一元五次方程与伽罗瓦

wkwable 2015-04-25

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埃瓦里斯特·伽罗瓦（évariste Galois，1811年 10月25日－1832年 5月31日，法语发音 [eva?ist ɡalwa]），法国著名的数学家。在他还只有十几岁的时候，他就发现了n次多项式可以用根式解的充要条件，解决了长期困扰数学界的问题。他的工作为伽罗瓦理论（一个抽象代数的主要分支）以及伽罗瓦连接领域的研究奠定了基石。他是第一个使用群这一个数学术语来表示一组置换的人。与尼尔斯·阿贝尔并称为现代群论的创始人。在路易·菲利普复辟的时期，他是一个激进的共和主义者，并因此被逮捕、坐牢。二十岁出狱后，他在一次几近自杀的决斗中逝世，引起种种揣测。

出身

伽罗华出生在法国皇后镇Grand'Rue大街20号^[1]的一个支持革命的^[1]有着共和主义传统的小资产阶级知识分子家庭^[2]中。他的祖父，是那个城市学校的校长，见证了1789年11月2号教会学校世俗化后市民大量涌入的历史。他的父亲，尼克拉－加布里埃尔·伽罗瓦（Nicolas-Gabriel Galois ，1775-1829），轮值机构负责人^[1]，在百日王朝后，成为了皇后镇的自由派市长^[2]直到因自杀而死。他的母亲，阿德莱德－玛丽·德芒特（Adéla?de-Marie Demante，1788-1872）出身律师、法官之家^[3]，能够流利地阅读拉丁文以及古典文学；他的姑姑是安托万－玛丽·德芒特（），更多体现为斯多亚学派，而不仅是基督教徒^[2]。

他家还另外有两个孩子：那塔利－提奥多和阿尔弗雷德，分别出生于1808年和1814年^[4]。他们和埃瓦里斯特一样，在12岁之前都由他们的妈妈通过一些记忆练习教他们^[3]一些人文学科^[5].

早年生活

1823年8 月，11岁的伽罗瓦进入路易皇家中学就读，虽然在学期开始的时候学校有些动荡（有一百多名学生被开除），伽罗瓦却在前两年保持了很好的成绩，拉丁语还得了一等奖。但他不久就对学校学习厌烦了，因为他14岁的时候开始跟随 Vernier 老师学习数学，并疯狂地爱上了数学，对于其他科目再也提不起任何兴趣了。校方描述此时的伽罗瓦是“奇特、怪异、有原创力又封闭”。

他找到了一本阿德里安-马里·勒让德的几何原理（éléments de Géométrie），像小说一样地读完了它，并且在第一遍阅读就学会了。15岁的时候他开始读约瑟夫·拉格朗日的原著，比如《关于方程代数解的思考》（Réflexions sur la résolution algébrique des équations，有可能正是因此，他后来专注于研究方程的解的理论）；《函数积分教程》（Le?ons sur le calcul des fonctions，一本主要是面向专业数学工作者的书）。这之后不久，他的成绩就开始平庸了，他的老师指责他是受到了理想和创造性的负面影响。^[6]

结缘数学

1829年3月1日伽罗瓦的第一份论文^[7]出版了，是一份关于连分数的论文。也几乎就是同时，他开始了在多项式方程方面的研究。他将他两篇多项式方程方面的研究结果呈交给了法国科学院。这两篇论文由奥古斯丁·路易·柯西（Augustin Louis Cauchy）负责审阅，但都没有准许发表，其中的原因至今不明。不过也有说法是柯西认识到了这两篇文章的重要性，只是建议把它们合并起来以期参加数学学术大奖的竞争。柯西这位当时的一位极其杰出的数学家认为他的论文可能获奖。^[8]

之后伽罗瓦自信满满地投考他理想中的大学，法国声誉卓著的综合工科学校，而甚至都没有复习数学。但是他由于口试中没有解释清楚思路所以未能通过。

当时伽罗瓦的父亲在一场同当地牧师发生的痛苦的政治纷争中自杀身亡。几天后，伽罗瓦第二次尝试报考综合工科学校，可是又一次失败了。这时可以说伽罗瓦毫无疑问超过了“合格”的标准；但是不知为何他还是遭遇了失败。有传说说他对考官给他的题目毫无兴趣，甚至更让考官恼怒的是，他将擦黑板的抹布扔在了考官的脑袋上。^[9]^[10] 看似合理些的解释说伽罗瓦在逻辑推理中跳了太多步骤，使得水平不高的考官跟不上他的思路，导致了他的愤怒。不过父亲的刚刚去世也许也是影响他表现的原因之一。^[6]

