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A.引言： 我无法掩饰自己对这本书（简称PMA）的喜爱。这真的是一本优秀的数学分析书，非常值得细细品读，尤其是对于中国数学系的学生。 中国的数学分析课，技巧和原理是合在一起的，鱼和熊掌不可兼得，对分析的原理往往讲不深，讲不彻底。中国的数学分析书是照着大纲写的，鲜见好的书籍；相反在美国，技巧和原理是分开的，分别归在“Calculus”和“Mathematical?Analysis”这两门相互独立的课程中。所以，对于美国的数学分析书，你别指望能找到教你什么积分技巧（这只会在名叫微积分（Calculus）的书中），但原理很透彻，使中国的分析书籍比起来相形见绌。 学习外国的数学分析，一定要接触过微积分，这和中国，前苏联的不同。 我通过中国的《数学分析》开始接触分析，也翻看过Apostol的 B.关于写作风格： 非常非常精炼。你在看这本书的时候会痛恨为什么定理的证明写的那么精炼。PMA中的定理证明写得非常“雅观”，也就是说，是让人欣赏的。许多定理（比如Weierstrass多项是逼近定理）你在刚开始看的时候看不出一步步，一个个构造有什么用，临近结尾却突然一个个的又都被用到，指向结论。也就是说——定理的证明不会告诉你，为什么要走这一步，这是怎么想到的，为什么这个式子要这么构造（即not?motivated），这些都靠你自己去想。然而你一旦相通了，你的分析能力又被锻炼了。 看PMA，能力的提升决不仅仅在练习中，看里面的定理，就像你的严厉的父亲在教你骑自行车，绝对不会手把手当着你，会让你自己摸索，但在必要的时候会点明关键。也如同破茧化蝶的过程，艰苦但会令你受益匪浅。 看PMA中定理证明时的痛苦有时反而会让你自己摸索证明方法，这无疑也是一种锻炼。 C.关于练习： PMA里面的练习不算特别多，但很多都很有难度，很能锻炼你的思维水准。不少练习都是一些拓展的或是后续课程当中读者能够处理的定理，不少练习的结论甚至和教材里面的内容同样重要，需要读者记住，我会在后面提及。 D.关于内容： Rudin的分析，内容多；Apostol的分析，内容也多。但两者“多”得不同。Rudin的多，更注重能够使所涉及的体系更加饱满，更加完整，更加透彻，而不是追求枝枝节节的结论。练习中的某些结论同样重要，不能忽视。 下面我所提到的内容，大多是中国的分析所没有的。 （章节一）静下心来！千万不要跳过这一章！从建立有理数域的公理到构造实数系，建立复数系，你在中国的分析书中是很难看到的。也就是说，这本书使整个分析都建立在?“?有?理?数”上！中国的分析有一部分是建立在欧几里得几何上的（比如证明lim?sinx/x=1），这无疑是与近代数学背道而驰，因为近代数学的几何都是建立在逻辑和“数”上的。 Apostol直接用公理化引入实数，这是一种回避。 PMA从有理数构造无理数用了Dedekind的方法，这是不能错过的，是整个分析的基础。 当然有理数还能从整数构造出来。这在Rudin的PMA中没有提到，不过读者可以自己尝试用“数对”的方法构造（有理数能够用一对整数，即互质的分子分母表示出来）。 （章节二）精彩的一章！讲的是集合论与点集拓扑，学好这一章能对后面的学习打下扎实的基础。由于后面几个章节大部分的讨论是n维欧几里得空间R^n和复平面，作者直接以拓扑的形式讲述R^n空间的性质，实数轴R^1的性质就是它的特例了。这样显得非常精炼，因为在逻辑上有了一般的R^n就不需要特殊的R^1了。Apostol的分析也是这么处理的。 中国的分析先讲R^1，后面再讲R^n，讲点集拓扑的。虽然逻辑上显得多余，但从教学上有其必要性。一个原因就是中国课程设置的技巧与原理的合一。中国学生没怎么接触微积分就要学习分析，然而在美国，学习分析之前要有扎实的微积分基础。虽然我更喜欢国外的做法，不在多余的内容上浪费，但R^1的性质构建也是需要了解的。因为R^1性质的证明有和R^n不同的方法（可以不依赖于拓扑结构。当然把R^n上的方法套上去也可以），在历史上也是先有R^1性质的证明，再有R^n的，读者应当有所了解。 |
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