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本文是高等微积分的话题。 结论不过是一句话的事。先把这句话放这里。作为集合，全体自然数、全体正整数、全体复整数、全体有理数、全体正有理数、全体负有理数、全体奇数、全体偶数、全体分量取有理数的n维向量，通通对等，也就是元素一样多。虽然有点啰嗦，其实读完本文，你还可以啰嗦更多。 你只要理解对等（等价）和可列（可数）这两个个词。故事有点长。取材的课本是麻省理工rudin的大作《数学分析原理》。这本书妥妥的世界一流。 别废话，来啊。 一、有限集合的对等，抽屉原理 现在考虑，比方说，你有两个有限集合，要比较其元素的多少。要明白，元素的个数与元素是什么，完全没有关系。比方说，两个苹果形成的集合，两个香蕉形成的集合，两个菜鸡形成的集合，都是两个元素。 完全可以这样想，把一个集合的元素想象成若干个抽屉，而另一个集合想象成若干只菜鸡。现在把每只菜鸡都放到抽屉里，确保同一个抽屉不能有两只菜鸡。那么抽屉的个数与菜鸡的个数相等这件事，就是，每个抽屉恰好有一只菜鸡。既没有放不进去的菜鸡，也没有没放鸡的抽屉。这就是抽屉原理。重要的是，一个特殊的放鸡到抽屉的方式，就是一个特定的一一映射--每只鸡对应着他的抽屉；每个抽屉对应着他的鸡。 二、无限集合的对等 因为是无限集合，其元素个数是无穷，所以你不能谈“元素的个数”，只能谈“集合的势”、“集合的基数”。这是因为无穷这个东西，根本不是数。请想想“无穷比无穷型”不定式这个词。能想到无穷的运算法则与实数不同，所以不可能是实数，也不可能是复数，也行。能想起罗比达法则，也行。 现在，牢牢抓住一一映射，就是一个抽屉一只鸡，这个想法。 1.能和自然数（或者正整数）建立一一映射的集合，就叫做可数无限集合。虽然很多书用可数这个词，但是有时候用“可列”更好一些。因为这个一一映射，无非是用自然数做标签，贴到每一个元素上，只要每个元素有且只有一个标签；这就是序列的定义。 自然数是可列的。只要取恒等映射，就是元素自己对应自己。写出来就是，f（n）=n。 负自然数是可列的。明摆着的事，相当于每个自然数都加个负号，虽然改变了性质，却没有增或者减元素。写出来就是，f（n）=-n。 自然数里去掉任何一个自然数，得到的集合是可列的。比如你去掉自然数k，那么只要从1到k-1，取恒等映射，而从n=k 1开始，定义f（n）=n-1。这明摆着是一一映射。 进一步，自然数里再去掉一个，仍然可列；去掉任意有限个，仍然可列。这里你理解了一个非常奇葩的结论“无穷集合，能跟它的真子集对等”这明显是与有限集的抽屉原理矛盾的。 但是自然数里去掉无穷多个，就难说了。不过你能坚持读完本文，你肯定知道答案。 全体整数是可列的。这件事，隐含的说法，就是，“两个可数集的并集，是可数的”。记号：A是全体整数，J是自然数。 只要定义映射 这是一一映射。 现在，全体奇数可列。考虑（n 1）/2 全体偶数可列。考虑n/2 2.重点来了。如果看证明困难，不妨直接记住结论。这就足够牛逼了。 “可列个（可列集）之并，是可列集”。证明的办法叫做Contor对角线法。重要的提示，注意，下面16的第一行是可列无限集；而所有个位数下标没有出现。因此，整个矩阵是至多可数，因为无限，所以必须可数。 摘自rudin《数学分析原理》 “分量取可列个值的n元向量的全体，是可列集”，特别的，因为有理数---作为既约分数--可以看做一个二元向量，（分子，分母），是可列的。这一段容易些了。 既然有理数可列，那么负有理数也可列。现在前面声称的那些，都有了。 佩服，也感谢你能坚持到这。本文主题结束。 既然都坚持到这里了，就多说几句。正常智力的人，可能自学非常困难，或许，先背一辈，是最好的选择。因为记不住概念，没法推理。推理次数多了，也就理解概念了。 读rudin的大作《数学分析原理》，被卡住三次，无法继续。现在大部分内容都能背了。 第一次，卡在基础拓扑；于是我读了麻省理工munkres的《拓扑学》 第二次，卡在微分形式；于是读了龚昇《简明微积分》、munkres《流形上的分析》、还有spivak的书 第三次，卡在lebesgue理论，于是读了邓东皋《实变函数》等等一堆，才体会实变函数学十遍。 |
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