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一、学习目标： 1、知道正数与负数是由于实际需要产生的。 2、会判断一个数是正数还是负数，能用正、负数表示相反意义的量。 3、知道0既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界点。 4、能说出整数与分数的概念，知道整数和分数统称为有理数。对于给出的有理数，会正确地进行分类。 5、体会数学符号与对应的思想，掌握用正、负数表示具有相反意义的量的符号化方法。 二、重点、难点： 重点：知道什么是正数和负数，什么是有理数，理解数0表示的量的意义。 难点：理解负数、数0表示的量的意义。 三、考点分析： 本讲课程涉及两个考点，一是会用正数和负数表示具有相反意义的量，二是理解有理数的意义和分类。第一个考点出现的可能性更大。这两个考点通常以选择题或填空题的形式出现，大约占2分至3分。 知识梳理 1、数的产生和发展：由记数、排序产生数1、2、3、…，由表示“没有”“空位”产生数0，由分物、测量产生分数、、…。 2、如图所示：
像10、8844、2303这样大于0的数叫做正数，像－10、－155、－11034这样在正数前面加上“－”（负）号的数叫做负数。有时在正数前面也加上“＋”（正）号，一个数前面的“＋”“－”叫做它的符号。 3、数0既不是正数，也不是负数。 4、正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。 5、有理数的分类：
典型例题 知识点一：正、负数的意义 例1：如果规定前进、收入为正，亏损、公元前为负，那么下列语句错误的是（ ） A. 前进－ B. 收入－4万元的意义是亏损4万元 C. 盈利的相反意义是亏损 D. 公元－300年的意义是公元后300年 思路分析： 1）题意分析：本题涉及到的知识点是相反意义的量，而相反意义的量是成对出现的。 2）解题思路：正、负数仅是为了用来区分具有相反意义的量，哪种意义为正或负，是可以任意选择的。 解答过程：选项A，规定前进为正，则后退为负，前进－ 解题后的思考：只有一对具有相反意义的量才能用正数、负数来表示，此时，把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它意义相反的量为负，用负数表示。 例2：在下面四组数：①－3，2.3，；②，0，2；③，0.3，7；④，，2中，三个数都不是负数的一组是（ ） A.
①② B.
②④ C.
③④ D.
②③④ 思路分析： 1）题意分析：对“不是负数”要有一个正确的理解，“不是负数”表示“是正数或 2）解题思路：判断正、负数的关键是看它是否大于0，大于0的数是正数，正数前面添上“－”号是负数。 解答过程：在所给四组数中，②③④三组中的数都是“正数或0”，都不是负数，故选D。也可用排除法，“都不是负数”表示不能有负数，所以排除①。 解题后的思考：本题主要考查对数的分类，一定要注意：0既不是正数也不是负数。不是负数意味着是正数或0，本题易错选C，漏掉只包含正数和0（都不是负数）的第②组。 例3：在一次数学测验中，小明得了75分，记为＋15分，张强和王东分别得了90分和55分，他们的成绩应怎样记呢？ 思路分析： 1）题意分析：小明得了75分，记为＋15分，说明他超出了标准15分，可知当考到60分时，记为0，超过60分的记为正，不足60分的记为负。 2）解题思路：张强得了90分，与60分相比，超出30分，记为＋30分；王东的成绩是55分，与60分相比，少了5分，记为－5分。 解答过程：张强的成绩记为＋30分；王东的成绩记为－5分。 解题后的思考：在用正、负数表示具有相反意义的量时，通常规定某一数值为标准，超出（或不足）一方记为正时，则不足（或超出）的一方记为负，主要是看它们与标准的差距是多少。 小结：本题组主要考查正、负数的意义，学习时应注意以下几点： 1、一个数前面的“＋”、“－”可以看作是它的性质符号，“＋”号通常省略，“－”号不能省略。 2、思维误区：①只有带“＋”号的数是正数，②凡不带“－”号的数都是正数。 3、在利用正、负数解决实际问题时，要充分考虑数的实际意义，合理运用各种表达方式，如图示法可直观表达各数在具体问题中的意义。 知识点二：有理数的分类 例4：下列说法中正确的是（ ） A. 有理数是指整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类数 B. 