一位高中数学教师眼中的“数学计算”（五）子集与集合相等

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新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要 ——华罗庚

1.子集

1.1子集是一个数学概念，它的基本定义有三种不同的表述方法：

1.1.1文字语言表述：对于两个非空集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说 A⊆ B(读作A包含于B)，或 B⊇ A(读作B包含A)，称集合A是集合B的子集。

集合的包含关系和实数的大小关系有相似之处,记号⊆ 和≦有相似之处,开口指向'较大的一边'

1.1.2图形语言表述（图形此处仅示意作用）：

三种不同的图形样式使用的技巧与场合自然也不同，哪个更加形象、直观、易理解就见仁见智了。

1.1.3数学符号表示：如果任意a∈A则a∈B，那么集合A称为集合B的子集（subset）。

注：“任意”在数学中有专用字符∀是上下颠倒的大写字母A,“存在”用左右镜像的字母E表示，此处以课本常用字符为参考。

1.2真子集

1.2.1文字语言表示：如果A ⊆ B，而集合B中至少有一个元素不属于集合A，则称集合A是集合B的真子集。

1.2.2图形语言同上，注意差异。

1.2.3数学符号表示：如果A ⊆ B，且存在x∈B但x∉A,则称集合A是集合B的真子集。

1.2.4性质

性质1：任何一个集合是它本身的子集.

性质2：如果一个集合的元素有n个，那么它的子集有2ⁿ个（注意空集的存在），非空子集有2ⁿ —1个，真子集有2ⁿ —1个，非空真子集有2ⁿ —2个。

证明：对于集合中的每个元素来讲，在它的子集中要么被选到，要么不被选到，只有这两种选择，故每个元素被选中的可能性是2，n个元素，故子集个数共有2×2×2×…×2=2ⁿ 。其余从略。

性质3：子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等；

真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等。

1.3空集

1.3.1空集的是指不含任何元素的集合称为空集。

1.3.2空集是一切集合的子集。

证明（反证法）：按照子集的定义，这条性质是说 { } 的每个元素x都属于A。若这条性质不为真，那 { } 中至少有一个元素不在A中。由于{ }中没有元素，也就没有{ }的元素不属于A了，得到{ }的每个元素都属于 A， 即{ }是A的子集。

表示方法:用符号Ø或者{ }表示。

1.3.3性质与注意点

性质:：空集是任何非空集合的真子集。 Ø只有一个子集就是自身，没有真子集。

注意点1：空集不是无;它是不含有任何元素的集合。

:注意点2：{Ø}为有一个字符为Ø元素的集合，而不是空集（一般此处的Ø不作空集理解，否则会带来很多麻烦）。初学者由于对符号的不理解使其成为集合理解的一个难点。可以将集合想象成一个装有其元素的袋子：袋子可能是空的，但袋子本身确实是存在的。

这样理解就比较直观：{ }=Ø。

注意点3：实数0与空集是两个不同的概念，不能把0或{0}与Ø混为一谈。{0}是含有一个元素0的集合，Ø是不含任何元素的集合，因此，有Ø⊆{0}，不能写成Ø={0} 或Ø∈{0}。

注意点4：元素与集合之间只能用“∈”或“∉”，集合与集合之间只能用“⊆，⊇，=” 或真子集的符号。二者不可以混淆。

2.集合相等

集合A 与集合B相等，是指A 的每一个元素都在B 中，而且B中的每一个元素都在A中．以下叙述实质是一致的，只是表达方式不同而已．

①集合A与集合B的元素完全相同，则称集合A等于集合B．

②对于两个集合A 和B，如果A⊆B，同时B⊇A ，那么就说这两个集合相等，记作 A = B．

注：这个定义是一般指在有限集的范围内，不是无限集。

3.对阅读材料的重新解构与解读

苏版教材在本章最后有“有限集与无限集”的阅读材料，目的想让同学们认识有限与无限的区别与联系，可惜内容太少，不太容易说透说明白道理，聪明点可能了解个大概，笨点的走马观花地看看就算了。当然很多的老师与学生根本就不看，因为考不到吗？在宝山脚下转了一圈而空手还，可惜、可叹、可笑、可气啊！

