巧思妙解2011年高考数学题（广东卷）

巧思妙解2011年高考数学题（广东卷）

杨洪林（作者系退休机关干部、中学数学教师）

1.（文20）设b＞0，数列｛a_n｝满足a₁ = b, a_n =（n≥2）.

 

（1）求数列｛a_n｝的通项公式；

 

（2）证明：对于一切正整数n, 2a_n ≤+ 1.

 

【参考答案】

 

（1）由题意知，当b = 1时，a_n == 1 + ,

 

所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以 = 1 +（n - 1）×1 = na_n = 1.

 

当b≠1时，a_n =b = 1 + .

 

所以令c_n =,则bc_n = c_{n -1} + 1b= c_{n -1} + ,

 

所以数列是以c₁ +  = 为首项, 为公比的等比数列.

 

所以c_n +=· = c_n =- ，

 

所以a_n =，所以a_n =

 

（2）当b = 1时，2≤2成立；

 

当b≠1时，2a_n ≤+ 1≤+ 1≤

 

≤≤

 

≤≥n.

 

令A= =  +

 

=++ … +≥2 + 2 + … + 2 = 2n，即A≥n成立.

 

即当b≠1时，2a_n ≤+ 1对于一切正整数n成立.

 

综上所述，对于一切正整数n，2a_n ≤+ 1.

 

·巧思·

 

①（1）中，当b = 1时，将-化为f（n + 1）- f（n）,且使f（1）=，便知= f（n）, a_n也随之即得；当b≠1时, 将a_{n + 1} = 化为=，运用“逆序递推法”，便得-= g（n + 1），a_{n +1} 及a_n随之即得。如此，可节省许多文字，缩减不少篇幅。

 

②（2）中，当b≠1时，先将约分，并将2n放大为；后将括号内的第一项提取b而成为,便与分母相同；将bⁿ与括号内的第二项相乘，则与相等。如此，不仅又一次节省许多文字、缩减不少篇幅，并且使得+ 1的出现“自然而然、当然必然”。

 

·妙解·

 

（1）b = 1a_{n + 1} =- = 1 =（n + 1）- n（a₁ = 1）= na_n = 1.

 

b≠1, a_{n +1} = =+1=

 

= … = = a_{n + 1} =a_n =.

 

（2）b≠12a_n ==＜==+ 1；

 

b = 1a_n = 12≤1 + 1. 故对一切n∈N^﹡，2a_n ≤+ 1.

 

【评注】

 

①“- = f（n + 1）- f（n）,=  f（1）= f（n）”的理论依据：先取n = 1，则由= f（1）可得 = f（2）；再取n = 2，则由= f（2）可得= f（3）……其实质是数学归纳法的变型，但比“原型”简明简洁、简练简便，可以广泛运用。

 

② 将a_{n +1} = 化为=的方法：a_{n +1} ==+

 

+ c = - c =c =。

 

③=的理由：当中k = 1时，有中k = n与之对应；当中k = 2时，有中k = n -1与之对应……亦即，前者是按照b的降幂排列，而后者是按照b的升幂排列：= + … + b + 1，= 1 + b + b² + … +。

 

2.（理20）设b＞0，数列｛a_n｝满足a₁ = b, a_n =（n≥2）.

 

（1）求数列｛a_n｝的通项公式；

 

（2）证明：对于一切正整数n, a_n ≤+ 1.

 

【参考答案】

 

（1）∵a_n =（n≥2），∴=，

 

∴ =  = +.

 

令c_n =, ∴ c_n = +c_{n -1}（n≥2），c₁ = .

 

① 当b = 2时，c_n =+ c_{n -1}，即c_n - c_{n -1} = .

 

  ∴数列〔c_n〕是以c₁ ==为首项,为公差的等差数列，

 

∴c_n =+（n - 1）× = . 又∵c_n =,∴=，即a_n = 2.

 

∴当b = 2时，a_n = 2.

 

② 当b＞0且b≠2时，由c_n =c_{n -1} + （n≥2）得

 

c_n += c_{n -1} + +，∴c_n += c_{n -1} + ，

 

即c_n += （n≥2）.

