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一、绝对值问题选讲 一、 基础知识： ︱x︱= - x x＜0 1．从数的角度理解绝对值-------非负数。 2．从数轴的角度理解绝对值-------距离（几何意义）。 几何意义：︱x︱------数轴上点x到原点的距离。 ︱x—y︱-------数轴上点x到点y的距离。 ︱x+y︱-------数轴上点x到点（-y）的距离。 常用的绝对值性质： 1、 若︱a︱+︱b︱= 0 ，则 a = b =0 2、 若︱a—b︱= a—b ，则 a—b > 0 3、 若︱a—b︱= b—a ，则 a—b < 0 二、例题： 例1：求适合︱x — 3.014159261︱+︱y + 例2：求适合︱x — 1︱ + ︱x — 2︱= 4 的有理数。 分析：方法一、代数法-----分类讨论、去绝对值符号 方法二、数形结合-----从几何意义分析 例3：方程︱x-2︱+︱x-3︱= 1的有理数解的个数是 。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 多于3个 分析：从绝对值的几何意义分析入手，2、3点将数轴分成三部分看。 例4：求︱x-1︱+︱x-2︱的最小值。 分析：可用例2的两种方法 例5：求︱x+1︱+︱x-2︱+︱x-3︱的最小值是多少。 例6：求︱x-1︱+︱x-2︱+︱x-3︱+︱x-4︱的最小值。 例7：求︱x-1︱+︱x-2︱+︱x-3︱+︱x-4︱+…+︱x-n︱ (n是不小于2的正整数) 的最小值。 例8：设数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，则︱b - a︱+︱a + c︱+︱c - b︱= 例9：（选讲） 若a1 < a2 < … < an ，求︱x - a1︱+︱x - a2︱+ … +︱x - an︱的最小值 。 三、作业： 2. 解方程︱2x - y - 7︱+︱x +3y︱= 0 3. 已知︱a︱= 5 ,︱b︱= 3 ，且︱a - b︱=b - a ，那么a + b = 。 4. 有理数a、b、c在数轴上的位置图 若m =︱a + b︱-︱b - 1︱-︱a - c︱-︱1 - c︱，则 1000 m = 5．已知︱x+2︱+︱1 - x︱=9 —︱y - 5︱—︱1- y︱，则x+ y的最小值为 ，最大值为 。 四、测验： 1、若a < 0, 则2000a + 11︱a︱等于 。 2、适合︱2a + 7︱+︱2a - 1︱= 8 的整数a的值的个数有 个。
3、已知︱1-x︱+2- x与︱x-3︱+ x –4互为相反数，求︱x+1︱+︱x+2︱+︱x-3︱+︱x-4︱的值。 二、有理数——关于“±1”的讨论 一、常用性质： 1、 有理数概念；引入负整数后奇数偶数范围的拓展，从而由：“奇数个奇数的和一定是奇数”得“奇数个+1与－1的和一定是奇数”。 2、“+1”与“－1”的性质： 1）任何数乘以1还是它本身，乘以 -1得出它的相反数；+1与－1互为相反数； 2）+1与－1都等于自身的倒数。 3）（+1）n= ，（－1）2n = 1，（－1）2n+1 = 。 4）若（－1）n =1，则n为 ；若（－1）n = －1，则n为 ； 5）若n个+1与－1的和等于0，则n为 ，且 +1的个数与－1个数相等 。 即 n为奇数时， 。 6） +1与－1是任何整数的约数。 7） |±1| = 1； x = +1或－1，则x+ | x |为偶数； 实际 x为整数时，x+ | x |必为偶数。 8） x = +1或－1，则 二、例题： 例1：字母a、b、c、d、e、f分别代表+1或－1，求证：a + 2b + 3c + 4d + 5e + 6f ≠ 0 分析：从奇数与偶数的角度看右边为0是个偶数，分析左边奇偶性质。（1）推理法，（2）计算法 例2：已知n为自然数，设 求证：(1) n是2的倍数； (2) n还是4的倍数。 分析：看右边的和为0，说明左边“+1”与“-1”的个数相等； 例3： 试证 (1) n是2的倍数；(2) n还是4的倍数。 例4：圆周上有10个点，把圆周分成10段互不相交的圆弧，其中6个点染成红点，4个点染成蓝点，如果规定：相邻两端同为红色的弧写上数字2，相邻两端同为蓝点的弧写上数字-2，相邻两端异色的弧写上数字0，求证：无论怎样染点，各弧段上的数值的和为常数。 分析：从具体特例数值上观察，移动红点的位置来看结果的变化情况。（1）推理法，（2）赋值计算法。推广：m个点染成红点，n个点染成蓝点 例5：中国象棋的马，每步由1×2格的顶点跳到其对角顶点，求证：该马在棋盘上某位置跳出去再跳回原位，必须经过偶数步。 三、测验： 1）小明编制了一个计算程序，当输入任一有理数，显示屏的结果总等于所输入有理数的平方与1之和，若输入-1，并将所显示的结果再次输入，这时显示的结果应当是 。 2）1个数的相反数与这个数的倒数的和等于零，则这个数与其相反数的乘积为 。 3）已知n为自然数，x1，x2，…，x4n+2都是+1或-1，求证：M = x1 + 2x2 + … +（4n+2）x4n+2≠ 0 4）已知a1，a2，…，an，b1，b2，……，bn都是+1或-1，且 a1+a2+…+an = b1+b2+ … +bn， a1b1 + a2b2 + … +anbn = 0， 试证 (1) n是2的倍数；(2) n还是4的倍数。 三、整 式 ---- 字母代表数的开始