3.1这是个抖机灵的问题吗？

我们知道全体整数有无限个，全体自然数也有无限个，如果有人问你“整数的个数与自然数的个数那个多？”自然数是整数的一部分，难道部分可以等于整体吗？同理有理数和整数哪个多呢？无理数和有理数哪个多呢？……

由此类比出线段都是一样长的吗？线段和直线那个更长一些？线段上的点和平面上的点哪个多？和空间中的点相比呢？

实际上这些问题都指向了——有限与无限的相关问题？

3.2神来之笔不过是旧相识

集合（有限集）的相等告诉我们，当且仅当两个集合的元素完全相同时这两个集合是相等的，如何判断两个集合相等呢？

一一对应

教室里有45个座位，老师走进教室，一看每个座位都有一个人，他就不需要点名也知道今天无人缺席，这是因为座位和人之间构成了一一对应的关系，从而听课的人数和座位一样多。假如此时空了一个座位，我们立刻知道，听课的学生就少了一人，这是因为“部分小于整体”的原因，然而这是在有限情形的规律。对于无限的情形，又会怎样呢？

借鉴这个方法（说起容易做起难，借鉴容易建立系统就更难了）：如果我们在两个无限集的元素之间能建立起某种“一一对应”，我们就说这两个无限集的元素“一样多”。即“一样多”的唯一意义也是其本质含义是“可以一一对应”。在拙文一位高中数学教师眼中的“数学计算”（三） 集合的概念与康托尔中介绍了“希尔伯特旅馆”，他的解决思路你现在明白了吗？有限与无限是两个多么迷人而又调皮的小东西！

3.3出人意料的解法——无字天书

欧几里得

埃及王问道：“几何之道，更有捷径否？”欧几里得对曰：“夫几何一途，若大道然，王安得独辟另途也？”——李善兰（中国数学家，1811～1882）《几何原本》中译本序

聪明的你知道下面几个图各说明那两个集合间的一一对应吗？

答案：（从上到下）

正整数与正偶数一样多；

正整数与整数一样多；

不等长的线段上的点一样多；

线段上的点和直线上的点一样多。

问题：你能证明圆上的点和直线一样多吗？

3.4追问与证明

是不是所有的无限集合间的元素都能建立“一一对应”的关系？也就是说所有的无限集的元素个数都是一样多的吗？事实并非如此，有理数就不是和无理数一样多的。

3.4.1有理数可人，可数可列

如下图的康托尔的对角线法则就是说明有理数可数可列的，如图我们可以人为的给出一种编号方案，我们把以正整数为分子的正既约分数们排成下列无穷的方阵，每横行分子一致，分母从小到大排列，下面方阵中囊括一切正有理数，在按箭头所示的次序来编号，1编成1号，2/1编成2号，1/2编成3号，1/3编成4号，2/2因为重复去掉，故3/1编成5号，如此下去…每个正有理数都会迟早获得唯一的一个指定的编号。

再把0编成0号，（下面是给负有理数编号）把这些号码皆乘以2，把得到的新号码2k（皆偶数）减1所得的奇数码赋予与带有2k码的那个有理数相反的数，比如说 “1/2编码本来是3号” 现在变成了6号，6—1=5则是—1/2的号码，如此，全体有理数皆编了序号0,1,2,3，…

有理数全体的这种可以有序化或曰“可数性”是有理数名符其实的一个“有理”的表现。

3.4.2无理数烦人，神出鬼没

无理数从诞生那天起，就不停地为人类带来麻烦，先有发现者希伯索斯被投进大海，后有

康托尔死于精神病院，而中间足足横跨2000多年。

无理数也是无穷多个，例如

是一个无理数α₁，它无限又不循环。若把①中的数字1全部擦掉则得α₂，α₂也是无理数，把α₂中的数字2全擦掉，则得到无理数α₃，如此可以得到无穷个无理数，这些无理数α₁，α₂，α₃，…α_n…和全部的有理数可以一一对应，α₁与0号有理数是一对儿，α₂与1号有理数是一对儿，…，α_k+1与k号有理数是一对，可见无理数的部分已经和全体有理数一样多。

