＇见招拆招＇看功夫 -----和特级教师万尔遐先生讨论解数学高考题的功夫

距2019年高考还有五天时间了，发这篇文章的目的，是想向第一线数学教师们，介绍从高考数学命题人的角度，认识和执行高考数学考纲的情况，其目的是探讨高中数学教学改革的方向，怎样提高教学质量，摆脱盲目的高考备考中的题海战术，争取更好的数学高考效果！

'见招拆招'看功夫

-----和特级教师万尔遐先生讨论解数学高考题的功夫

文/汪跃中

1984年,万尔遐老师参加完全国高考数学命题回来后,于当年7至8月份,在湖北省高考数学阅卷点:华中科技大学,我和他共同主持了高考数学质量分析工作,重点讨论了,怎样评价考生解数学高考题的能力水平,用现在流行的话语,就是怎样看考生解答数学高考题的功夫.

距离1984年,已经过去35年了,我们俩都退休了,回顾那个年代的事,可以比较随意谈一些个人想法和认识了,下面用对话,将讨论作成纪要如下:

汪(跃中,以下简称汪) :功夫：首先它是武功，武术的别称，引申到其它领域,为达到了一定的境界的某一项技能。

解数学题的功夫,是指为达到一定境界的数学解题技能。万老师能否说说你的看法?

万(尔遐,以下简称万):可以,我认为:数学解题,从成本和效益的角度看问题有两大说法,一曰大题小作,二曰小题大作.显然大题小作,是用低成本获高效益,即平常所说的事半功倍,是智者的行为;而小题大作,是高成本获低效益,即平常所说的事倍功半,是庸者的行为.

我们先看2013年湖北卷第13题.

(一) 庸者大作  智者小作

[考题1] 设x,y,z∈ R,且满足x² y² z²=1,x 2y 3z=√14,则x y z=__.

[回顾] 这是一个排在第13号位上的填空题,满分5分,当然应该考虑小题小作.

[思考1] 视x 2y 3z=√14为x² y² z²=1的变式,故有将前式左边化1,从而产生了两式之间的比较法.

[解法1] 由x 2y 3z=√14变形得

(1/√14)x (2/√14)y (3/√14)z=1           (1)

又知 x² y² z²=1                                    (2)          

比较(1),(2)两式得到,

x=1/√14,y=2/√14,z=3/√14,

故有 x y z=6/√14 (答案).

[点评]  此解为小题小作,心算可得,不需草稿,是为智解.

[思考2] 学了不等式的选修内容之后,有了柯西不等式的解法.

[解法2] 已知x² y² z²=1,易知(1)² (2)² (3)²=14,

            由柯西不等式得

            (x 2y 3z)2≤(x² y² z²)((1)² (2)² (3)²),

           得(x 2y 3z)²≤14,                           

           两边取算术平方根得

            x 2y 3z≤√14,                           (1)

        又知x 2y 3z=√14,  ,                     (2)

        将(2)式与(1)式比较,以下求(1)式中等号成立的条件,按柯西不等式则有常数r存在,x=r,y=2r,z=3r,一同代入(2)式,得r 2x2r 3x3r= √14,

        由此解得 r=  √14/14=1/√14.

        故得x y z=r 2r 3r=6/ √14,(答案).

[点评] 杀鸡用了牛刀,典型的小题大作,柯西不等式的解法在这里变成了庸解.                         

我:

[思考3] 把x 2y 3z= √14看作是14的算术根,于是就有了平方后的配方法.

[解法3] 由已知条件可得

14=(x 2y 3z)²=(x)² (2)²(y)² (3)²(z)² 2(x)(2y) 2(2y)(3z) 2(3z)(x)                    (1)

 又14=((1)²(2)²(3)²)((x)² (y)² (z)²)=(x)² (y)² (z)² (2)²(x)² (2)²(y)² (2)²(z)² (3)²(x)² (3)²(y)² (3)²(z)².                (2)

           由(1),(2)两式得到

           2(x)(2y) 2(2y)(3z) 2(x)(3z)=(y)² (z)² (2)²(z)² (2)²(x)² (3)²(x)² (3)²(y)²,

           于是有(2x-y)² (3y-2z)² (z-3x)²=0,

           从而有x:y:z=1:2:3,得x y z=6x      (3)                                                         

 则有1=(x)² (y)² (z)²=(x)² 4(x)² 9(x)²=14(x)²,解得x=1/√14.

          代入(3)式,得x y z=6/√14.  (答案).

[点评] 此法实为柯西不等式的变形,同样是小题大作,庸解!

[思考4] 视(x)² (y)² (z)²=1为球的方程,x 2y 3z=√14为平面的方程,则有以下的'超解'!

[解法4] 易知求(x)² (y)² (z)²=1的球心为0(0,0,0),球心到平面的距离为

          { |-√14|/√ (1)²(2)²(3)² }=1.

          说明球与平面相切,易得切点的坐标为(1/√14,2/√14,3/√14),

              所以x y z=6/√14  (答案).

[点评] 此解可心算完成,之所以称'超解',是因为高中生没有学习空间解析几何,是通过类比法求得填空题的结果,此法不可普及.