一、整式的加减：合并同类项 例1：求证：一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，则7、11、13是这个六位数的约数。 分析：N = abcabc （a≠0） 例2：设x、y、z都是整数，且11整除7x+2y-5z，求证：11整除3x-7y+12z 。 分析：4 (3x -7y +12z) = 11(3x -2y +3z) -3 (7x +2y -5z) 例3：将1、2、3、……、100这100个自然数，任意分成50组，每组两个数，现将每组两个数中任一个数值记作a ，另一个记作b ，代入代数式 分析：当a>b时， 二、整式加减的运用： 例4：如图有3个面积都是k的圆放在桌面上，桌面被圆覆盖的面积是2k+2，并且重叠的两块是等面积的。直线l过两圆心A、B，如果直线l下方被圆覆盖的面积是9，试求k的值。 例5：已知（x-1）7=a0 + a1x + a2x2 +…+ a7x7 ，则a1 +a3 +a5 +a7 = 。 例6：求证：不存在这样的整数，把它的首位数字移到末位之后，得到的数是原数的两倍。 例7：请你破解式子 “ x0yz = 9xyz ”中x，y，z的值(其中yz表示十位数字是y,个位数字是z) 。 练习题： 1°若p= a2 +3ab+b2 ，q= a2 -3ab+b2 ，则代入到p- [ q -2p- ( - p - q) ]中，化简后的结果是 。 2°已知abcd＞0，且a+b+c+d＞0 。则a、b、c、d中负数个数有 个。 3°已知a、b、c、d是正数，且满足a+b+c+d = 4，用M表示a+b+c，b+c+d，c+d+a，d+a+b中的最大者，则M的最小值为 。 四、离散最值问题选讲(一) 探求整数问题中的最大值与最小值，是数学竞赛中常见的题材，此类题型新颖，解法灵活，技巧性强。常用的方法有：枚举法分析，运用代数方法进行结构分析（其中又常要考虑整除性分析、奇偶性分析）。 例1：2004a是平方数，求自然数a的最小值。 例2：相异整数a、b、c满足abc=6，求a+2b+3c的最大值与最小值。 例3：相异质数a、b、c满足a+b+c=62，求a-2b-3c的最大值与最小值。 例4：在五个连续自然数a，a+1，a+2，a+3，a+4中，（a+1）+（a+2）+（a+3）是完全平方数，并且这五个连续自然数的和是完全立方数，则a的最小值是多少? 例5：已知平方数 例6：在 例7：一个自然数与3的和是5的倍数，与3的差是6的倍数，这样的自然数中的最小的一个是多少。 例8：由0、1、2、3、4、5、6这7个数能组成的没有重复数字的7位数中，有一些是55的倍数，求出其中最大的数和最小的数。 例9：和为2004的若干个正整数，其乘积最大可以是多少？ 作业： 1． 两位老师的年龄相差3岁，并且他们年龄的各位数字的和都是6的倍数，那么较年轻的老师至少多少岁？ 2．在十进制中，数字为0或1，并且能被225整除的自然数，最小是多少？ 3．找出由0，1，2，3，4，5，6，这7个数字组成的，没有重复数字的七位数中，能被165整除的最大数和最小数。 4．若a、b、c、d是互不相同的自然数，且abcd=1998，则a+b+c+d的最大值是多少？ 五、图 形 问 题 选 讲 平面图形(二维图形)、立体图形 (三维图形) 一、 图形计数： 例1：如图9个点，任意把其中几个点连结起来，可得到各种图形： 问：1）能连成多少个正方形？ 2）能连成多少个长方形？ ． ． ． 3）能连成多少个平行四边形？（没有直角） 4）能连成多少个正三角形？ ． ． ． 5）能连成多少个直角三角形？ 6）能连成多少个等腰三角形？ ． ． ． 分析：分类讨论的思想。 练习：三个相同的正方形可以拼凑成几个正方形？ 二、 一笔画问题：一笔画成，笔不离纸，并且每条线都只画一次不准重复(顶点可重复通过)。 奇顶点 与 偶顶点 规律：1）若一个连通图的每个点都是偶顶点，那么这个图一定能一笔画，而且可以从任何一点出发，最后还回到这个点。 2）凡是只有两个奇顶点的连通图，一定能一笔画，其必以一个奇顶点为起点，另一奇顶点为终点。 3）奇顶点的个数多于2个的图形不能一笔画。
