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纵观几千年的数学发展史，人们眼前展现了一幅壮观的景象：在科学世界里，一条长江大河从涓涓细流的源头开始，不断会聚各路支流，越来越浩浩荡荡，终成今日汹涌澎湃之势。
是什么力量在推动数学长河奔腾向前呢？我们认为，推动数学的主要力量有三股——社会生产的发展、数学内部的矛盾和数学家们的努力。
一、社会生产的发展
恩格斯指出：“科学的发生和发展，一开始就是由生产决定的”，这里的生产是指人们使用工具来创造各种生产资料和生活资料。数学作为研究客观物质世界的数量关系和空间形式的一门科学，它的发生和发展也是由生产决定的。
尽管数与形的最初观念可以追溯到原始社会，但是由于当时生产水平的低下，虽然经历了上万年的漫长时间，也只积累了一些零碎的、萌芽的数学知识。到了古希腊奴隶社会最发达时期，社会生产有了较大发展，几何学才取得了决定性的进步。
文艺复兴时期，机械的广泛使用，航海事业的迅速发展，以及我国四大发明的传播，促成了西欧生产的巨大变化，推动了自然科学的迅速发展。在这时期，在意大利的封建社会中，代数学取得了快速的发展。
17世纪欧洲生产的发展，促进了力学和技术的发展，从而向数学提出了从一般的形态上研究运动的问题。出于研究运动，变量的观念产生了，并且成了数学研究的主要对象，同时也产生了函数的概念。数学向研究变量和函数方面发展，随后就产生了解析几何、微积分等数学分支。
微积分的基本理论在实践中的成功应用，证明它反映了生产和科学技术的某些客观规律，数学终于在较短的时间里取得了辉煌的成就。在古化虽然已有了朴素的极限思想，但是那时候的生产水平低下，科学技术不发达，研究都停留在静力学和固定不动的范围内，不可能产生微积分。在中世纪，生产的客观实际也不可能提出研究变量的问题，因此那时候也不可能产生微积分。
1705年，英国物理学家纽可门制成了第一个能供实用的蒸汽机；1768年，瓦特制成了近代蒸汽机。由此引起的工业革命，大大提高了人类社会生产力，从而促进了十八、十九世纪数学的大繁荣。
20世纪40年代，生产力得到进一步发展，科学技术突飞猛进。1945年，第一颗原子弹爆炸、第一台电子计算机问世；1957年，第一颗人造地球卫星发射成功。超高温、超高压、微观、宏观及大科学出现，于是现代数学发展神速、硕果累累。
有的数学家认为：1940年以后的数学成就，超过了从古希腊到1940年间2000多年的数学成就。纯粹数学方面，出现了一些重大突破。应用数学方面，涌现出一些新的分支，如计算数学、对策论、规划论、运筹学、信息论、控制论、生物数学、经济数学等等；出现了系统科学；出现了各种数学新思潮，如非标准分析、模糊数学、突变理论、结构数学、构造数学等等；计算机科学、人工智能和机器证明也发展起来了。
自然界的种种现象是早已有之的，但人们对它们的认识是随着生产的发展而逐步深化、全面的，科学史就反映出这个艰难的历程。在数学研究中，面对确定性现象，2000多年前就开始建立“精确数学”(代数方程、微分方程等)；面对随机性现象，400多年前开始建立“随机数学”(概率论，数理统计等)，工业革命后大生产中的产品检验问题，大大推进了概率、统计、随机过程等分支的发展；而面对模糊性现象，20多年前才开始建立“模糊数学，可以毫不夸大地说：没有电子计算机便没有模糊数学。
人类的社会实践包括生产斗争、阶级斗争和科学实验三大运动，其中起决定作用的是生产斗争。社会生产从三个方面推动数学的发展，向数学提出新的问题，刺激数学向这个或那个方向发展，为数学提供新的发展条件，就象为生物学家提供显微镜、为天文学家提供望远镜那样，现代生产与科技为数学家提供了电子计算机，推动数学飞速发展。