[思考5] 设x 2y 3z=√14为两个向量(1,2,3)与向量(x,y,z)的数量积,于是就有了向量坐标的同向法.

[解法5] 向量(1,2,3)·(x,y,z)=|(1,2,3)|·|(x,y,z)|.cosθ=√14,

            即√14·1·cosθ=√14,得cosθ=1,

            故两向量同向,得(x,y,z)= λ(1,2,3),

           即x=λ,y=2λ,z=3λ,并由x2 y2 z2=1,解得 λ=1/√14.

           所以x y z=6/√14 (答案).

[点评] 写得祥尽,思路非常清楚,可以心算口答,仍属小题小作,智解.

[小结] 一题多解,绝对不能从形式上罗列,否则造成良莠不齐,形成思想上的混乱,解决的办法是,要从多解上找到共同的题根.

 汪:你列举的这道高考题的五种解法中,解法1和解法5是智解,解法2和解法3是庸解,解法4是超纲解法,那么,怎样才能避免庸解呢?万:心中有根者,能大题小作(智解),心中无根者,则小题大作(庸解).

(二).蓦然回首  教材寻根

      同题异模体现了试题的开放性,多解同根,体现了试题的基础性,一道试题若能同时具备这两种性质,它就有较好的灵活性和区分度,事实上,这样的好题年年都有,各地都有.

[根题] 已知(a)² (b)²=1,且(x)² (y)²=1,求证:ax by≤1.[点评] 此题为教材上的一道例题,相对于考题1来讲,它是一道根题.以下我们来比较它的多种解法,并从中找到题根.

[解法1](柯西不等式法)

已知(x)² (y)²=1,(a)² (b)²=1,由柯西不等式得(ax by)²≤(a2 b2)(x2 y2),

即得(ax by)²≤1,即得-1≤ax by≤1,

从而有ax by≤1.

等号成立的条件,按柯西不等式,有常数λ存在,使得x=λa,y=λb.

[点评] 由柯西不等式得到了ax by的下界-1和上界1,我们只关心其值不小于0时的上界1,此时的λ=1,即取得上界1的条件是x=a,y=b.

[解法2](分析法证不等式)

欲证0≤ax by≤1,                 (1)

即证(ax by)²≤((a)² (b)²)((x)² (y)²),即证(a)²(x)² 2axby (b)²(y)²≤(a)²(x)² (a)²(y)² (b)²(x)² (b)²(y)²,即证2aybx≤(a)²(y)² (b)²(x)²,即证(ay-bx)²≥0,              

  (2)显然(2)式真,当ay=bx,即(a/x)=(b/y)=λ(常数)时,等号成立.

[点评] 当ax by<0时,不等式ax by≤1显然成立,故所证明的问题可以转化到ax by≥0而证明,此时ax by=1的条件为λ=1,x=a,y=b.

[解法3] (三角法)

在(a)² (b)²=1中,设a=cosα,b= sinα;在(x)² (y)²=1中,设x=cosβ,y=sinβ.于是有ax by=cosαcosβ sinαsinβ=cos(α-β)≤1,

即得ax by≤1,

等号成立的条件是 α=β 2kπ (k∈Z).

[点评] cos(α-β)的值域为[-1,1],我们关心它的上界,所以有cos(α-β)≤1.

[解法4] (向量法)

视ax by为向量(a,b)和向量(x,y)的数量积,则有

ax by=(a,b)·(x,y)=|(a,b)|·|(x,y)|·cosΘ ≤1,

即是ax by≤1

等号成立的条件是cosΘ=1,证毕.

[点评] cosΘ的值域为[-1,1],我们只关心它的上界1.

[总评] 比较以上4种解法,以向量法为优解,我们可以在向量法中找到本题的题根.由cosΘ=1得Θ =0,此时两单位向量(a,b)和(x,y)的夹角为0,这时两向量为相等向量,故本题的题根为:

两单位向量(a,b)和(x,y)的数量积不大于1,两单位向量的数量积等于1是两单位向量相等的充要条件.

[根题推广] 利用向量法可以把根题由二元推向三元,若a² b² c²=1,x² y² z²=1,则有ax by cz≤1,证明如下:

                 ax by cz为两向量(a,b,c)和(x,y,z)的数量积,则有

                 ax by cz=|(a,b,c)|·|(x,y,z)|·cosΘ=cosΘ≤1,

                 等号成立的条件是两向量相等,即x=a,y=b,c=z.

[回顾] 单位向量有如此简明的性质,启发我们把非单位向量化为单位向量来解.比如考题1的单位向量解法:

          由x 2y 3z=√14  得到

         (1/√14)x (2/√14)y (3/√14)z=1,                    (1)

        (1)式的左边可视为两单位向量(x,y,z)和((1/√14),(2/√14),(3/√14))的数量积,故有

        (1/√14)x (2/√14)y (3/√14)z=|(x,y,z)|·|((1/√14 ),(2/√14 ),(3/√14 )|≤1,

        等号成立的条件是两向量相等,即x=1/√14,y=2/√14,z=3/√14,

        故有x y z=6/√14.