一个有理数不是正数就是负数 C. 一个有理数不是整数就是分数 D. 以上说法都正确 思路分析： 1）题意分析：本题考查有理数的意义及分类方法。 2）解题思路：有理数的分类可按整数、分数分类（二分法），也可按正有理数、零、负有理数分类（三分法）。 解答过程：在选项A中，把两种分类结果放在一起，分类重复，不正确；一个有理数可能是正数，可能是负数，也可能是0，所以选项B错误；有理数分为整数和分数，0包括在整数中，所以选项C正确。 解题后的思考：（1）有理数的分类标准必须一致，即要么按二分法，分成整数和分数，要么按三分法，分成正有理数、零、负有理数，二者不能混为一谈；（2）无论按哪一种分类标准分类，都必须做到分类结果不重不漏，即任意一个有理数都一定属于某一类，并且只属于这一类。 例5：将下列各数填在相应的数的集合里。 －3，0，－2，7，－3.14，＋8 848，－15%。 正整数集合{
…}； 负整数集合{
…}； 负数集合{
…}； 负分数集合{
…}； 非负数集合{
…}； 自然数集合{
…}。 思路分析： 1）题意分析：把一些数放在一起，就组成一个数的集合，数的集合可以用椭圆形的圈表示，也可以用大括号表示，用这两种方法表示数时，若这个数集中有无数多个数时，要加“…”号。 2）解题思路：本题中的“非负数”是指正数和零；自然数是指正整数和零。 解答过程： 正整数集合{7，＋8 848…}； 负整数集合{－2…}； 负数集合{－3，－2，－3.14，－15%…}； 负分数集合{－3，－3.14，－15%…}； 非负数集合{0，7，＋8 848…}； 自然数集合{0，7，＋8 848…}； 解题后的思考：（1）易将正整数集合和自然数集合混淆，0是自然数，0既不是正数也不是负数；（2）“非负数”指不是负数的意思，即正数和0；很多同学容易忽略掉0。 例6：下面两个圈分别表示负数集合和整数集合，请按要求设计方案： （1）请在每个圈内填入5个数，其中有3个既是负数又是整数，这3个数应填在哪里？ （2）你能说出这两个圈的重叠部分表示什么数的集合吗？
思路分析： 1）题意分析：本题是一道方案设计型的题目，主要考查有理数的分类。 2）解题思路：负数分为负整数、负分数，整数分为正整数、零、负整数。既是负数又是整数的数是负整数。所以这两个集合的重叠部分表示的是负整数。 解答过程：（1）这两个集合的重叠部分既是负数又是整数，如下图所示：
（2）这两个圈的重叠部分表示负整数集合。 解题后的思考：本题设计新颖，且具有一定的开放性，填写方案不唯一。弄清楚两个圈的重叠部分表示什么数是解决本题的关键。 小结：有理数与小学学过的数的区别： （1）整数和分数：在小学数学中整数仅包括自然数，分数也只有正分数。学习了有理数后，引进了负数，整数不只是正整数和零了，还有负整数，分数也有正分数和负分数之分。（2）奇数和偶数：奇数和偶数的范围扩大了，奇数包括正奇数和负奇数，偶数也包括正偶数、负偶数和零三部分。（3）数“0”的意义发生了变化：学习有理数后，“0”就不仅只表示“没有”了，也不再表示最小的数了，“0”既不是正数，也不是负数，而是介于正数和负数之间的中性数。 提分技巧 1、熟练掌握有理数的分类方法是解决有理数问题的关键，运用时要注意以下两点：（1）不重复，即同一事物不能归纳到两个类别中；（2）不遗漏，即某一事物不能在类别中找不到。如把有理数误分成正有理数和负有理数，这种方法会把有理数中的零给漏掉。 2、几个关于有理数的数学用语：我们通常把正整数和零统称为非负整数，也叫自然数；负整数和零统称为非正整数；正有理数和零统称为非负有理数；负有理数和零统称为非正有理数。 预防导学 数轴、相反数和绝对值（ 一、预习新知 1、什么是相反意义的量？ 2、有理数如何分类？ 二、预习点拨 探究与反思 探究任务一：数轴的画法和作用 【反思】（1）数轴是一条怎样的直线？ （2）怎样用数轴上的点表示有理数？ 探究任务二：利用数轴理解相反数的意义 【反思】（1）数轴上表示互为相反数的两个点所在的位置有什么特点？ （2）怎样求一个数的相反数？ 探究任务三：利用数轴理解绝对值的意义 【反思】（1）绝对值是它本身的数是什么？绝对值是它的相反数的数是什么？ （2）如何利用数轴比较两个有理数的大小？ 同步练习 （答题时间：60分钟） 一、选择题。 1、在－1、0、1、2这四个数中，既不是正数也不是负数的是（
） A. －1 B.