无理数集合中的元素不可以编号。这只需证明（0,1]中的实数不可编号。

用反证法，若可以把（0,1]中的实数编号成t₁,t₂,t₃,…t_n…，其中

其中t_ij∈{0,1,2,3,…,9},i,j,是自然数，且每个t_i中的右端有无限个数字不是零，例如0.5写成0.499…9…（你明白其中的道理吗？可以用无穷递缩等比数列的求和公式来证明）.观察对角线上的数字列t₁₁,t₂₂,t₃₃,…，t_nn,…取

则十进小数a=0.a₁a₂…a_n…∈（0,1],且a∉{t₁,t₂,…,t_n,…},此与（0,1]中的全体实数是{t₁,t₂,…,t_n,…}矛盾的，可见（0,1]内的实数是不可以编号的。

若（0,1]中全体无理数可以编号为β₁，β₂，…,β_n，…又知（0,1]中的全体有理数可以编号为γ₁,γ₂,…,γ_n…,考虑数列γ₁,β₁,γ₂,β₂,…,γ_k,β_k，…②则（0,1]中的全体实数可按②的次序编码，与上述证明出的事实相矛盾，至此知（0,1]中的全体无理数进而全体无理数不能编码。

无理数们的这种不可数性是它们“无理”的一种表现。从而可以清楚的看到无理数远远比有理数多，通俗的讲，有理数可以一个一个的地数，而无理数则多到不可胜数。

3.4.3你中有我，我中有你

联系

每两个有理数之间必有无理数，每两个无理数之间必有有理数，但是无理数仍然比有理数多得多，就好比把一滴墨水滴到一碗水里，充分地搅匀，这是碗里的水也变成了的黑色，我们能说一滴墨水比一碗水多吗？有理数和无理数也是这样的。

我们知道数轴上的点和实数是一一对应的，那么有理数和无理数是怎样分布的呢？有理数是一个一个的离散的小珠子，看似无间实际有间；无理数像串珠的丝线，看似有间其实无间。二者皆处处稠密，但有理数却被无理数的所覆盖、所淹没。如果说有理数是稀饭锅里的米粒，无理数就是汤！

3.4.4康托尔的伟大贡献

数学的本质在於它的自由 ——康扥尔(Cantor)

康托尔在以上问题的基础之上，提出“势”这个概念，他告诉我们，并认识到无限集合是可以有不同的“势”的。标记符号为 ℵ (由希伯来字母 ‎א‎ ‎演变而来)加角标表示可数集(包括自然数)的势标记为ℵ₀，下一个较大的势为ℵ₁，再下一个是ℵ2，以此类推。

阿列夫数用来衡量集合的大小，而无限只是定义成实数线上的最大的极限或扩展的实轴上的端点。某些阿列夫数会大于另一些阿列夫数，而无限只是无限而已。

比如自然数、整数、有理数的“势”是ℵ₀，而无理数、实数的“势”是ℵ₁。

康托尔在1873年证明了实数集的势大于自然数集．这不但意味着无理数远远多于有理数，而且显然庞大的代数数与超越数相比而言也只成了沧海一粟，如同有人描述的那样：“点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁星；而沉沉的夜空则由超越数构成．”

如同我们前面所讲的，正因为康托尔的超前思维，受到了很多不公正的待遇，在洪水猛兽般的攻击和诽谤面前，他为自己证明说：“数学在其发展过程中应当是完全自由的，对数学设定任何多余的限制只会带来更大的危险。数学的本质是自由！……我宣布，我们的数学科学必须摆脱形而上学的桎梏，我们需要自由发展。”

康托尔的天才特质和创新精神，让他有勇气一个人独对狂风暴雨，在很长时间内他都是一个人在战斗。在数学史上，如此激烈的交战是前所未有的，它关系到的是数学的严谨，是科学的争论，无关政治、物质利益的争论。

著名的俄罗斯数学家柯尔莫哥洛夫总结这场战争是说：“康托尔的不朽功绩，在于他向无穷的冒险迈进，他对似是而非的传统，流行的成见，哲学的教条，以及最大的数学家的权威进行了全方位的战斗，他不屈不挠地成为一门新学科的创造者，这门学科已在今日成了全部数学的基础。”

注：

有限集不一定是可数集.令N是正整数的全体,且N＝{1,2,3,……,n},如果存在一个正整数n,那么N叫做有限集合.但是你数得清集合里面有多少个元素吗,当然不能咯.

空集也被认为是有限集合.但是空集里面摸有元素.