一道高考导数压轴题解答的优化与思考

一道高考导数压轴题解答的优化与思考

贵州省习水县第一中学　袁嗣林

摘　要：导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。 而“一题多解导数 ;一题多解 ;一题多变”教学有利于提高学生思维的发散性、灵活性,能激发学生的学习兴趣,对于学生从不同角度、不同侧面去分析问题、解决问题,提高学习能力有很大帮助.因此，教师在平时教学过程中应多选用一些有多种解法的例题进行讲解。

 

关键词：导数；一题多解；优化

 

导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。2010高考数学全国卷2第22题师生普遍反映抽象晦涩,难于求解.甚至参考答案看起来都一知半解。笔者认为这道题的解法可以优化。

题目：（22）（2010年数学全国卷2    本小题满分12分）

设．函数．（Ⅰ）证明：当时，；

（Ⅱ）设当时，，求a的取值范围．

命题组的参考答案：（I）当时， 当且仅当令当，是增函数；当是减函数。于是在x=0处达到最小值，因而当时，所以当

（II）由题设当不成立；当则当且令当

（i）当时，由（I）知

是减函数，

   （ii）当时，由（I）知

当时，

综上，a的取值范围是                           

上述解答初看似乎非常简单，其实不然。第一问非常简单，这里就不再叙述。我们来分析第二个问，不妨把按上述展开，解: （I）略（II）由题设当不成立,当 则当且仅当

此时参考答案立刻分下述情况进行讨论（i）当时，由（I）知

是减函数，

   （ii）当时，由（I）知

当时，

综上，a的取值范围是

显然上述解法有些突然，令人觉得很费解。那么，上面分类讨论的理由是什么呢？，为什么这样讨论？这一点似乎不大好解释。如果这样解就很自然。

解析：（I）略      （II）由题设

当不成立；

   

比较两种解法不难发现，方法2更好理解。那么在遇到答案看不懂或一种方法做不起’的题目时，应该怎么办呢?平时教学“一题多解导数 ;一题多变”的训练是解决此类问题的好帮手。一题多解有利于提高学生思维的发散性、灵活性,能激发学生的学习兴趣,对于学生从不同角度、不同侧面去分析问题、解决问题,提高学习能力有很大帮助.因此，教师在平时教学过程中多选用一些有多种解法的例题进行训练，并说明解法的优点和局限性。只要平常学习或教学注意一题多解的训练，学生就不会进入解题的死胡同。

2011-10-08  人教网