第二十八章　锐角三角函数 小结和能力训练

江苏省赣榆县沙河中学 张庆华

【课标要求】

考点	课  标  要  求	知识与技能目标
		了解	理解	掌握	灵活应用
	认识锐角三角函数(sinA，cosA，tanA)30。，45。，60。角的三角函数值		∨
	使用计算器已知锐角求它的三角函数值，同已知三角函数值求它对应的锐角			∨
	运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题				∨

【能力训练】

一、选择题

1.每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式,让我们体会到了国旗的神圣.某同学产生了用所学知识测量旗杆高度的想法.在地面距杆脚5m远的地方, 他用测倾器测得杆顶的仰角为a,则tana=3,则杆高(不计测倾器高度)为(   ).

    A.10m     B.12m    C.15m     D.20m

2.如图,测量人员在山脚A处测得山顶B的仰角为45°, 沿着倾角为30°的山坡前进1 000m到达D处,在D处测得山顶B的仰角为60°, 则山的高BC大约是(精确到0.01)(   ).

    A.1 366.00m; B.1 482.12m;  C.1 295.93m;  D.1 508.21m

3.铁路路基的横断面为等腰梯形,其腰的坡度为2:3,顶宽6m, 路基高4m,则路基的下底宽(   ).

    A.18m     B.15m     C.12m     D.10m

　　4.已知:Rt△ABC中,∠C=90°,cosA=,AB=15,则AC的长是(   ).

    A.3     B.6     C.9     D.12

5.如图,测量队为了测量某地区山顶P的海拔高度,选M点作为观测点,从M点测量山顶P的仰角(视线在水平线上方,与水平线所夹的角)为30°, 在比例尺为1:50 000的该地区等高线地形图上,量得这两点的图上距离为6cm, 则山顶P的海拔高度为(   )

    A.1 732m; B.1 982m; C.3 000m; D.3 250m

二、填空题

1.某山路的路面坡度i=1:,沿此  山路向上前进200m, 升高了____m.

2.某落地钟钟摆的摆长为0.5m,来回摆动的最大夹角为20°. 已知在钟摆的摆动过程中,摆锤离地面的最低高度为am,最大高度为bm,则b-a=  ____m(不取近似值).

3.如图,△ABC中,∠C=90°,点D在BC上,BD=6,AD=BC,cos∠ADC=,则DC的长为______.

三、解答题

1.如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,坡角α=28°,斜坡AB= 9m,求拦水坝的高BE.(精确到0.1m,供选用的数据:sin28°=0.469,cos28°=0.8829, tan28°=0.5317,cos28°=1.880 7)

　　2.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,tanB=cos∠DAC.

    (1)求证:AC=BD;(2)若sinC=,BC=12,求AD的长.

3.已知,如图,A、B、C 三个村庄在一条东南走向的公路沿线上,AB=2km.在B村的正北方向有一个D村,测得∠DAB=45°,∠DCB=28°, 今将△ACD区域进行规划,除其中面积为0.5km²的水塘外,准备把剩余的一半作为绿化用地,试求绿化用地的面积.(结果精确到0.1km²,sin28°=0.469 5,cos28°=0.882 9, tan28°=0.531 7,cos28°=1.880 7)

4.我市某区为提高某段海堤的防海潮能力,计划将长96m 的一堤段(原海堤的横断面如图中的梯形ABCD)的堤面加宽1.6m, 背水坡度由原来的1:1改成1:2,已知原背水坡长AD=8.0m,求完成这一工程所需的土方, 要求保留两个有效数字.

(注:坡度=坡面与水平面夹角的正切值;提供数据:)

5.如图,在Rt△ABC中,a、b分别是∠A、∠B的对边,c 为斜边,如果已知两个元素a、∠B,就可以求出其余三个未知元素b、c、∠A.

(1)求解的方法有多种,请你按照下列步骤,完成一种求解过程:

     (2)请你分别给出a、∠B的一个具体数值,然后按照(1)中的思路,求出b、c、 ∠A的值.

