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16世纪，数学家们在偶然中发现了复数。到了18世纪，复数系作为实数的扩张而被建立起来。但在处理复数时产生了一些错误。即便是高斯的杰作《算术研究》(1801年），也回避了所谓“虚数”的使用。关于复数的研究成为了新的数学分支。《算术研究》的最重要的成果，是证明了代数基本定理。高斯充分意识到这一定理的重要性，因此，他花费了许多年的时间来研究这一定理。直到1849年，他首次把这定理推广到了复数域。用现代的术语来描述的话，代数基本定理是：对任意实系数或复系数有限多项式方程，它的根或是实数或是复数。这一定理对长期争论的下述问题给出了否定的答案：高次方程的根是否具有比复数更复杂的“高层次”的结构？高斯认识到这一定理的重要性，在此之后又给出了更详细的证明。当时，代数中最棘手的问题是五次方程能否用代数方法，即通过有限代数步骤求解的问题。在学校里我们学习过二次方程的解法。在16世纪，人们又知道了三次方程和四次方程的解法，但是数学家们没有找到五次方程的解法。对于五次方程解的存在性问题，代数基本定理似乎给出了解法存在的希望。然而，这一定理仅仅是保证了解的存在性，而没有说存在计算严格解的公式（近似数值方法和图形方法巳经存在）。这一问题给我们带来了两位悲惨的天才数学家。尼尔斯·亨里克·阿贝尔(NielsHenrikAhel,1802年-1829年）出生千挪威某个小村庄中一个贫穷的庞大家族。一位具有同情心的教师鼓励阿贝尔自学成才。但在他18岁时，由于父亲的去世，家族的生活重担就落在了这一位年轻虚弱的孩子的肩上。1824年，阿贝尔完成了关于五次方程及更高次方程无代数解的研究论文。阿贝尔相信这是他进入学术界的凭证。他将这一论文寄给了当时在哥廷根大学的高斯。不幸的是，高斯似乎没有打开过这封信。1826年，阿贝尔在《纯粹与应用数学杂志》（现名《克列尔杂志》）发表了五次方程不可解的证明之后去了巴黎。在巴黎，他找到了柯西，柯西是数学分析领域的重要人物，但是与人很难相处。阿贝尔又回到了挪威，由于患了肺结核而更加虚弱，但他继续向《克列尔杂志》寄文章。他死于1829年。他本人至死也不知道他的声望巳经高不可及。 
阿贝尔证明了五次以上的多项式方程不能利用根式求得一般解。然而，可解的必要条件及其求解方法要等到伽罗瓦来给出。伽罗瓦(EvaristPGalois,1811年-1832年）的一生是短暂的而且充满了灾难。作为一位杰出的天才数学家，他性情易变和世人对他的不公正，使他成为一位悲剧人物。1832年5月29日,他接受了一场决斗，伽罗瓦最著名的著作是在决斗的前一夜完成的。在手稿的页边的空白处，他写道“我没有时间了，我没有时间了”。他必须把与理解主要结果无关紧要的一些中间过程留给其他人来完成。那一天的清晨，伽罗瓦与他的敌手相会，两人相隔二十五步远，伽罗瓦在决斗中受了枪伤，第二天早晨死于医院，年仅21岁。伽罗瓦的研究基于拉格朗日和柯西的以往研究，但他对关于五次方程的问题做出了突破性的工作，找到了更一般的方法。他并没有抓住原来的五次方程及它的图形解释不放，而是着眼于五次根自身的特性。为了简化起见，伽罗瓦研究了没有实根的所谓的不可约方程（因为如果五次方程有实根，则五次方程就可以分解成四次方程，因此存在代数解法）。对于任意给定次数的实系数且无实数解的多项式不可约代数方程，伽罗瓦的方法是建立能够利用开方根来对方程求解的条件。
这一方法的关键是发现任意不可约代数方程的根不是独立的，而是能用另一个根来表示的。这些关系可以对根的所有可能的置换构成的群，这就是对根的对称群加以形式化而得到。对于五次方程，这样的群含有120个元素。伽罗瓦理论的数学工具非常复杂，这也可能是他的理论没能很快被接受的原因之一。但是，从代数方程的解到它们的相应的代数结构的这一抽象性的提高，使伽罗瓦能够从相关的群的性质来判断方程是否可解。不仅如此，伽罗瓦理论还为我们提供了寻找方程解的方法。关于五次方程，刘维尔(JosephLiouville,1809年-1882年）于1846年在他的《纯粹与应用数学杂志》上发表了伽罗瓦的许多研究成果并注释道：＂伽罗瓦已经证明了的这一定理，一个素数次的不可约方程用根式可解，当且仅当它的任意根是任何其中两根的有理函数。”由于不可约五次方程不存在这样的关系，因此五次方程不能用根式求解。在这三年期间，数学界失去了两颗最璀璨的新星。阿贝尔和伽罗瓦都是在死后才得到了他们应有的重视。
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