 

∵c₁ +, = +=≠0，

 

∴是以为首项，为公比的等比数列.

 

∴c_n +=·=.

 

∴c_n =- = -=.

 

又∵c_n =, ∴a_n =. 即当b＞0且b≠2时，a_n =.

 

综上所述，∴ a_n = .

 

（2）当b = 2时，a_n = 2，此时a_n ≤+ 1显然成立.

 

当b＞0且b≠2时，a_n ≤+ 1≤+ 1≤

 

≤

 

≤

 

n≤.

 

令A =

 

=,

 

则A=≥1 + 1 + … + 1 = n，即A≥n得证.

 

即当b＞0且b≠2时，a_n ≤+ 1对于一切正整数n成立.

 

综上所述，a_n ≤+ 1对于一切正整数n成立.

 

·巧思·

 

①（1）中，当b = 2时，将-化为f（n + 1）- f（n）,且使f（1）=，便知= f（n）, a_n也随之即得；当b≠2时, 将a_{n +1} = 化为-=，运用“逆序递推法”，便得-= g（n + 1），a_{n +1} 及a_n随之即得。如此，可节省许多文字，缩减不少篇幅。

 

②（2）中，当b≠2时，先将约分，并将2n放大为；后将bⁿ同括号内第一项相乘而成为2ⁿ,便与分母相同；再将分子和分母变形，利用=……如此，不仅又一次节省许多文字、缩减不少篇幅，并且使得+ 1的出现“自然而然、当然必然”。

 

·妙解·

 

（1）b = 2a_{n + 1} =- = =-（a₁ = 2）=a_n = 2.

 

b≠2, a_{n +1} = =  + 1-==…

 

==a_{n + 1} =a_n =.

 

（2）b≠2a_n =  = ＜

 

= = 1 +  =  + 1 =  + 1.

 

b = 2a_n = 22≤1 + 1. 故对一切n∈N^﹡，a_n ≤+ 1.

 

【评注】

 

①“- = f（n + 1）- f（n）,=  f（1）= f（n）”的理论依据：先取n = 1，则由= f（1）,可得 = f（2）；再取n = 2，则由= f（2）,可得= f（3）……其实质乃是数学归纳法的变型，但比“原型”简明简洁、简练简便，可以广泛运用。

 

② 将a_{n +1} =化为 -=的方法：a_{n +1} == +

 

  + c =-c =c =。

 

③=的理由：当中k=1时，有中的k = n与之对应；当中k = 2时，有中的k = n -1与之对应……就是说，前者是按照2的降幂、b的升幂进行排列，后者是按照2的升幂、b的降幂进行排列：=++ … + 2+，=+ 2+ …+ +。

 

3.（文21）在平面直角坐标系xOy中，直线l：x = - 2交x轴于点A.设P是l上一点， M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足? MPO = ? AOP.

 

（1）当点P在  l上运动时，求点M的轨迹E的方程；

 

（2）已知T（1,-1），设H是E上动点，求∣HO∣+∣HT∣的最小值，并给出此时点H的坐标；

 

（3）若过点T（1,-1）且不平行于y轴的直线 l₁ 与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线l₁的斜率k的取值范围.

 

【参考答案】

 

（1）…y² = 4x + 4…

 

（2）…3….

 

（3）将x = 1代入y² = 4x+ 4,得∣y∣= 2，∴点T（1,-1）在抛物线的开口内.

 

由于直线 l₁不平行于y轴，则直线l₁的斜率k存在，

 

那么可得直线l₁的方程为y + 1 = k（x - 1）.

 

将之与y² = 4x + 4联立并消去y，得

 

k²x² -（2 k² + 2 k + 4）x + k² + 2 k -3 = 0. 依题意，得

 

 解得k≠0.

 

故k的取值范围为（-∞，0）∪（0，+∞）.

