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【余翔的回答(14票)】: 先看正交曲面坐标系的定义 正交曲面坐标系 如果空间中的三个点可以用 
来表示,且每组这样有序的数完全确定一个空间的点,则称
为空间的曲面坐标。 作
常数，
常数
常数三
族曲面，并分别称之为
曲面，
曲面，
曲面，称它们为坐标曲面，这三族曲面互相正交。 
曲面，
曲面的交线称为
曲线，显然
曲线与
曲面正交，同理定义
曲线，
曲线，称这些曲线为坐标曲线。在
曲线上，
与
为常数，只有
是变数，设
到
之间的弧长为
；同样设
曲线上从
到
之间的弧长为
，
曲线上从
到
之间的弧长为
，这里
是位置的函数。如下图所示
显然，上图空间体积元可以表示为
下面求
的表达式：在
曲线上曲线弧元的长度
可以表示为
比较
，有
.........................................................................(1) 同理有
.........................................................................(2)
..........................................................................(3)
称为度规系数。 正交曲面坐标系下梯度和散度 标量函数
的梯度表达式为 ▽
................(4) 是中
为正交曲面坐标系的单位基矢量。 设矢量场A在改正交曲线坐标系下的三个分量为
,则其散度为 ▽·
...............................................................................................(5) 在上图所示的曲面坐标系中，取由
六个坐标曲面元所围的体积，则有
.......................................................................(6) 而矢量场
在这六个面的总通量
为
.......................................................................................................................................(7) 把(6)，(7)代入(5)式，有 ▽·
.................................................................................. (8) (4)式和(8)式就是正交曲面坐标系下的梯度和散度。 下面利用(4)和(8)式求柱坐标和球坐标下的梯度和散度。 柱坐标下梯度和散度 在柱坐标下，三个坐标
与直角坐标
的关系如下:
可以计算出度规系数
，代入(8)式中，可计算出梯度，散度表示式分别为 ▽
▽·
球坐标下的梯度和散度 在球坐标系下
度规系数
分别为:
同理可得梯度和旋度为 ▽
▽·
参考
【赵永峰的回答(3票)】: 给你另一种方法： 假设你要写
坐标下的散度公式，如果在这个坐标下度规是
，即（重复指标表示求和）
比如对于柱坐标系：
你先去算Christoffel联络：
其中
，
是度规的逆。比如对于柱坐标系，
注意到对于柱坐标系，只有：
不等于0。 对于向量
，一般而言欧式坐标下的
变换到其他坐标不再长这样，而应该长成
的样子，所以散度应该等于
于是在柱坐标系下，散度等于
但注意到，由于基矢量的选取不一样，这里
的定义和一般所说的
的
分量不一样，即
，所以最终的结果是：
简洁多了吧…… 【知乎用户的回答(0票)】: 吴崇试《数学物理方法》第二版，P212 原文地址:知乎 |
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