虽然数学的理论往往具有非常抽象的形式，但是它们同时也是现实世界中量的关系和空间形式的深刻反映，因而可以广泛地应用到自然科学、技术部门、社会科学和生产实际中去，对于人类认识自然、改造自然起着重要的作用。这也是数学的发展对于社会生产的发展所起的巨大的反作用，也是检验数学结论的真理性的唯一标准。
综上所述，数学的发展不能脱离社会生产的发展。在绝大多数情况下，前者依赖于后者，因而两者的发展大体上是相适应的。但是数学的发展也有相对的独立性，有时落后于社会生产的发展，有时则超越社会生产的发展。例如，公无前3世纪的圆锥曲线经过1800年，才在行星运动三定律中得到应用；19世纪20年代的非欧几何差不多100年后才在相对论中得到应用；19世纪40年代的数理逻辑，一百年后才在电子计算机中得到广泛应用。这些理论走在实践要求之前的发展，一般是由于纯粹数学内部矛盾运动推动的结果。
二、数学内部的矛盾
整个数学的发展史就是一部矛盾斗争的历史。数学内部的矛盾是推动数学长河滚滚向前的主要力量之一。
数学以现实世界的空间形式和数量关系作为自己研究的对家，为了在纯粹形态上研究这些形式和关系，就必须和现实世界的内容割裂开来。但是，离开内容的形式和关系是不存在的。因此，数学按它的本质企图实现这种割裂，是企图实现一种不可能的事情。这是在数学本质中的根本矛盾，它是认识的普遍矛盾在数学方面的特殊表现。在越来越接近现实的各个认识阶段上，不断解决和重复上述矛盾，数学就不断地前进、发展，由简单到复杂，由低级向高级。
人类最早认识的是自然数，引进零和负数就经过了斗争：要么引进这些数，要么大量的数的减法就行不通。同样，引进分数使乘法有了逆运算—除法，否则许多实际问题也不能解决。
但是接着又出现了这样的问题：是否所有的量都能够用有理数来表示？发现无理数并最终使得第一次数学危机的解决，促使了逻辑的发展和几何学的系统化。方程解的问题导致虚数的出现，虚数从一开始就被认为是“不实的”，可是这种不实的数却解决了实数所不能解决的问题，从而为自己争得了存在的权利。数学就是这样在矛盾斗争中发展的。几何学从欧几里得几何的一统天下发展到多种几何，也是如此。
在19世纪发现了许多用传统方法不能解决的问题，如五次及五次以上代数方程不能通过加、减、乘、除、开方求出根来；古希腊几何三大问题不能通过圆规和直尺作图来解决等等。这些否定的结果表明了传统方法的局限性，也反映了人类认识的深入。
这些发现给有关学科带来了极大的冲击，几乎完全改变了它们的方向。例如，代数学从此以后向抽象代数的方面发展，而求解方程的根也变成了分析及计算数学的课题。在第三次数学危机中，这种情况也多次出现，尤其是包含整数算术在内的形式系统的不完全性、许多问题的不可判定性，都大大提高了人们的认识，也促进了数理逻辑的大发展。
由无穷小量的矛盾引起的第二次数学危机，反映了数学内部的有限与无穷的矛盾。第三次数学危机涉及集合论和数理逻辑，但它一开始就牵涉到无穷集合，而现代数学脱离无穷集合就寸步难行。一种极端的观点是只考虑有限集合或至多是可数的集合，不过这样一来绝大部分数学将不复存在。
即使这些有限数学的内容也有许多要涉及无穷的方法，有很多的数学证明都要用有限的步骤解决涉及无穷的问题。借助于计算机完成的四色定理的证明，首先也要把无穷多种可能的地图归结成有限的情形。对于无穷，计算机也是无能为力的。可见数学永远回避不了有限与无穷这对矛盾，可以说它是数学矛盾的根源之一。
数学中也一直贯穿着应用上清楚与逻辑上严格的矛盾。在这方面，比较注意实用的数学家盲目应用，而比较注意严密的数学家则提出批评。只有这两方面取得协调一致，矛盾才能解决。例如，算符演算及δ函数，开始是形式演算，任意应用，直到施瓦尔兹才奠定广义函数论的严整系统。微积分的应用与极限论的建立更是众所周知的。