 

·巧思·

 

① 由于抛物线方程中含y的项为二次项，而含x的项为一次项，因此利用直线l₁与x轴不平行而将其方程设为x = g（y）型，代入消元、化简就比设为y =  f（x）型“轻松”。

 

② 消元以后，由于y的一次项系数的常数部分是偶数，配平方很方便，因此将含有y的项配平方，其余项放入等号右边，则右式＞0就显而易见，又比利用判别式“轻松”。

 

·妙解·

 

题设直线l₁不平行于x轴k≠0t =≠0l₁：x = t+ 1

 

y² = 4x + 4 = 4[t+ 1] + 4=+ 7＞0（t ≠ 0）

 

k≠0即为所求取值范围.

 

【评注】

 

① 直线方程的待定式，既可设为y = f（x）型，也可设为x = g（y）型（一般情况下）——由于“习惯作用”，我们通常只想到采用前者而忽略了采用后者。

 

② 考虑一元二次方程根的情况时，既可利用根的判别式判断，也可运用配方法判断——由于“习惯作用”，我们通常只想到采用前者而忽略了采用后者。

 

③“习惯作用”实质是“思维定势”。考虑问题不能受“思维定势”的束缚，解决问题不能受“思维定势”的影响，而应当“因地制宜”、“随机应变”！

 

4.（理21）在平面直角坐标系xOy中，给定抛物线L：y =x².实数p，q满足p² - 4q≥0，x₁、x₂是方程x² - px + q = 0的两根，记φ（p，q）= max｛∣x₁∣,∣x₂∣｝.

 

（1）过点A作L的切线交y轴于点B.证明：对线段AB上的任一点Q（p，q），都有

 

φ（p，q）= ；

 

（2）设M（a，b）是定点，其中a,b满足a² - 4b＞0，a≠0.过点M（a，b）作L的两条切线l₁、l₂，切点分别为E, E′，l₁、l₂分别与y轴交于点F、F′，线段EF上异于两端点的点集记为X.证明：M（a，b）∈X ∣p₁∣＞∣p₂∣φ（a，b）= ；

 

（3）设D =，当点（p，q）取遍D时，求φ（p， q）的最小值（记为φ_min）和最大值（记为φ_max）.

 

【参考答案】

 

（1）由y =x²得y′=x，y′= p₀.

 

     过点A的切线方程为y - = p₀（x - p₀.）,

 

即y = p₀x -. 令x = 0，则y = -, ∴ B.

 

∵点Q（p，q）为线段AB上的点，不妨设p＞0,则0≤p≤p₀.

 

k =  =p₀ ，∴q = p₀（2p - p₀.）.

 

∵x₁、x₂为x² - px + q = 0的两根，

 

∴x_1,2 = ==.

 

∵0≤p≤p₀, ∴φ（p，q）= . 当p＜0时，同理可证φ（p，q）= -.

 

综上可得φ（a，b）=.

 

（2）由（1）知，l₁：y = p₁x -，l₂：y = p₂x -，F，F′.

 

① 若M（a，b）∈X，由（1）知点M在线段EF上，则φ（a，b）= ，且∣a∣＜∣p₁∣.

 

假设∣a∣＜∣p₂∣，由（1）知点M还在线段E′ F′上，结合图形可知M只能在y轴上，

 

这与a≠0矛盾，故应有∣a∣≥∣p₂∣.于是有∣p₁∣＞∣p₂∣.

 

② 若∣p₁∣＞∣p₂∣，则 -＜-，点F在F′的下方，

 

结合图形可知定点M必在线段E F上，即M（a，b）∈X. 由（1）知φ（a，b）= .

 

综合①②可知：M（a，b）∈X ∣p₁∣＞∣p₂∣φ（a，b）= .

 

（3）由 得或，知p∈[0, 2]，q∈[-1, 1].

 

由题设知q≤p - 1，于是有p²≥（q+1）²≥4q,

 

即D内任何一点对应方程x² - px + q = 0均有实根，则x_1,2 =.

 

由x₁ + x₂ = p≥0，则φ（p，q）= .

 

设u =，则φ（p，q）=，q=.

 

则区域D =

 

=

 

=.

 

如图所示画出区域将直线l：p + u = 0平行移动，（图略）

 

当l与直线BC重合时，p + u = 2，得φ_min =  = 1.

