习题集之函数与导数：题目32——同构立意，思维量大

【题文】函数有三个零点x1,x2,x3(x1<x2<x3).

(Ⅰ)求a的取值范围;

(Ⅱ)证明:；

(Ⅲ)记f(x)较大的极值点为x0，当x0/x2>a时，证明:f(x1x2x3)+f(ax2)>0.

【分析】(Ⅰ)利用导数研究函数性质即可;(Ⅱ)根据f(x)的结构特点，x1,x3为方程x=ln(aex)的两根，进而可以利用极值点偏移的相关知识解决问题;(Ⅲ)第三问的困难之处，在于目标不等式形式比较复杂，不利于放缩；解法中通过构造函数不等式实现足够精度的放缩，技巧性较强.

【备注】

(1)本题目主要来自于微信公众号'昊天数学工作室'的图文消息《近期做的最难的导数题(没有之一)》和《修改圆梦杯第三问解法》.另外，本题目是《2023届'圆梦杯'模拟考试(含答案)》的第22题.

(2)本题目的解法中，有的地方给出了不同的处理方式，所以过程显得繁琐.本题目前两问还是比较常规的，第三问难度较大，比较适合数学尖子生和数学老师练习使用.

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