6.某地有一居民楼,窗户朝南,窗户的高度为hm,此地一年中的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为a,夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为 (如图1-15-23.小明想为自己家的窗户设计一个直角三角形遮阳篷BCD.要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光, 又能最大限制地使冬天温暖的阳光射入室内.小明查阅了有关资料,获得了所在地区∠α和∠β 的相应数据:∠α=24 °36′,∠β=73°30′,小明又得窗户的高AB=1.65m.若同时满足下面两个条件,(1) 当太阳光与地面的夹角为α时,要想使太阳光刚好全部射入室内;(2) 当太阳光与地面的夹角为β时,要想使太阳光刚好不射入室内,请你借助下面的图形(如图), 帮助小明算一算,遮阳篷BCD中,BC和CD的长各是多少?(精确到0.01m)

    以下数据供计算中选用

    sin24°36′=0.416    cos24°36′=0.909

    tan24°36′=0.458    cot24°36′=2.184

    sin73°30′=0.959    cos73°30′=0.284

tan73°30′=3.376    cot73°30′=0.296

7.高速公路旁有一矩形坡面,其横截面如图所示,公路局为了美化公路沿线环境,决定把矩形坡面平均分成11段相间种草与栽花.已知该矩形坡面的长为550m,铅直高度AB为2m,坡度为2:1,若种草每平方米需投资20元, 栽花每平方米需投资15元,求公路局将这一坡面美化最少需投资多少元?( 结果保留三个有效数字).

8.如图,天空中有一个静止的广告气球C,从地面A 点测得C点的仰角为45°,从地面B点测得C点的仰角为60°.已知AB=20m.点C和直线AB在同一铅垂平面上,求气球离地面的高度(结果保留根号).

参考答案：

一、1.C  2.A  3.A  4.C  5.B

二、1.10  2.(1-cos10°)  3.9

三、1.在Rt△ABE中,AB=9m,a=28°,

    ∵sina=,∴BE=AB.sinα=9×sin28°≈9×0.47=4.23≈4.2(m).

    答:拦水坝的高BE约为4.2m.

2.(1)证明:在Rt△ABD和Rt△ADC中, ∵tanB=,cos∠DAC=, 又tanB=cos∠DAC,

    ∴ =,∴AC=BD.

(2)解:在Rt△ADC中,由sinC=,可设AD=12k,则AC=13k,由勾股定理,得CD=5k,又由(1)知BD=AC=13k, ∴13k+5k=12,解得k=, ∴AD=8.

3.解:在Rt△ABD中,∵∠ABD=90°,∠DAB=45°,  ∴∠ADB=45°,∴BD=AB=2km. 在Rt△BCD中,  ∵cot∠BCD=,∠DCB=28°,  ∴BC=BD.cot∠BCD=2cot28°≈3.75(km).

      ∴S△ACD=AC·BD≈5.76(km²).  ∴S绿地≈2.6km².答:绿化用地的面积约为2.6km².

4.解:如图,作EG⊥FB于G,DH⊥FB于H,记堤高为h,则EG=DH=h.

    由tan∠DAH=1:1=1, 得∠DAH=45°.

    ∴h=DH=ADsin∠DAH=8sin45°=8×,  ∴AH=DH=,

    由tan∠F=EG:FG=1:2,  得FG=2EG=2h=,

    ∴FA=FH-AH=(FG+GH)-AH=(+ED)-=+1.6,

    ∴海堤断面增加的面积S梯形FADE=(ED+FA)·h≈6.4×1.41+16≈25.0(m²)

    ∴工程所需土方=96×S梯形FADE≈96×25.0=2 400=2.4×103(m³).

    答:完成这工程约需土方2.4×10³m³.

5.(1)cosB=,c;  ∠B,∠A+∠B=90°,∠A;a、∠B,tanB=,b.    (2)略

6.解:在Rt△BCD中,tan∠CDB=,∠CDB=∠α,    ∴BC=CD·tan∠CDB=CD·tanα.

    在Rt△ACD中,tan∠CDA=,∠CDA=∠β,    ∴AC=CD·tan∠CDA=CD·tanβ

    ∵AB=AC-BC=CD·tanβ-CD·tanα=CD(tanβ-tanα).

    ∴CD=≈0.57(m).

    ∴BC=CD·tan∠CDB≈0.57×0.458≈0.26(m).

    答:BC的长约为0.26m,CD的长约为0.57m.

7.解:∵AB=2m,tan∠ACB=2:1,    ∴BC=1m,∴AC=.

∵550m长的坡面平均分成了11块,故每块坡面长为50m,为减少投资,应用6 块坡面种花,5块坡面种草.

∴公路局要将这块坡地美化最小需投资6×50××15+5×50× ×20=9 500≈2.12×10⁴(元).

答:公路局要将这块坡地美化最小需投资2.12×10⁴元.

(提示:先确定种花、 种草的块数,才能确定投资大小)

8.解:作CD⊥AB,垂足为D.    设气球离地面的高度是xm.

    在Rt△ACD中,∠CAD=45°,    ∴AD=CD=x.

    在Rt△CBD中,∠CBD=60°,    ∴cos60°=.∴BD=x,

    ∵AB=AD-BD,∴20=x-x.    ∴x=30+10.

 答:气球离地面的高度是(30+10)m.