 

当l与曲线p =  + 2相切时，由p’ = -u = -1,得u = 1.

 

∴p = ，∴切点为A，此时有φ_max = = .

 

·巧思·

 

①（1）中，利用“直线与抛物线相切对应的一元二次方程有两个相同的实数根”，先设切线方程，后求切点坐标，则式子比较简单，书写比较方便，篇幅比较节省。

 

②（2）中，利用抛物线的参数方程x = 2 t，y = t ²另设点E、E′的坐标，再求切线方程，则式子比较简单，书写比较方便，篇幅比较节省，并且点M的坐标也并不复杂。

 

③（3）中，先将“-≤q≤p - 1”化为“p² - 4（p - 1）≤p² - 4q≤p² - [（p+1）² - 5] = 4 -2 p”，再利用不等式“（a + b）²≥4ab”,则φ_min 和φ_max就方便易求。

 

·妙解·

 

（1）设切线：y = cx - d，代入L：x² = 4y= 4c² - 4d  c² = d,，A（2c, c²）

 

0≤p≤2c或2c≤p≤0  - c≤p - c≤c或c≤p - c≤- c ∣p  - c∣≤∣c∣.

 

方程x² - px + q = 0x² - px + cp - d = 0x² - px + cp - c² = 0

 

     x₁ = c,  x₂ = p - cφ（p,q）=∣c∣=.

 

（2）另设E（2e, e²），E′（2h, h²），由（1）l₁：y = ex - e²，l₂：y = hx - h² M（e + h, eh）

 

 M（e + h, eh）∈X ∣2e∣＞∣2h∣φ（e + h, eh）=∣e∣，

 

即M（a,b）∈X ∣p₁∣＞∣p₂∣φ（a,b）= .

 

（3）题设-≤q≤p - 10≤p≤2，-1≤q≤1，p² - 4q≥p² - 4（p - 1）=（p - 2）²≥0,

 

p² - 4q≤p² - [（p+1）² - 5] = 4 -2 p = 4·≤= .

 

方程x² - px + q = 0x =（p≥0）φ（p，q）= .

 

①         p +≥p +（2 - p）= 2φ_min = 1.（此时p = 0，q = -1）

②          

③         p +≤p + =φ_max =.

④          

【评注】

 

① 将先有切点后有切线看成先有切线后有切点，式子就简单许多，书写就方便许多，篇幅就节省许多！

 

② 不用“求导法”而用切线的定义求切线方程，式子就简单许多，过程就减少许多，篇幅就节省许多！

 

③ 不用线性规划法而用一个基本不等式求最值，求解就方便许多，过程就减少许多，篇幅就节省许多！

 

④ 由上可知可见：分析问题不能“先入为主”，考虑问题不能“墨守成规”，解答问题不能“一成不变”！

 

【小结】

 

① 数学是美的，“简洁美”是其中之一，也是主要的数学美，解决数学问题应当——力求简明、简便、简洁、简单，力求创优创新、尽善尽美。亦即：应当努力——探求尽可能简明的思路、尽可能简便的解法，探求尽可能简洁的语句、尽可能简单的表述。

 

② 如果某个问题的解答过程较复杂、步骤较冗长，我们就要思考：这个解法算得上“较好”吗？“很好”吗？“极好”吗？还能够“改变”吗？“改造”吗？“改进”吗？亦即：教师传给学生的知识，不仅应当确保是“正品”，而且还应当是“精品”、“极品”。

 

③ 如同长跑比赛不仅比耐力、而且比速度一样，数学高考不仅测验“会不会”，而且测验“好不好”、“快不快”：看你能否在很短时间内顺利地完成答卷。因此，探求“巧思妙解”就不仅仅是理论上的需要，而且还更是实际实在的需要、迫切急切的需要。

 

④“数学是思维的科学”（单墫）。思绪明朗、思路开阔、思想活跃、思维科学了，问题就能迎刃而解；反之则犹豫不决、迷惑不解。因此，数学教育者先教育思维的拓展，数学学习者先学习思维的拓展，就当然是“十分必要、极其重要、非常紧要”的。

 

 

2011-10-28  人教网