在数学史中，一直存在着经常起作用的两种重要趋势：一种是学科不断分化的趋势，另一种是学科不断综合的趋势。这两种矛盾的趋势的辨证运动，表现为一个否定之否定的过程。 自然界作为一个无限多样性的统一整体，通过感觉和知觉进入人类的意识。古时候，数学是在总体的数和形的关系上把握自然界的，算术、代数、几何没有彼此分开，任何一本数学名著都包括了这三方面的内容，并且把它们溶化在一起。因此，古代的数学本质上是一种感性直观的关于数和理的综合的科学。
从17世纪产生解析几何和微积分以后，学科分化的趋势一直居于主导地位。单一的未经分化的学科向许多专门分支学科发展，每一门学科所研究的又都是具体完整的数学中数与形的某一个方面。这种不断分化，到19世纪下半叶达到了相当精细的程度，代数、几何、分析等学科已经形成了各自不同的研究领域，特别是分析领域的发展更是蓬蓬勃勃。每个学科都可以互不联系地单独向前发展，各学科在理论、语言、方法等方面可以互不相通，根本谈不上统一的数学的图景。
从1872年克莱因用“群”的观点统一各种几何开始，到康托尔建立集合论和公理化运动，越来越分化的数学走向综合的趋势逐渐明显。到20世纪初，数学学科的分化和综合都明显加快了。从20年代起，特别是第二次世界大战后，综合的趋势已占主导地位。学科的继续分化实际上已经是综合趋势的一种表现形式，因为新学科的不断出现正在越来越消除各学科之间的传统界限。对于数和形的深入认识，更多地采用多学科的方法的综合认识形式。因此，各门学科更加紧密地联系起来。现代数学发展的辨证法就是这样的，越是理解了整体的各个方面，就越是接近于综合地把握整体。
也许将来会出现一种公认的新观点，把目前的数学统一起来。但是，这种统一只是暂时的、相对的。随着生产和科技的发展，又会产生新的问题，形成新的分支，促进新的分化。数学将在这种不断的分化和综合中不断前进。般是由于纯粹数学内部矛盾运动推动的结果。 三、数学家们的努力
数学作为一门科学，它不是任何一个历史时代、任何一个民族单独的产物，而是若干个时代，许多民族的共同产物。经过4000多年世界各民族的共同努力，数学才发展到今天边样的规模。
推动数学前进的力量，无论是社会生产的发展，还是数学内部的矛盾，说到底都离不开人民，特别是离不开作为他们之中优秀代表人物的古今中外数学家们的努力奋斗。在数学史中，几千位著名的数学家作出了可贵的贡献；几十万名数学研究人员作出了必要的探索；数千万数学教育工作者和实际应用者为数学的传播和应用建立了功勋。
我国的《畴人传》包括400多位天文、数学家的传记，其中占篇幅最多的是僧一行，他是唐代最著名的数学家、天文学家。僧是和尚、一行是法号，原名张遂，天赋聪敏、潜心窥测，717年他来到京城长安，为唐玄宗顾问。他把数学与天文学结合起来，创造了世界上最早的不等间距二次内插法公式；他组织并领导的在全国12个点对北极高度和日影长短的测量，是世界上第一次对子午线的实测；他对历法科学作出了重要的贡献，推算出“开元大衍历”，后世有人称赞它“历千古而无差”。可惜他的著作后来全部散失了。
我国数学家中在世界上声名最高的，是南北朝的祖冲之(429～500年)。他是世界上最早计算圆周率π精确到6位小数的人，并且保持了这项世界纪录将近1100年。他从小喜欢钻研天文、数学，博览群书，重视实践，经常提出大胆的想法，再通过实践来检验这些想法是否正确。祖冲之和他的儿子合撰的数学专著《缀术》，核定为唐朝学校的教材。中世纪时，日本、朝鲜的学校也采用它作为课本，可惜这部书后来失传了。为纪念祖冲之在圆周率及其它方面的贡献，莫斯科大学建立了他的塑像，与世界其它著名科学家的塑像一起受到人们的敬仰。苏联科学家还把月球上的一个环形山命名为祖冲之环形山，真可谓名扬九天。
