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策略31 十字交叉的应用技巧
金点子：
对于二元混合物，如果用C表示己知的两个量C1、C2的平均值，n1、n2表示C1、C2对应的份数，则有：C1 n1 + C2 n2 =
C (n1 + n2) = C n1 + C n2
n1(C1 - C ) = n2 ( C - C2 ) ,根据这个关系可以写成十字交叉图式：(斜看差数，横看结果)
这种运算方法叫十字交叉法。在运算时，C必须是已知量或可间接求得的量。
通过十字交叉法可求得C1与C2间的物质的量之比。
经典题：
例题1
：（1999年全国高考）原计划实现全球卫星通讯需发射77颗卫星，这与铱(Ir)元素的原子核外电子数恰好相等,因此称为“铱星计划”。
(1)已知铱的一种同位素是19177Ir,则其核内的中子数是
( )
A．77
B．114
C．191
D．268
(2)已知自然界中铱有两种质量数分别为191和193的同位素，而铱的平均原子量为192.22，这两种同位素的原子个数比应为
(
)
A．39︰61
B．61︰39 C．1︰1
D．39︰11
方法：（1）可利用“质量数＝质子数+中子数”求解，（2）利用“十字交叉”求解。
捷径：（1）根据“质量数＝质子数+中子数”知：中子数＝191－77＝114。选B。
（2） 利用“十字交叉”可得：
以此19177Ir与19377Ir两种同位素的原子个数比为：0.78︰1.22=39︰61，得答案为A。
总结： 该题在当年高考中为两条选择题。若能巧用“十字交叉”，便能迅速获解。
例题2
：（1999年上海高考）由CO2、H2、和CO组成的混合气在同温同压下与氮气的密度相同。则该混合气中CO2、H2、和CO的体积比为
( )
A．29︰8︰13
B．22︰1︰14
C．13︰8︰29
D．26︰16︰57
方法：将题中三种气体的式量与氮气的式量作比较，找出其间的联系，然后用“十字交叉”求解。
捷径：由于CO在同温同压下时的密度与N2相同，所以CO的含量为任意值。只要CO2与H2的混合气体密度等于N2，即平均相对分子质量等于28便满足题意。利用“十字交叉”可求得CO2与H2的体积比，即：
只要在在同温同压下混合气中CO2与H2的体积比满足26︰16或13︰8即可。以此得答案为CD。
总结：从CO与N2的平均相对分子质量相同得在同温同压下，CO的密度与N2相同是解答该题的关键。
例题3
：（2001年上海高考）已知Fe2O3在高炉中有下列反应：Fe2O3＋CO→2FeO＋CO2，反应形成的固体混和物（Fe2O3、FeO）中，元素铁和氧的质量比用
mFe︰mO表示。
（1）上述固体混和物中，mFe︰mO不可能是
（选填 a、b、c多选扣分）
（a）21︰9
（b）21︰7.5
（c） 21︰6
（2）若mFe︰mO＝21︰8，计算Fe2O3被CO还原的百分率
（3）设 Fe2O3被CO还原的百分率为A％，则A％和混和物中mFe︰mO的关系式为（用含mFe、mO的代数式表示）。
A％＝
请在下图中画出A%和mFe/mO关系的图形。
（4）如果 Fe2O3和CO的反应分两步进行：
3Fe2O3＋CO→2Fe3O4＋CO2 ，Fe3O4＋CO→3FeO＋CO2
试分析反应形成的固体混和物可能的组成及相应的mFe︰mO（令mFe︰mO＝21︰a，写出a的取值范围）。将结果填入下表。
混和物组成（用化学式表示） a的取值范围
方法：利用十字交叉及数形结合方法解题。
捷径：（1）Fe2O3中mFe︰mO=(56×2)︰(16×3)=21︰9，在FeO中mFe︰mO=56︰16=7︰2，在Fe2O3和FeO的混合物中，mFe︰mO应介于21︰9
~ 21︰6之间，所以不可能是21︰9或21︰6 。故选a、c。
（2）解法一：因为Fe2O3中mFe︰mO=21︰9，FeO中mFe︰mO=21︰6，在混合物中
Fe2O3与FeO物质的量之比可通过十字交叉确定为：
被还原Fe2O3的百分率为：
