数学分类
我们以0为界限，将整数分为三大类
1.正整数，即大于0的整数如，1，2，3，…，n，…
2.0 既不是正整数，也不是
负整数，它是介于正整数和负整数的数
3.负整数，即小于0的整数如，-1，-2，-3，…，-n，…
正整数
是从古代以来人类计数的工具。可以说，从“一头牛，两头牛”或是“五个人，六个人”抽象化成正整数的过程是相当自然的。事实，,我们有时候把正整数叫做自然数。
零
不仅表示“无”，更是表示空位的符号。中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空 位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度-阿拉伯命数法中的零(Zero)来自印度的(Sunya)字，其原意也是“空”或“空白”。
负整数
中国最早引进了负数。《九章算术.方程》中论述的“正负数”，就是整数的加减法。减法的需要也促进了负整数的引入。减法运算可看作求解方程a - b=c，如果a、b是自然数，则所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。
代数性质
下表给出任何整数a，b和c的加法和乘法的基本性质。
| 性质 |
加法 |
乘法 |
| 封闭性 |
a + b 是整数 |
a × b 是整数 |
| 结合律 |
a + (b + c) = (a + b) + c 是整数 |
a × (b × c) = (a × b) × c 是整数 |
| 交换律 |
a + b = b + a |
a × b = b × a |
| 存在单位元 |
a + b = 0 |
a × 1 = a |
| 存在逆元 |
a + （-a） = 0 |
在整数集中，只有1或 -1关于乘法存在整数逆元 |
| 分配律 |
a × (b + c) = a × b)+ a × c |
整数的性质及应用
整数的整除性
整除的概念及其性质
如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。
定义：设a,b是给定的数，b≠0，若存在整数c，使得a=bc,则称b整除a，记作b|a，并称b是a的一个约数(因子)，称a是b的一个倍数，如果不存在上述c，则称b不能整除a。
整数整除性的一些数码特征（即常见结论）
（1）若一个整数的末位数字能被2（或5）整除，则这个数能被2（或5）整除，否则不能；
（2）一个整数的数码之和能被3（或9）整除，则这个数能被3（或9）整除，否则不能；
（3）若一个整数的末两位数字能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除，否则不能；
（4）若一个整数的末三位数字能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除，否则不能；
（5）若一个整数的奇位上的数码之和与偶位上的数码之和的差是11的倍数，则这个数能被11整除，否则不能。
整数的奇偶性
(1)
奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数，奇数×奇数=奇数；即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差仍为奇数，偶数个奇数的和、差为偶数，奇数与偶数的和为奇数，和为偶数；
（2）奇数的平方都可以表示成(8m+1)的形式，偶数的平方可以表示为8m或（8m+4)的形式；
（3）若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若是整数，它必为偶数。
完全平方数
完全平方数及其性质
能表示为某整数的平方的数称为
完全平方数，简称平方数。平方数有以下性质与结论：
（1）平方数的个位数字只可能是0,1，4,5，6,9；
（2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1；
（3）奇数平方的十位数字是偶数；
（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6；
（5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整数的数的平方能被3整除。因而，平方数被9也合乎的余数为0,1，4,7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0,1，4,7；
（6）平方数的约数的个数为奇数；
（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。
（8）设正整数a,b之积是一个正整数的k次方幂（k≥2），若（a,b）=1，则a,b都是整数的k次方幂。一般地，设正整数a,b,c……之积是一个正整数的k次方幂（k≥2），若a,b,c……两两互素，则a,b,c……都是正整数的k次方幂。
