數學分析的那些人和事（一）

分析概念的嚴密化是現代數學發展的起點。

 

由於17世紀Newton，Leibniz在微積分上的卓越工作，函數、級數、導數、積分等工具給人們的研究提供了極大的方便。然而引入Newton-Leibniz公式所包含的極限的概念當時并沒有得到嚴格的證明；所以後續的數學家們陸續發現一些悖論和爭論。這些問題的最終來源是導數和積分基本概念的定義。

 

Abel在1826年給Christoffer Hansteen的信中寫道：在高等分析中，只有極少的定理是用邏輯上站得住腳的方式證明的；人們從沒有嚴格地對待過分析，導致發現了驚人的含糊不清之處。而這樣一個完全沒有計劃和體系的分析，竟然只導致了極少個所謂的悖論。

 

一些數學家決心從這種混沌中整理出一個秩序出來。Cauchy和Weierstrass這方面的著作最為著名。Cauchy發表了分析學的基本教程《代數分析教程》《無窮小分析教程》以及《微分計算教程》。當然，Cauchy關於無窮小、極限的概念敘述在今天看來并不嚴密；不過他的工作確實向嚴密化發展的第一步。Abel曾高度贊揚Cauchy的成就：每一個在數學研究中喜歡嚴密性的人都應該讀《分析教程》。

 

何為函數？19世紀的數學書上如是定義：函數就是Y隨X依某一規律變化。但這一概念是模糊的；何為規律？Euler時代的數學家認為，所謂函數必須處處具有相同的解析表達。代數函數的概念是局限的；Fourier推廣了代數函數的概念，認為函數對應了平面上的一組點的坐標。當然，當今最常用的定義是Dilichlet給出的：Y對於固定的X只有一個對應，而不在於是否存在解析表達。他本人與1829年給出了Dilichlet函數的例子，即在有禮數上取1，無理數上取0的函數。這個函數的特殊性決定了它在歷史上的價值：它是處處不連續的。

 

極限和連續性的概念開始受到一些數學家的重視。值得一提的是Bernhard Bolzano，他是波西米亞的神父、哲學家和數學家。分析學基本定理Bolzano-Weierstrass定理目前為大家熟悉不過；但是他更廣為人知的成就是給出了函數連續性的恰當定義，至今仍被采納。Cauchy的成就同樣旗鼓相當：他給出了變量極限的定義，并舉了無理數作為有理數的極限的例子。此外，他正式引入了無窮小量的概念，從而澄清了Leibniz的一些模糊界定。第三個重要的數學家是Weierstrass，他消除了Bolzano和Cauchy表述中常用的短語“變為且小於任意給定的量”的不明確性，給出了目前最為規範的無窮小量的定義，以及分析學的研究基礎epsilon-delta語言規範。

 

在連續性概念不斷精細的年代，爲了嚴密地建立分析，人們建立了許多原先已被直觀接收的定理。Bolzano在研究連續函數中值定理的時候，建立了有界實數集上確界的存在；Weierstrass應用Bolzano的方法證明了有界點列必有收斂子列，即著名的Bolzano-Weierstrass定理。他又進一步證明了Cauchy引用過的一個猜想：有界閉集上的連續函數必有最值存在。在他的思想的鼓舞下，Heine定義了單變量或多變量函數的一致連續性，而後證明瞭有界閉區間上的連續函數是一致連續的；在他的證明中引入了有限覆蓋定理，這個定理的重要性被法國數學家Emile-Borel加以強調，就是今天的Heine-Borel有限覆蓋定理。確界存在定理、Bolzano-Weierstrass定理、最值存在定理、一致連續性定理、有限覆蓋定理，以及後來的區間套定理，構成了實數域上分析理論的六大基石。

 

有了連續和極限的概念，導數的概念也就不言自明了。但是大多數數學家依然相信：連續性和可微性之間并無差別，只有Bolzano給出過一個處處不可導的連續函數的例子。但是這個例子并沒有引起其他人的注意。Riemann在1854年發表了一個病態函數的例子，闡明了連續性和可微性的差別。然而最經典的病態函數例子是Weierstrass在1794年給出的。這些病態函數的例子的意義是重大的，它使相互學家們更加不敢相信直觀或者幾何的思考了。

 

至於積分的概念，雖然Newton-Leibniz公式已被廣為接受，但是其中微元的概念很不嚴謹。Cauchy研究了連續函數的積分性質；但是連續性并非積分存在的充分條件。Riemann給出了有限區間上有界函數積分的存在性的充要條件，而這個條件被Darboux闡述的更加完全，即積分存在等價于Darboux上和下和相等。它還力圖證明，有界函數可積的充要條件是間斷點的“測度”為零，但是當時還沒有建立完善的測度理論。不過在實變函數論發展以後，函數可積的性質被更加清晰的認識。

 

數學分析的三大板塊是微分、積分和級數。18世紀以前的數學家不加辨別地使用無窮級數，然而在無窮級數收斂性未加證明的情況下，人們開始得到一些荒謬的運算結果。這促使數學家研究無窮級數運算的合法性。Bolzano和Cauchy建立了級數收斂的正確概念，當然目前級數的收斂準則主要歸功于Cauchy，這是因為Bolzano工作相對低調的緣故。Cauchy給出了級數收斂的準則，包括比值判別法、階數判別準則。但是他忽視了一致收斂性的要求，致使在級數積分和微分方面得到了錯誤的結果。Abel在研究函數級數的連續性時，實際上引入了一致收斂的思想，但并未把這個概念抽調出來。一致收斂性意義下級數積分微分的概念，最終還是由Weierstrass完成的。

 