宋元时代的朱世杰被誉为“中世纪世界最伟大的数学家”。他曾四处流浪，周游湖海20多年，长期靠教授数学来维持生活，“踵门而学者云集”。他的名著《算学启蒙》三卷(1299年)和《四元宝鉴》三卷(1303年)是我国数学发展的重要里程碑。前者创立了代数加法和乘法的正负法则；后者把天元术推广为“四元术”(四元高次联立方程解决)，而欧洲到1775年才提出同样的解法。《四元宝鉴》开头所载“古法七乘方图”与“杨辉三角”具有同等重要的世界意义。朱世杰对高阶等差级数求和问题进行了讨论，得出了高次差的内插公式(四次“招差术”)，这实质上已相当于1676～1678年间牛顿的一段内插公式。
在中国数学史上，著述最多的数学家是梅文鼎(1683～1721年)。梅文鼎，字定九，号勿庵，安徽宣城人。他自动喜爱天文学、数学。自29岁起，数十年学问与年俱进，是十七八世纪之交中国最伟大的数学家。他在历学方面，深究中国古代70余家历法，而后与西历会通；在数学方面，先习筹算、笔算、三角、对数，而后发挥少广、方程及勾股诸术，集其大成，自成一家。
梅文鼎的著述，据他所著的《勿庵历算书目》所载，共88种，达二百余卷，其中已刊者33种计70卷。在这些历算书中，数学著作占了三分之二，包括了初等数学的各个分支。他的孙子梅毂成，自幼跟他受到良好的数学教育，1712年23岁时入宫学习数学和天文，次年任蒙养斋汇编官，主编《数理精蕴》。
1761年，梅毂成把其祖父的著作编成《梅氏丛书辑要》，共收33种计60卷，附梅毂成自己所著二卷，其中数学书40卷。象这样祖孙三代大有作为的数学家之家，在世界数学史上也是罕见的。可以与之媲美的只有是差不多同时代的瑞士伯努里家族。
世界数学史上最多产的数学家是瑞士的欧拉(1707～1783年)。他一生中，共发表530本(篇)书(论文)，死后47年中，又陆续出版了他留下的许多书稿，从而发表他的著作达到886本(篇)之多。欧拉的一生几乎全部从事数学研究，涉及的范围很广。1735年，他不幸瞎了一只眼睛；1766年，另一只眼睛也瞎了，但这些都没有阻碍他的钻研和创作。双目失明的欧拉，让别人笔录下他的研究成果，借这一种稀有的记忆力，顽强而艰苦地奋斗着。他能在最嘈杂的扰乱中，精力高度集中地进行创造性的工作。
使人感到惊讶和钦佩的，不仅是欧拉的著作是如此之多，而是他的文字通俗易懂、使用的符号先进新颖。下述记号的正规化，都应该归功于欧拉：f(x)表示函数；e表示自然对数的底；a、b、c表示ΔABC的三条边；∑表示求和；i表示虚单位……。
还有最著名的欧拉公式，这个关系式联系着数学中最重要的五个数e、π、i、1、0，是数学中最美妙的公式。很多数学家都怀着尊敬的心情赞美欧拉：“读读欧拉，他是我们一切人的名师”(拉普拉斯)、“对欧拉工作的研究将仍旧是对于数学的不同范围的最好的学校，并且没有任何别的可以替代它”(高斯)。瑞士自然科学学会从1907年开始出版《欧拉全集》，用了四十年才出齐73本。
名列第二位的多产数学家，不是法国的柯西，就是英国的凯雷。但要认真地确定谁该享有这份荣誉，恐怕要计算出版物的页数。例如柯西的全集，除几本书外，包括789篇论文，其中有些是巨著，计有24本大四开本。
世界上第一位女数学家是希腊的希帕提亚(310～415年)，她是数学家泰奥思的女儿，写过关于阿波罗尼和丢番图的评注本。而世界上最伟大的女数学家是德国的诺特(1882～1935年)，她生于犹太家庭，父亲也是著名的数学家。1900年，她进入爱尔兰根大学，在近千名学生中只有两名女性。在戈丹的指导下，诺特完成了博士论文《三元双二次型不变量的完全系》。1916年，诺特来到哥廷根。那时希尔伯特正从事广义相对论的研究，诺特在这方面做了出色的工作，被后人称之为物理学中的诺特定理。