2、小明的爸爸开的小店昨日获利120元，在每日收支账本上写了“120元”，今天小店亏了20元，他应记作（
） A. 20元 B.
－20元 C.
－20 D. 100元 3、如果＋10%表示“增加10%”，那么“减少8%”可以记作（ ） A. －18% B.
－8% C.
＋2% D. ＋8% 4、某工厂计划每月生产800吨产品，二月份生产了750吨，那么它超额完成（
） A. －50吨 B.
－750吨 C.
50吨 D. 750吨 5、下列说法正确的是（
） A. “黑色”和“红色”是具有相反意义的量 B.
“快”和“慢”是具有相反意义的量 C.
“向北 D. “＋ *6、下面关于“ （1）是整数，也是有理数；（2）不是正数，也不是负数；（3）不是整数，是有理数；（4）是整数，不是自然数。 A. 3个 B.
2个 C.
1个 D. 0个 *7、下列说法正确的个数有（
） （1）0是整数；（2）－1是负分数；（3）3.2不是正数；（4）自然数一定是正数；（5）负分数一定是负有理数。 A. 1个 B.
2个 C.
3个 D. 4个 **8、某项科学研究，以45分钟为1个时间单位，并记每天上午10时为0，10时以前为负，10时以后为正，如9∶15记为－1，10∶45记为1等。则上午7∶45应记为（
） A. 3 B.
－ 二、填空题。 9、小明的姐姐在银行工作，她把存入4万元记做＋4万元，那么支取2.5万元应记做__________，－3万元表示：__________。 10、一种零件的长在图纸上标示为：20±0.01（单位：mm），表示这种零件的长应是 11、在有理数：－1，2.5，0，1，1，－15中，整数有__________。 **12、下列语句：①所有整数都是正数；②所有正数都是整数；③小学学过的数都是非负数；④奇数都是正数；⑤分数是有理数；⑥在有理数中，不是负数就是正数；⑦非正整数是零和负整数。其中正确的语句是__________，不正确的语句是__________。（只写序号） 三、计算题。 13、说明下列每句话的实际意义。 （1）支出－50元；（2）向西走－ （3）成本增加－10%；（4）温度上升－ （5）海拔－ 14、工厂生产的乒乓球是有规定的，不过在实际生产中有的可能轻一点，有的可能重一点，比标准重 *15、判断数的属性，在适当的空格里面画“√”。
**16、下列各组数具有一定的规律性，请你根据规律写出后面的3个数，并求出第15个数、第100个数、第101个数。 （1）0，－1，0，－1，0，－1，0，－1，_____，_____，_____，… （2）－1，2，－3，4，－5，6，－7，8，_____，_____，_____，…
试题答案 一、选择题： 1、B 2、B 解析：注意带单位。 3、B 4、A 解析：根据题意，一般把计划生产800吨记作“ 5、C 解析：“黑”、“红”，“快”、“慢”表示相反的意义，但不是量，D中没有规定向哪边为正，则“＋ 6、B 解析：（1）和（2）正确。注意自然数包括正整数和零。 7、C 解析：（1）、（2）、（5）正确。 8、B 解析：由10时到7∶45即是由10时逆时针方向转了3个45分钟。或从7∶45到10时用了2小时15分钟＝3×45分钟。 二、填空题： 9、－2.5万元，支取3万元 解析：注意不要漏掉单位。 10、 11、－1，0，1，－15。 12、③⑤⑦，①②④⑥ 解析：要正确理解有理数的有关概念，利用相关概念来求解，如④奇数也有正、负之分，故错；⑥零是一个特殊的数，要考虑零的存在及其特殊性，该语句忽略了这点，所以不对。 三、计算题 13、解：（1）收入50元；（2）向东走 14、解：在这10个乒乓球中， 15、解：
16、解：（1）0，－1，0，第15个数是0，第100个数是－1，第101个数是0。（2）－9，10，－11，第15个数是－15，第100个数是100，第101个数是－101。 |
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