解法二：设原有Fe2O3物质的量为 1 mol，还原率为 A%，则混合物中有（1—A%）molFe2O3和2A% mol的Fe
。
解之得 A%=33.3%
（3）根据解法二：得出的代数式
求得：A%=3—
。
A%和mFe/mO的关系图为：
（4）可能组成的混合物是Fe2O3、Fe3O4，Fe3O4、FeO，Fe2O3、Fe3O4、FeO，其中Fe3O4中mFe︰mO=(56×3)︰(16×4)=21︰8，所以有：当混合物是Fe2O3、Fe3O4时，8＜a＜
9，当混合物是Fe3O4、FeO时6＜a＜ 8，当混合物是Fe2O3、Fe3O4、FeO时6＜a＜9 。
总结：当用比例关系列十字交叉时，要注意分子或分母必有一相同，如果分子相同，则根据分母列十字交叉；如果分母相同，则根据分子列十字交叉。在绘图时首先要注意找出三点，即起点、拐点和终点，然后根据三点绘图即可。
金钥匙：
例题1
：有四种不纯的碳酸钠样品，分别含有下列选项中的一种杂质。取等质量的样品，分别向这些样品中加入2mol/L盐酸，均完全反应生成CO2，且所耗盐酸的体积也均相同。这四种样品中Na2CO3的质量百分比最小的是（
）
A．KHCO3
B．NH4HCO3
C．K2CO3
D．NaHCO3
方法：将四种杂质中不是正盐的都看作“正盐”，然后与Na2CO3比较，通过十字交叉分析求解。
捷径：将四种杂质都看作“正盐”——假设与Na2CO3相当，“1mol”盐消耗2mol盐酸，则（A）（B）(C)
(D)的“分子量”依次变为200、158、138和168。各组混合物耗酸量相同时，各组盐的物质的量n正盐必相等。又因为各组盐的质量相同，所以盐的平均分子量相同。这样，Na2CO3与所含杂质物质的量之比则可由下式计算：
欲使Na2CO3的含量最小，上式中M（即换量后杂质盐的分子量）值就应最小。M(K2CO3)=138，最小。故答案为C。
总结：“十字交叉”后所得的比例为物质的量(或分子、原子的个数)比。
例题2
：甲烷和丙烷混合气的密度与同温同压下乙烷密度相同，混合气中甲烷与丙烷的体积比是（
）
A．2︰1
B．3︰1
C．1︰3
D．1︰1
方法：通过平均分子量和十字交叉求算。
捷径：因混合气的密度与同温同压下乙烷密度相同，故混合气的平均分子量也与乙烷的分子量相同，即为30，又甲烷的分子量16，丙烷的分子量44。利用十字交叉得：
相同条件下，1︰1既是体积比又是物质的量比，因此选D 。
总结：根据阿伏加德罗定律，对气体而言，在相同条件下，物质的量比等于体积比。
例题3 ：已知下列两个热化学方程式
2H2（g）+ O2（g）= 2H2O（l）；△H=－571.6kJ/mol
C3H8（g）+ 5O2（g）= 3CO2（g）+4H2O（l）；△H=－2220 kJ/mol
实验测得氢气和丙烷气体共5mol完全燃烧放热3847kJ，则混合气体中氢气与丙烷的体积比是（
）
A．1︰3
B．3︰1
C．1︰4
D．1︰1
方法：首先求得混合气体1mol完全燃烧所放出的热量，再通过十字交叉求其比例。
捷径：氢气和丙烷气体共5mol完全燃烧放热3847kJ，则1mol混合气体所放出的热量为769.4kJ。根据十字交叉求得其比例为：
以此得答案为B。
总结：利用热化学方程式进行解题时，要特别注意反应物和生成物的状态，如此题生成物水的状态不同时，要先根据题中要求换算成相同状态，否则要出错。
例题4 ：把100g 10%KNO3溶液的浓度增加到20%，可采用的方法是
A．蒸发掉45g水
B．蒸发掉50g水
C．加入10g
KNO3固体
D．加入15g KNO3固体
方法：采取去水或加硝酸钾两种方法，利用十字交叉分别求算。
捷径：①去水加浓。（水的“浓度”视为零）。
上式的意义是20g10%的溶液去掉（负号表示）10g水即可得20%的溶液，所以100g10%的溶液需去水10/20×100=50（g），选B
。
②加KNO3（KNO3“浓度”视为100%），有
需加KNO3
× 100 = 12.5（g），C、D都不能选。
本题答案只能是B。
总结：解答该题也可通过设未知数列方程求解。
