点1：理解参数方程是以参变题量为中介表示曲线上的点的坐标的方程是同一曲线在同一坐标系下的又一种表现形式，掌握参数方程和普通的互化．

 

考点２：理解极坐标方程是以极径、极角为变题量的方程，掌握极点在原点，极轴在轴正半轴上时，极坐标方程和直角坐标方程可以互化．

 

考点3：掌握过定点，倾斜角为的直线参数方程（为参数），会用参数的几何意义，即直线上动点到定点的有向距离（位移）解决有关距离问题．（注意：形如（为参数）的直线的参数方程中，若，则参数有明显几何意义位移，若，则参数没有明显几何意义）．

 

考点４：掌握极坐标方程中的几何意义，会用的几何意义解决有关距离问题．

 

考点５：会根据曲线的参数方程，求出曲线的极坐标方程．

 

考点６：掌握根据曲线的参数方程设曲线上任意一点的坐标的方法．

 

考点７：掌握根据所给曲线的参数方程、极坐标方程分别化为普通方程和直角坐标方程，从而判断曲线类型的方法．

 

三、应试策略

 

1．理解和掌握以上７个基本考点的内容．

 

2．由于极坐标与参数方程是解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化，所以必须掌握好与以上相关内容．

 

如辅助角公式：，其中，，当，即，时，有最大值；当，即，时，有最小值．

 

3.由于高考评分参考答案标准较为简捷，因而书写只需说清问题即可．即“问什么，就回答什么”．

 

附：新课程近三年高考极坐标与参数方程试题高考评分参考答案:

 

【2009年】　解：（Ⅰ），．为圆心是，半径是1的圆．为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m          

 

（Ⅱ）当时，，，故．

 

为直线，到的距离．.5.u.c.o.m          

 

从而当，时，取得最小值．

 

【2010年】解：（Ⅰ）当时，的普通方程为，的普通方程为．

 

联立方程组 ，解得与的交点为，．

 

（Ⅱ）的普通方程为．

 

点坐标为，

 

故当变化时，点轨迹的参数方程为：（为参数），

 

点轨迹的普通方程为．

 

故点轨迹是圆心为，半径为的圆．

 

【2011年】解：（Ⅰ）设，则由条件知．由于点在上，所以

 

 ，即，

 

从而的参数方程为（为参数）．

 

（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．

 

射线与的交点的极径为，

 

射线与的交点的极径为．

 

所以．

 

4．高考是在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果你掌握极坐标参数方程内容，建议你选择“极坐标与参数方程”，因为该题较容易得满分．同时，由于极坐标与参数方程近三年考题的难易程度都差不多，因而预计2012年的考题的难易程度也不会有太大的变动．