例4：(哥尼斯堡桥问题)小河把城市分成4个区域，这4个区域由6座桥连结起来（如图）。一旅行者决定走过所有的桥，而在每座桥上只经过一次，如果不要求他必须回到开始出发的那个区域，怎样才能做到这一点？ 例5：在上图再增加一座桥，使得能够完成走过所有的桥，而在每座桥上只经过一次且回到开始出发的那一区域。 例6：黄蜂潜入装糖的罐头，罐头为正方体形状，黄蜂能否走过正方体的全部12条棱，而沿着每条棱不走两次？(它不能从一个地方跳跃并飞到另一个地方) 例8：图7是地下迷宫的设计图（地下室由有门相通的16个房间组成）。能否从1号房开始走遍所有房间，使得通过所有房间的各扇门有且只有1次？要走遍所有房间且使得通过所有房间的各扇门有且只有1次的行走，应从哪一个房间出发在哪一个房间结束？
例9：图8画出了由10个房间组成迷宫设计，能否走过所有房间的所有门，而在每次经过一个门时就锁了那个门？应当从哪个门开始？ 练习：请用尽量少的首尾相接的线段把9个点连起来？ ． ． ． ． ． ． 三、练习题： 1.如图相邻两边互相垂直，若要求出其周长，那么所需 已知边长的最少边数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3.请画出5条直线，每条直线上都有4个点，共有10个点的图形。 参考答案：1. A 2. A 3. 六、排序在数学解题中的作用 有些数学题中涉及到多个元素，在解题时若能按照某些关系将他们排序，使他们之间的数量关系明朗化，常给解题带来很大的启示和方便，这种排序、估算、再结合枚举讨论是数学竞赛中常用的思想方法。现举例说明如下： 例1：有五个数，每两个数的和分别是2，3，4，5，6，7，8，6，5，4。求这五个数的值。 例2：将2004拆成24个不同的自然数的和，那么其中最大数减去最小数的差中最小应是多少？ 例3：已知x1, x2, ……，x7为互不相等的自然数，又x1+x2+……+x6+x7=159，则最小三个数的和的最大值为多少？ 例4：有20个重量都是整数的砝码，使得任一重量为整数m的物体（1≤m≤1999），都可以通过将它放在天平一盘，部分砝码放在另一盘，达到平衡。这20个砝码中最重的一个的最小值是多少？ 例5： 例6：若x、y、z为互不相等的正整数，且 练习： 1. 若x、y、z为互不相等的正整数，且 2. 如果将重量互不相同的10个砝码放在天平的一端，证明至少可以称出55种不同的重量，并举例说明“55”这个数字不能再提高了。 七、频率与机会 例1. 任意抛掷一枚均匀的硬币，会出现几种结果？每种结果出现的可能性是多少？ 例2. 抛掷两枚硬币，出现“两个正面朝上”的机会是多少？出现“一正一反”的机会呢？ 例3. 有一只小狗在如图所示的地板上随意走动，这只小狗最终停在黑色方砖上的机会是多少？ 例4. 如图，转盘被等分成若干个扇形，转动指针，停止后，指针指向黑色阴影部分的区域的机会是多少？ 例5. 老张的妻子一胎生了3个孩子，已知老大是女孩，则求另外两个也都是女孩的机会。 例6. 有一个小正方形，六个面上写有1，2，3，4，5，6，将它任意抛掷出去，数字是3的面朝上的机会是多少？ 例7. 有大小两个正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，将两个正方体投掷在桌面上，向上的一面数字之和为偶数的机会是多少？ 例8. 从1，2，3，……，10000中随机取一个数，求 （1） 它能被2整除的机会。 （2） 它既能被2又能被3整除的机会。 练习： 1. 袋中装有6个红球和3个蓝球，且除颜色外，这些球都相同，从袋中摸出一个球，则蓝球的机会是多少？红球呢？ 2. 小陈的妻子一胎生了4个孩子，求有两个男孩的机会。 综合测试题 （要求：所有解答必须列出计算算式和过程） 1. 下列各图能否一笔画？ 2．已知（x+1）7 = a0 + a1x + a2x2 +…+ a7x7 ，则a0+a2 +a4 +a6 = 。 3．某学生编制了一个计算程序，当输入任一有理数，显示屏的结果总等于所输入有理数的立方与1之差，若输入-1，并将所显示的结果再次输入，这时显示的结果应当是 。 4．如图，是一张城市街道图，沿着街道从A走到B的最短路径共有几条？ B
A 5．已知某一平面图有2004个顶点和2004个区域，试确定这个图有多少条边？ 6．如图在一个3×3的正方形里，标有9个角，求∠1-∠2+∠3-∠4+∠5-∠6+∠7-∠8+∠9的和。 7．相异质数a、b、c满足a+b+c=53，求a-2b-3c的最大值与最小值。 8．已知︱2-x︱+3- x与︱x-4︱+ x –5互为相反数，求︱x+2︱+︱x+3︱+︱x - 4︱+︱x -5︱的值。 9．在四边形ABCD中，求证： AC+BD＞AB+CD. 10．如图，在环形运输路线上有A、B、C、D、E 5个仓库，现有货物的库存量分别为45吨，85吨，60吨，78吨和52吨。要对各仓库的存货进行调整，使得每个仓库的存货相等，但每个仓库只能向相邻的仓库调运，并使调运的总量最小，求各仓库向其他仓库的调运量。 B A C E D |
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