汪:根题变换,是高考数学命题人的主导思想方法吗?

万:是的.它是每年考题更新的重要思想方法.

 (三).根题变换   考题更新

       在(二)最后提到的根题之原命题,有这样的形式:a² b²=1,x² y²=1=>ax by≤1.

     注意三等式a² b²=1,x² y²=1,ax by=1不可共存,其中必有一个为不等式.例如x² y²=1,ax by=1=>a² b²≥1.

     以上都是根题的变式,高考出题,经常以这些变式为题根,命制考题.比如2008年全国I卷第10题就是这样来的.

[考题2]若直线(x/a) (y/b)=1与圆x² y²=1有公共点,则(1/a²) (1/b²)的取值范围为____.

[思考1] 已知条件是一次方程,指明为直线,二次方程指明为圆,故本题的优解是解析法.

[解法1] 直线与圆有公共点的条件,是直线到圆心的距离不大于半径,于是有:

        (|-1|/√(1/a²) (1/b²))≤1,

         解之得(1/a²) (1/b²) ≥1(答案)

[点评] 这种优解,可实现不动稿纸,一望而答.智解!

[思考2] 如果不将直线方程的截距式看成一般式,则可能出现如下的拙解.

[解法2] 化直线的截距式为一般式,得bx ay-ab=0.

           再令原点到该直线的距离不大于1,

           则有(|-ab)|/(√(a² b²)≤1,

         于是有a² b²≥a²b²,即得(1/a²) (1/b²)≥1(答案).

[点评] 此解之拙,在于抛弃了原直线方程的分数系数1/a和1/b.

[思考3] 视直线的截距式为向量的数量积,直接用数量积的定义解题,妙解!

[解法3]设向量(1/a,1/b)和向量(x,y),则有

          (x/a) (y/b)=(1/a,1/b)·(x,y)=|(1/a),(1/b)|·|(x,y)|cosΘ=1,

         得(1/a²) (1/b²)≥1(答案).

[点评] 此解之妙,把图形化成向量,同样可以一望而答,智解!

[思考4]视直线方程与原方程为二元二次方程组,从而有了消元后的判别式法.

[解法4] 直线方程与原方程联立,消y得一元二次方程:

           (a² b²)x²-2ab²x a²b²-a²=0,

     令方程的判别式不小于0,得

     (-2ab²)2-4(a² b²)(a²b²-a²)≥0,

         解得(1/a²) (1/b²)≥1(答案).

[点评] 此解显然是一种拙解,不能心算完成,而得花一大张稿纸.庸解!

[思考5] 视等式为不等式的特例,从而有了不等式的'放缩法'.

[解法5] 将直线方程两边平方,得

             ((x/a) (y/b))²=(x²/a²) 2(x/a)·(y/b) (y²/b²)=1,      (1)

     其中2·(x/a)·(y/b)=2·(x/b)·(y/a)≤(x²/b²) (y²/a²)                  (2),

     代(2)入(1),得((1/a²) (1/b²))x² ((1/a²) (1/b²))y²≥1,

         即((1/a²) (1/b²))(x² y²)=(1/a²) (1/b²)≥1(答案).

[点评]抛弃图形和向量,投向纯代数运算,用不等式的放缩法,实为一种拙解.庸解!

[思考6] 如果先把 x² y²=1三角化,即令x=cosα ,y=sinα,则有如下的三角解法.[解法6] 则有(cosα/a) (sinα/b)=√((1/a²) (1/b²))cosΘ=1,由此得(1/a²) (1/b²)≥1(答案).[点评] 这也是一种优解,这种优解实际上是当年的文科题,而对应的理科题是:

         若直线(x/a) (y/b)=1通过点M(cosα,sinα),求(1/a²) (1/b²)的取值范围.

[总结] 如果本题条件中不点明一次方程是直线,二次方程是圆,将问题变成'若(x/a) (y/b)=1,

       x² y²=1,求(1/a²) (1/b²)的取值范围',考生不一定会想到用解析法,最优解法是向量法.

[寻根]我们将考题2进行如下的变换:

      用a去替代1/a,用b去替代1/b,则原命题变为:ax by=1,x² y²=1=> a² b²≥1.

          再对此式进行条件置换,可得 x² y²=1,a² b²=1,=> ax by≤1.

          后面的这个命题就是我们的根题.本来这个根题在教材的不等式中,而它的思想之根却在向量之中,这种现象称作题目与题根之间   的迁移,高考出题,经常利用这种迁移命制新题,对于考题2,我们可以按以上思想再作各式各样的迁移,从而得出各式各样的新题,               比如下面这道新题就是从考题2中而来:

           已知 x² y²=1,(1/a²) (1/b²)=1,求证:(x/a) (y/b)≤1.

   高考新题就是这样制作出来的,所谓暗箱操作,就是在变这种魔术.

汪:最后请将你一生的教学经验,练成的解数学高考题的功夫,用几句话总结一下如何?

万:'课有本,题有根,题根课根联考根,'

    '考官请出题根来,出题解题两和谐,'

   '钥开锁,人开窍,题根点击显成效,'

   '以少胜多治病方,捧出题根祝健康.'