之后，伽罗瓦通过考试进入法国另一著名大学巴黎高等师范学校，并在1829年12月29日获得了学位。他的数学考官曾说“这个孩子在表达他的想法时有些困难，但是他十分聪明，并体现出了非凡的学术精神”。

学生革命

伽罗瓦在高等师范学校除了继续他的数学研究，也参加了政治活动。1830年法国七月革命发生，保皇势力出亡，高等师范学校校长将学生锁在高墙内，引起伽罗瓦强烈不满，12月伽罗瓦在校报上抨击校长的作法，由于强烈支持共和主义，从1831年5月后，伽罗瓦两度因政治原因下狱，也曾企图自杀。

据说1832年3 月他在狱中结识一个医生的女儿并陷入狂恋，因为这段感情，他陷入一场决斗，自知必死的伽罗瓦在决斗前夜将他的所有数学成果狂笔疾书纪录下来，并时不时在一旁写下“我没有时间”，第二天他果然在决斗中身亡，时间是1832年5月31日。这个传说富浪漫主义色彩，为后世史家所质疑^[11]。

他的朋友Chevalier遵照伽罗瓦的遗愿，将他的数学论文寄给卡尔·弗里德里希·高斯与雅各比，但是都石沉大海，要一直到1843年，才由刘维尔肯定伽罗瓦结果之正确、独创与深邃，并在1846年将它发表。

伽罗瓦使用群论的想法去讨论方程式的可解性，整套想法现称为伽罗瓦理论，是当代代数与数论的基本支柱之一。它直接推论的结果十分丰富：

它系统化地阐释了为何五次以上之方程式没有根式解，而四次以下有根式解。
他漂亮地证明高斯的论断：若用尺规作图能作出正p边形，p为质数 $\Leftrightarrow$ $p=2^{2^k}+1$ （所以正十七边形可做图）。
他解决了古代三大作图问题中的两个：“不能任意三等分角”，“倍立方不可能”。

另外，怀尔斯在复证费马大定理的时候，亦使用到伽罗瓦理论。

一般的五次方程没有统一的公式解存在。

群论是解决该问题的一种很好的方法。

其实，在我们的人教B版高中数学课本《选修3-4对称与群》里，已经说明：

第一，1824年：挪威的一位年轻人阿贝尔证明了：五次代数方程通用的求根公式是不存在的；

第二，伽罗瓦证得了5次及其以上方程没有统一的求根公式；

第三，伽罗瓦能给出恰好有H=Sn的方程，而在群论里面很容易证明当n≥5时，Sn不是一个可解群。

第一个版本：

二次、三次、四次方程的根都可以用它的系数的代数式(即只含有限项的加、减、乘、除和开方五种代数运算的表达式)来表示，五次及五次以上方程到底是否也行，这个问题吸引了众多的著名数学家，在300多年的时间里，人们的各种尝试都失败了。

后来在18世纪初，保罗·拉尼尔证明了五次方程没有代数解。过了10年左右，阿贝尔同意相信他的理论并给出了证明。

到了18世纪下半叶，法国数学家拉格朗日总结分析了别人失败的教训，也意识到这种用代数方法求解五次方程的公式可能不存在，设想了一种理论上的利用根式求解方程的步骤，但还是碰了壁。

利用一些超越函数，如 theta function 或 Dedekind eta function 即可找到五次方程的公式解。另外，若我们只需要求得数值解，可以利用数值方法（如牛顿迭代法）得到相当理想的解答。

拉格朗日的工作启发了年轻的阿贝尔(挪威数学家)，中学时期就自学了许多名家的数学著作，进大学后，开始研究五次方程的代数解问题。1824年，他严格地证明了高于四次的一般代数方程不可能有一般形式的代数解，这时他才22岁，尚未大学毕业，但没有得到别人理解，将论文寄给高斯，也未引起注意，1826年才得以公开发表论文。阿贝尔只是证明了高于四次方程的一般代数方程不可能有一般形式的代数解，没有指出哪些特殊的方程存在代数解。这个问题后来被法国年轻数学家伽罗瓦所解决，伽罗瓦创设的理论给出了可解性判别准则，并因此而开辟了数学的新领域——群论。