二次根式小结与复习

【主要内容】

本单元是在学习了平方根和算术平方根的意义的基础上，引入一个符号“”．主要内容有：（1）二次根式的有关概念，如：二次根式定义、最简二次根式、同类二次根式等；（2）二次根式的性质；（3）二次根式的运算，如：二次根式的乘除法、二次根式的加减法等．

【要点归纳】

  1. 二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．

  2. 二次根式的性质：

①

②

③

④

  3. 二次根式的运算

二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减．

（1）二次根式的加减：

需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。

注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．

（2）二次根式的乘法：

（3）二次根式的除法：

注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．

   （4）二次根式的混合运算：

   先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算．

注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便．二次根式运算结果应尽可能化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数．例如不能写成．

（5）有理化因式：

一般常见的互为有理化因式有如下几类：

①与；             ②与；

③与；      ④与．

   说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化．

【难点指导】

1、如果是二次根式，则一定有；当时，必有；

2、当时，表示的算术平方根，因此有；反过来，也可以将一个非负数写成的形式；

3、表示的算术平方根，因此有，可以是任意实数；

4、区别和的不同：

中的可以取任意实数，中的只能是一个非负数，否则无意义．

5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：

（1）因式的内移：因式内移时，若，则将负号留在根号外．即：．

（2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即：

6、二次根式的比较：

（1）若，则有；（2）若，则有．

  说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小．

 

二次根式强化训练与复习巩固自测试题

【时间60分钟   满分100分】

一、填空题：（每小题2分，共20分）

1．化简：______；_________．

    2．当______时，．

    3．等式成立的条件是______．

    4．当，化简_______．

5．比较与的大小：_______．

6．分母有理化：

（1）__________；（2）__________；（3）__________．

7．已知，，，那么________．

8．计算_________．

9．如果，那么的值为___________．

10．若有意义，则的取值范围是___________．

二、选择题：（每小题2分，共20分）

1．下式中不是二次根式的为（ ）

      A．；  B．； C．； D．

2．计算得（ ）

      A．；      B．      C．         D．17

3．若，则化简等于（ ）

      A．      B．     C．       D．1

    4．化简的结果是（ ）

      A．       B．        C．       D．

5．计算的结果是（ ）

      A．          B．          C．        D．

    6．化简的结果是（ ）

      A．2        B．       C．        D．以上答案都不对

    7．把式子中根号外的移到根号内，得（ ）

      A．    B．   C．   D．

    8．等式成立的条件是（ ）

      A．      B．      C．     D．

9．的值为（ ）

      A．      B．     C．        D．  

10．若代数式有意义，则的取值范围是（ ）

     A．且   B．   C．且   D．且

三、计算与化简：（每小题2分，共16分）

（1）  （2）      （3）  （4）

 

（5）      （6）  （7）         （8）

 

（9）   （10）

 

四、求值题：（每小题4分，共16分）

1．已知：，求的值．

2．已知，求的值。

3．已知：，求的值．

4．求的值．

5．已知、是实数，且，求的值．

五、解答题：（每小题4分，共16分）

1．解方程：

2．在△ABC中，三边分别为，且满足，，试探求△ABC的形状．

3．有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为：1，现用直径为3cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房梁的最大截面积是多少？

 

 

答案与提示：

一、填空题：

1．    8；    2．；    3．，；  4．；   5．；6．（1）（2） （3）    7．；    8．；    9．4；    10．；

二、选择题：

1．B；  2．B；3．C；  4．A；  5．A；  6．C；  7．C；  8．A；  9．B；  10．C；

三、计算与化简：

（1）96  （2）（3）（4）  （5）   （6）   

（7） （8）（9）

（10）思路点拨：由于，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到的值，代入化简得结果即可．

解：原式

．

四、求值题：

1．由于，所以；

2．解：∵，∴

∴，∴，∴

∴原式．

3．提示：由，得：，即：，所以，；再化简，即：．

4．提示：由于

            ，而，所以．

5．提示：由，可知的取值范围：，则；则．

五、解答题：

1．原方程可化为：，

∴   ∴

2．∵，∴，

又∵，∴，∴，

∴；

∵，，，∴，，，

 ∴，∴△ABC是等边三角形．

3．设：矩形房梁的宽为，则长为，依题意，

得：，，，

所以．

答：加工后的房梁的最大截面积是．