佳题共颀赏　解法相与析

许愿真 2015-01-31

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佳题共颀赏　解法相与析

──赏析耐人寻味的三道不同年度高考向量题

湖北省阳新县高级中学　邹生书

“奇文共欣赏，疑义相与析”，这两句诗是晋代著名作家和诗人陶渊明在第一首《移居》诗中的最后两句，意思是共同欣赏诗文、分析疑难之意.2011年高考已落下帷幕，其中全国大纲卷理科第12题似曾相识，原来该题与08浙江卷理科第9题和10年浙江卷理科第16题，都是以平面向量为背景的最值问题，虽然题设条件各异构思各有千秋，但命题都以能力立意，重点考查灵活运用数学知识和思想方法解决问题的能力，其解题入口较宽方法多样，对学生综合素质的考查具有异曲同工之妙，“佳题共颀赏，解法相与析”，下面将这三道考题及其解法一一呈现出来与大家分享.

考题1（08年浙江卷理科第9题）已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（）

解法1（代数法）依题意，由得，，所以 .又，所以有即，解得，故选.

点评代数法的难点和关键是要将向量运算转化为数的运算，最终将等式转化为不等式从而使问题获解.

解法2（坐标法）作，并分别以作为轴，则，设，于是，整理得点的轨是一个圆.所以表示该圆上的点到原点的距离，所以的最大值是该圆的直径，故选择.

点评本解法通过建立适当的平面直角坐标，运用数形结合思想将向量问题代数化几何化，从而使问题得以解决.

解法3（几何法）如图1，作，则

，，依题意，所以

四点在以为直径的圆上，所以，故选.

　　　　图1

点评该解法将向量问题几何化，以形助数解法直观简明.

考题2（10年浙江卷理科第16题）已知平面向量满足，且与的夹角为，则的取值范围是＿＿

解法1（代数法）因为，所以，又与的夹角为，故有，即，因为这个关于的一元二次方程有实根，所以，

解得又，又，故的取值范围是.

解法2（坐标法）如图2，作平行四边形，使，

　　图2

由向量加法的平行四边形法则知，.

以点为坐标原点，以所在直线为轴建立直角坐标系如图所示.设，

依题意，则，因为直线的倾斜角为，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，故的取值范围是.

点评本解法综合运用数形结合思想、函数方程思想和化归转化思想，灵活运用坐标法，将向量问题转化为坐标问题，将求的取值范围问题转化为求三角函数的值域问题致使问题顺利解决.

解法3 如图2，在直角坐标系中作，因为，所以点在单位圆上.又，而与的夹角为，故直线的倾斜角为，则其斜率为，故直线为，因该直线与单位圆有公共点，所以圆心到直线的距离不大于半径，即，解得，故的取值范围是.

点评本解法根据直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离不大于半径列不等式，从而求出取值范围.

解法4（几何法）如图2，作平行四边形，使，由向量加法的平行四边形法则知，，因为，所以点在以点为圆心半径为1中心角为的弧上（端点除外）.由图可知当与圆相切于点时最大，其值为，故的取值范围是.

评析本解法是极富创新意识的构造性解法，根据题设条件构造图形，并让部分图形动起来，使问题变成一个动态几何问题，然后观察图形的运动变化，从而得出问题的直观解法.

考题3（2011年高考全国大纲卷理科第12题）设向量满足，则的最大值等于( )

命题意图与参考答案如下：

【命题意图】本小题主要考查向量的数量积知识与均值不等式的综合运用能力，能够有效地考查考生对数学知识的掌握情况以及应用能力.

【解析】依题意得，.一方面，由向量数量积的法则得，;另一方面，由向量数量积的定义及均值不等式得，，所以，于是有

，即，解得，即的最大值是2，故选.

上述解法的核心部分是，将最值问题转化为不等式求解，其中用到了均值不等式、数量积不等式以及解不等式等有关知识，对能力要求较高.下面我们运用数形结合思想，根据向量的模、夹角、减法运算和数量积的几何意义构造平面几何图形，将向量问题几何化给出该题的一个直观解法.

【另解】如图3，作，并使，

图3

以为弦作弧并使该弧所含圆周角为，设点为弧上任意一点(除外)，则，设，则，所以.由图知当点为弧的中点时，最大其值为弧所在圆的直径，易求得，由正弦定理得，，故选.

向量集数与形于一身，是考查向量知识和数形结合思想的绝好载体，倍受命题人青睐，这三道不同年度的高考题如同云南的“三道茶”各具特色耐人品味.数形结合思想是一种重要的数学思想，我国著名数学家华罗庚有诗云:“数缺形时不直观，形无数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题过程的目的.