例题5 ：常温下，一种烷烃A和一种单烯烃B组成混合气。A或B分子中最多只含4个碳原子，且B分子的碳原子数比A分子多。将1
L该混合气充分燃烧，在同温同压下得2.5
LCO2气体，推断原混合气中A和B所有可能的组合及其体积比。
方法：先根据混合气的平均碳原子数2.5确定可能的组合，再利用十字交叉求解。
捷径：据题意，1mol混合烃含碳2.5mol，且B的碳原子数多于A，可能的混合气组成只能是下面4种
A
B
①
CH4
C3H6
②
CH4
C4H8
③
C2H6
C3H6
④
C2H6
C4H8
运用十字交叉法（根据碳原子数列式），有：
① CH4、C3H6组成混合气时
上式表明，混合时A和B的体积比为1︰3（即0.5︰1.5）。
②、③、④种组合时A与B的体积比也都可按上法求出，答案分别为1︰1，1︰1，3︰1，具体过程不再重复。
总结：如果该题给出了水的量，则还必须通过氢，利用十字交叉剔除不符合的选项。
例题6 ：
某气态烃A和B按2︰3（体积比）混合后，取0.1mol与一定量氧气混合燃烧，产物为CO、CO2和水蒸气。将燃烧产物依次通过足量的浓硫酸、灼热的CuO及碱石灰，最后碱石灰增重7.04g。求A和B可能的分子式。
方法：根据碱石灰增重即为CO2的质量，求得烃的平均碳原子数，再结合气态烃A和B体积比为2︰3和十字交叉法求得结果。
捷径：（1）碱石灰吸收的CO2包括燃烧生成的CO2及CO转化（还原CuO）成的CO2，即0.1mol混合烃中的C转化成CO2的总量，共为7.04g÷44g/mol=0.16mol
。
可知：1mol混合烃含碳1.6mol，所以混合烃一定含CH4。
（2）设另一烃分子中含x个碳原子：
① 令A为CH4，则有
（x—1.6）/ 0.6 = 2/3，解得x=2
B可能是C2H6、C2H4、C2H2。
② 令B为CH4，则有
0.6 /（x—1.6）=2/3，解得x=2.5（不合理，舍去）。
以此得A的分子式为CH4，B的分子式可能为C2H6、C2H4、C2H2。
总结：过程的分析是该题的关键。碱石灰虽是CO2和水的吸收剂，但因预先通过了浓硫酸，故水已去除，因此7.04g为CO2。
例题7
：铁、锌合金8.5g溶于稀H2SO4中，充分反应后制得0.300gH2，求合金中Fe，Zn的含量分别为多少克。
方法：因1mol铁或锌与稀硫酸作用均产生1molH2，以此可通过H2的物质的量求得混合物中铁锌的总物质的量，再利用十字交叉求其比例。
捷径：先求出合金的平均摩尔质量：因Fe → H2 ，Zn → H2 ，合金→ H2，
则合金的平均摩尔质量为：8.5 g /（0.300/2）mol= 59.0g/mol，平均分子量为59.0。
故Fe，Zn分别产生H2的物质的量之比为6.0︰3.0 = 2︰1，从而可知合金中Fe，Zn的质量分别为：
m (Fe) = 56g/mol×（0.300/2）mol×2/3 = 5.60g
m (Zn) = 65g/mol×（0.300/2）mol×1/3 = 3.25g
总结：当等物质的量的两种金属与酸反应放出的氢气量不等时，不可用此方法，而应通过设未知数列方程求解。
例题8
：某气体混合物含有氢气，二氧化碳和45%（体积）的氮气。它对氢气的相对密度是12.2，试求氢气和二氧化碳在混合气体中各自的体积百分含量。
方法：将氢气和二氧化碳作为一个组分，氮气作另一个组分，先求出氢气和二氧化碳这二者混合后的平均式量，而后再求组分的体积百分含量。
捷径：根据混合气对氢气的相对密度是12.2知，混合气的平均式量为22.4。
设混合气为100 L，则V(N2) = 45 L，V（H2、CO2）= 55 L。
又设H2、CO2混合气的平均式量为x，则：
解得x=21.4
再利用十字交叉法，可求得H2与CO2的体积比：
又因为氢气和二氧化碳组分占全部混合气体的55%，所以，氢气和二氧化碳占总混合气体的体积百分数为：
V(H2)% =
55%×
= 29.6%，V(CO2)%
=55%×
= 25.4%
则全部混合气体由25.4%的CO2、29.6%的H2和45%的氮气组成。
总结：如果混合物由n种混合气组成，则可通过n－1次十字交叉求解。
