【原】小学奥数知识5-4-4 完全平方数及应用（一）.学生版

1.      学习完全平方数的性质；

2.      整理完全平方数的一些推论及推论过程

3.      掌握完全平方数的综合运用。

一、完全平方数常用性质

1.主要性质

1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。

2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。

4.若质数p整除完全平方数，则p能被整除。

2.性质

性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．

性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．

性质3：自然数N为完全平方数自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且，则．

性质4：完全平方数的个位是6它的十位是奇数．

性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．

性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．

3.一些重要的推论

1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。

2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。

3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。

4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。

5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。

6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。

7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

3.重点公式回顾：平方差公式：

模块一、完全平方数计算及判断

【例 1】   已知：1234567654321×49是一个完全平方数，求它是谁的平方?

【例 2】   是         的平方．

【例 3】   已知自然数满足：除以得到一个完全平方数，则的最小值是        。

【例 4】   有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数．

【例 5】   A是由2002个“4”组成的多位数，即，A是不是某个自然数B的平方？如果是，写出B；如果不是，请说明理由．

【巩固】           是由2008个“4”组成的多位数，即，是不是某个自然数的平方？如果是，写出；如果不是，请说明理由．

【例 6】   计算－=A×A，求A．

【例 7】   ①，求A为多少?

              ②求是否存在一个完全平方数，它的数字和为2005？

模块二、平方数特征

（1）    平方数的尾数特征

【例 8】   下面是一个算式：，这个算式的得数能否是某个数的平方？

【例 9】   一个数与它自身的乘积称为这个数的平方．各位数字互不相同且各位数字的平方和等于49的四位数共有________个．

【例 10】 用1～9这9个数字各一次，组成一个两位完全平方数，一个三位完全平方数，一个四位完全平方数．那么，其中的四位完全平方数最小是          ．

【例 11】 称能表示成1+2+3+…+K的形式的自然数为三角数，有一个四位数N，它既是三角数，又是完全平方数，N=        。

（2）    奇数个约数——指数是偶数

【例 12】 在，，，，，……等这些算是中，4，9，16，25，36，……叫做完全平方数。那么，不超过2007的最大的完全平方数是_________。

【例 13】 写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．

【例 14】 1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．

【巩固】           已知恰是自然数b的平方数，a的最小值是       。

【例 15】 从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？

【例 16】 已知自然数满足：除以得到一个完全平方数，则的最小值是        。

【例 17】 有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为           ．

【例 18】 求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是5次方数． 

【例 19】 三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”．问：所有小于2008的美妙数的最大公约数是多少？

【例 20】 考虑下列32个数：，，，……，，请你去掉其中的一个数，使得其余各数的乘积为一个完全平方数，划去的那个数是        ．

【例 21】 一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？

【例 22】 有一个不等于0的自然数，它的是一个立方数，它的是一个平方数，则这个数最小是         ．

（3）    平方数的整除特性

【例 23】 三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”。问所有的小于2008的“美妙数”的最大公约数是多少？

【例 24】 证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。

【例 25】 记，这里．当k在1至100之间取正整数值时，有      个不同的k，使得S是一个正整数的平方．

【例 26】 能够找到这样的四个正整数，使得它们中任意两个数的积与的和都是完全平方数吗？若能够，请举出一例；若不能够，请说明理由．

【例 27】 的末三位数是多少？

【例 28】  求所有的质数P，使得与也是质数．

【例 29】  古时候有两位贩卖家畜的商人把他们共有一群牛卖掉，每头牛买得的钱数正好等于牛的头数。他们把所得的钱买回了一群羊，每只羊10文钱，钱的零头又买了一只小羊。他们平分了这些羊，结果第一个人多得了一只大羊，第二人得到了那只小羊。为了公平，第一个人应补给第二个人____文钱。