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完全平方数：指两个相同数相乘所得的数，例如：9=3×3，9就是一个完全平方数(或称平方数)，还可以理解为一个数如果是另一个整数的平方，那么这个数就是完全平方数。表达式为：完全平方数 A=a的平方=a×a。 在前面文章里面我们研究了求某些特殊数平方的一些巧算方法，同学们可以回顾下：巧求平方数。 它经常会出现在什么地方呢？首先想到的就是正方形面积等于它的边长的平方；还有方阵问题也会碰到。 作为一类常见的特殊自然数，完全平方数有哪些神奇的特殊性质呢？观察下图1000以内的所有完全平方数。 性质1：完全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9；不可能出现 2，3，7，8 在整数的各种问题中，确定个位数十分重要。知道完全平方数个位数字范围，就可以快速判断是否为完全平方数了。 证明：整数的个位数只有0~9十种情况，我们只需要分析0×0，1×1，2×2，…9×9得数的个位数就可以了。 性质2：完全平方数因数个数为奇数，因数个数为奇数的是完全平方数 证明：请看视频 → 因数个数与完全平方数 也可以表述为：完全平方数所有质因数的指数都是偶数 例题1：在1~100的自然数中，因数个数是奇数的有多少个？ 实际上我们可以把问题转化为 → 1~100中有多少完全平方数。 例题2：一个数与270的积是完全平方数，那么这个数最小是多少？ 把270分解质因数，因为完全平方数所有质因数的指数都是偶数，补齐选最小就可以得到答案。 性质3：完全平方数与余数 1，完全平方数除以5的余数只可能为 0，1，4 证明：5的整除特性是判断个位数是否为0，5。分析完全平方数可能出现的个位数，可以推断出结论。 个位是0,除以5余0；个位是1,则余1；个位是4,则余4；个位是5,则余0；个位是6,则余1；个位是9,则余4。 2，完全平方数除以3或4的余数都只可能为 0，1 证明：完全平方数除以3的余数只能是0，1（同理可证明4）。 例题3：证明→形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。 这个我们就可以利用4的整除特性（看末两位）和完全平方数除以4余数只能是0，1来证明。 上述性质在小学奥数阶段完全平方数题型中应用最多，当然神奇的完全平方数还有很多其他性质，列举如下，大家可以尝试去证明一下。 性质4：凡个位数字是5，但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数； 性质5：末尾只有奇数个“0”的自然数（不包括0本身）不是完全平方数； 性质6：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数； 性质7：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数； 性质8：完全平方数的各位数字之和只能是0,1,4,7,9；（多位数） 性质9：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数； 性质10：任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个完全平方数。 …… 一学堂，知识点视频+做题巩固，轻松学奥数。关注头条号，菜单栏点体验课即可体验。 |
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