聚宝盆：
十字交叉法作为一种简化的解题方法，应用于某些基于二元混合体系所产生的具有平均意义的计算问题，表现出简化思路、简便运算等显著优点。该方法在近几年的许多高考计算型选择题、填空题、计算题中得到应用。
热身赛：
1．在相同条件下，乙烯和乙炔的混合气体amL，完全燃烧所用去的氧气为bmL，则混合气体中乙烯和乙炔的体积比是
(
)
A． (2a-b) /
(3a-b)
B． (a-2b) / (a-b)
C． (2b-5a) /
(6a-2b)
D． (2a-b) / (6a-2b)
2．由CO和CO2组成的混合气体，经分析测知含氧质量百分率为70%，则该混合气体中CO和CO2的体积比为
(
)
A．1∶3
B．3∶1
C．7∶33
D．33∶7
3．将18gCO和CO2的混合气体完全燃烧后，得标准状况下的CO211.2L。这混和气体中含CO和CO2的物质的量、混合气的平均式量各是
(
)
A．0.25mol、0.25mol、72
B．0.25mol、0.25mol、36
C．0.5mol、0.5mol、72
D．0.5mol、0.5mol、36
4．一种气态烷烃与一种气态烯烃的混合物共1体积，在O2中充分燃烧后，生成2体积的CO2和2.667体积水蒸气（相同状况下测定），则混合烃中，烷与烯的体积比可能是(
)
A．2∶1
B．3∶1
C．1∶3
D．2∶3
5．实验测得乙烯与氧气混合气体的密度是氢气14.5倍，可知其中乙烯的质量分数为（
）
A．25.0%
B．27.6%
C．72.4%
D．75.0%
6．由CO2、H2和CO组成的混合气在同温同压下与氮气的密度相同。则该混合气体中CO2、H2和CO的体积比为
（
）
A．29︰8︰13
B．22︰1︰14
C．13︰8︰29
D．26︰16︰57
7．由 Na、 Cl、 Cl构成的10g氯化钠中， Cl-所占质量分数是多少?组成为 Na
Cl的氯化钠有多少克(氯元素平均原子量为35.5)?
8．常温下，一种烷烃A和一种单烯烃B组成混合气体，A或B分子最多只含有4个碳原子，且B分子的碳原子数比A分子多。
（1）将1 L该混合气体充分燃烧，在同温同压下得到2.5 L
CO2气体。试推断原混合气体中A和B所有可能的组合及其体积比，并将结果填入下表：
组合编号 A的分子式 B的分子式 A和B的体积比VA︰VB
（2）120℃时取 1 L该混合气体与 9 L
氧气混合，充分燃烧后，当恢复到120℃和燃烧前的压强时，体积增大6.25%。试通过计算确定A和B的分子式。
9．（1）已知某混合气体的体积分数组成为80.0%CH4、15.0%C2H4和5.00%C2H6。请计算0.500mol该混合气体的质量和标准状况下的密度（g/L）。
（2）CH4在一定条件下催化氧化可以生成C2H4、C2H6（水和其他反应产物忽略不计）。取一定量CH4经催化氧化后得到一种混合气体，它在标准状况下的密度为0.780
g/L 。已知反应中CH4消耗了20.0%，计算混合气体中C2H4的体积分数。（本题计算过程中请保持3位有效数字）
10．在1.01×105Pa、400K时，由两种常见的有机物组成的混和气体4L，跟相同状况下的5L氧气混和引烧使其恰好完全反应，所生成的二氧化碳和水蒸气的混和气体的密度是相同状况下氢气密度的14.2倍，当恢复到反应前的状况时，混和气体的密度是反应前的
。求原混和气体的可能组成和各组成成分的体积分数(百分含量)。
大检阅：
1．A 2．A 3．B
4．A 5．C 6．CD
7．44.9%
7.4g
8．（1）
组合编号 A的分子式 B的分子式 A和B的体积比VA︰VB
① CH4 C3H6 1︰3
② CH4 C4H8 1︰1
③ C2H6 C3H6 1︰1
④ C2H6 C4H8 3︰1
（2）A为C2H6、B为C4H8 。
9．（1）9.25 g ， 0.826 g/L
（2）4.18%
10．可能组成为HCHO和CH3OH，各占50%；或CH4和HCOOH，各占50%
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