然而，大学里对妇女的歧视是一个严重问题。希尔伯特多次要求校方给她讲师的职称，可是格廷根的哲学教授会议(数学是哲学的一部分)中的语言学家和历史学家极力反对。
1919～1922年间，诺特走上了她自已独特的发展道路，研究环中的理想论。她对抽象代数的贡献是划时代的，她的一般理想论可说是哥廷根代数学派的代表作。1922年，诺特成了一名特别教授，但只不过是一个空名。她当时开一门代数课，从学生交付的学费中取一份很少的薪金。
由于纳粹德国迫害犹太人，1933年诺特来到美国费城任教，不幸于1935年病逝。大物理学家爱因斯坦在《纽约时报》撰文纪念，文中说：“诺特女士是自妇女受到高等教育以来最重要的最富于创造性的天才”。
在数学史上，有不少著名的数学学派，它们是由志同道合的数学家组成的学术团体，对数学的发展作出了特殊的贡献。这里要简略介绍一下对现代数学有巨大影响的布尔巴基学派。
第一次世界大战给法国科学事业带来了灾难性的破坏，法国数学界出现了青黄不接、后继乏人的局面。老一辈法国数学家虽然曾经在分析、函数论方面作出过杰出成绩，但都是60岁上下的人，而且对当代数学一般只有相当含糊的观念，对德国数学学派的优秀成果、对迅速发展的苏联学派以及诞生不久就红极一时的波兰学派都毫无所知。法国数学落后了。
1924年前后，一批十八九岁的青年进入巴黎高等师范学院的数学系。这批年青人中有狄多涅、韦伊、亨·嘉当等人。他们不满足法国数学的现状，要把触角伸向“函数论王国”之外，决心发动“革命”，振兴法国数学。
1932年，这批青年人“秘密”组成了一个小组，以法国十九世纪一位将军布尔巴基的名字命名。后来又增添了几位成员，比较固定的成员在十人左右。他们瞄准了世界先进水平，如饥似渴地大量阅读，刻苦研讨最新发表的数学论文，分析数学发展中大量新概念，每年聚会多次，热烈争鸣，严谨治学。他们还走出国界，直接倾听国外优秀数学家的讲学和介绍，学习最先进的知识。他们方向对头，敢想敢于，不久就在深入研究现代数学的基础上，形成了自己的独创的观点——数学结构的观点，并用以统一概括现代纯粹数学的新成果，把法国的数学水平推到世界的前列。
从1939年起，他们开始出版《数学原本》。这是一套关于现代数学的综合性丛书的第1卷，此丛书直到1972年出版第34卷时，仍未宣布终止。这套数学丛书标志着布尔巴基学派的诞生，他们造就了一大批象魏尔、狄多涅、歇瓦菜、德尔商特、嘉当等在代数几何、拓扑空间、泛函分析、李群、可换环、多复变函数论等数学领城作出重要贡献的数学家。
布尔巴基的结构主义观点，在50～60年代盛极一时，在中学教材改革中曾被奉为经典。70年代以来，结构主义观点开始走下坡路，受到了批评，认为它一味追求形式主义的公理化，脱离实际，为数学而数学，忽视了数学和其他科学的联系，在初等数学中过早引入抽象概念等等。
但是，布尔巴基学派富于创造的精神是令人敬佩的，他们的治学态度是十分严肃的，一卷著作甚至推倒重写10遍，经过10多年才去付印。《数学原本》仅第一部分就花了30年才正式出版。他们严格要求自己，既要有广泛的兴趣、深厚的基础，又要有独立作战的精神，一丝不苟的态度，这些都是他们成功的原因。
“史可为鉴”，“它山之石，可以攻玉”。愿古今中外数学家们在推动数学前进中焕发出来的精钟力量，化作青年朋友们的宝贵财富，为中华在各个领域的新顿起而奋斗！ |
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