Fourier級數值得單獨一提；它實際上代表了實數域上的Hilbert函數空間。但是在Fourier引入之初，Cantor、Heine對Fourier級數的收斂性、唯一性給出了證明。雖然如今站在泛函分析的高度來看，Fourier級數的收斂、唯一性的概念已經相對初級，但是人類在認識任何事物的普遍性都是從它的特殊性入手的。從這個意義上看，Fourier級數的研究是里程碑式的。Cantor在1872年研究Fouier收斂點集性質的時候，引入了導集的概念，而這些工作奠定了集合論的基礎。

 

在分析嚴密化的進程中，曾今引來無數的爭論；尤其是期間引入的那些病態函數，被認為在純粹和應用數學中是不會出現的，違背了古典研究中完美的法則，被看作是無秩序和混亂的標誌。但是歷史證明了分析嚴密化的重要性，它建立了分析學領域的一套理論標準，使得之前不確定的模糊的概念得到了明確的界定，解決了數學史上許多爭論；此外，分析學的嚴密化為人們進一步認識數域、空間提供了標準。現代數學的完備邏輯體系，正是從這裡開始的。

分析的那些人和事（二）

[转载]分析的那些人和事（三)

 

19世紀數學家們發現了一系列奇怪的現象：連續不可微函數的存在，連續函數的級數不是連續函數，不鑄鍛單調的連續函數，具有有界的但不是Riemann可積的導數的函數，可求長的但不符合微積分中弧長定義的曲綫。爲了弄清這些概念，一元或多元實變函數論終於誕生了。它促使人們對函數空間有了更深刻的理解。

 

事實上，關於積分概念在1894年得到了第一次擴充，但它不是從剛才所說的解決問題中得到的。Stieltjes1894年發表了他的《連分數的研究》，所涉及到的方法都是獨創性的。他爲了表示一個解析函數序列的極限，引進了一種新的積分，就是Stieltjes積分。Stieltjes積分中，微分的對象不再是自變量x本身，而是一個沿著直線分布的任意函數；Newton，Darboux積分中對x軸上的所有點取相同的權重計算Darboux和；Stieltjes則推廣了直線上各點的權重分布。不過他的積分并未被廣為采用；而在當今，他的積分方法已經成為概率論中最最基本的工具。

 

Lesbegue積分沿著另一個方向對積分進行了擴充。Lesbegue積分的基礎就是對函數的不連續點集進行度量，這催生了容量理論。容量理論基於下面的思想：假設E是按照某種方式分布在直線上的點集，它們總可以被一些區間所覆蓋，E中的點或者是這些子區間的內點，或者為它們的端點。我們可以不斷縮短這些區間的總長度，也可以添加其它區間，但是保證區間總長度減小，而E始終包含于這些區間當中。這些區間總長度的下確界，就定義為集合E的外容量。外容量的概念是Du Bois-Reymond首先在他的《一般函數論》中提出的。Stolz和Cantor將區間用高維空間中的矩集代替，從而將外容量的概念推廣到Rn空間中。

 

容量的概念揭露了正容量的無處稠密集的存在。類Cantor集，又稱Hanark集合，就是這樣一個例子。以這樣一個集合作為不連續點集的函數是Riemann不可積的。為解決這一問題，Peano進一步引入了一個內容量的概念，將二維平面上圖形的內容量定義為包含在圖形內部多邊形面積的上確界，並且指出：不連續點集的外容量和內容量相等時，函數是Riemann可積的。Jordan則進一步建立了更為完善的容量理論，他定義，若集合的內容量、外容量相等，則這個外容量稱為容量。Jordan將容量概念拓展到Rn空間中，指出容量的有限可加性：有限個不相交的點集的容量是他們各自容量之和。注意：這個結論看似顯然，但對於外容量是不成立的。Borel對容量工作作出了大量改進。Borel不再用有限個區間去覆蓋點集，而是直接利用Cantor的結論，將開集的測度定義為開集的構成區間的長度之和。他進一步利用可數可加性和余集的性質導出了Borel可測集合空間。這個測度空間是站在sigma代數的高度建立的，也成為測度論沿用至今最完備的理論體系。

 

Lesbegue積分最終由Borel的學生Henri Lesbegue建立。他首先將Borel測度理論進行了推廣，綜合了Peano、Jordan的測度概念，用可數個區間覆蓋點集，以這些區間的長度和的最大下界作為點集的測度。在此基礎上，他證明了測度的可數可加性。Lesbegue可測集是對Borel集合的一個擴成，同時他注意到零測集和不可測集的存在。在Lesbegue測度的基礎上，Lesbegue繼續定義了可測函數，假設A,B是函數分f(x)的最大下界和最小上界，现在對區間[A,B]作分劃；如果函數值落在任意一個子區間內所對應的x的取值集合都為可測集的話，就定義f(x)為可測函數。此時，就可以定義Lesbegue積分了：對[A,B]作無窮細分，并對細分區間中任意值和該區間對應自變量點集的測度之乘積求和，得到的和式極限，就定義為Lesbegue積分值。

 

容易發現，Lesbegue積分和Riemann積分的定義是很相似的：前者對函數值作細分，求和式；後者是對自變量的取值範圍作細分求和。這貌似相似的兩種做法，Lesbegue卻將積分的範圍大大推廣了。例如Dilichlet函數，在Lesbegue積分意義下可積的，但是對於Riemann積分卻是不可積的。另一個例子是無界函數，Riemann意義下廣義積分要遵循嚴格的收斂條件，但是在Lesbegue意義下計算則簡單得多。

 

Lesbegue積分的貢獻不止這些。首先是關於函數項級數的積分。Lesbegue證明，可測函數項級數也為可測函數；在此基礎上建立的控制收斂定理，將級數積分的條件大大簡化了。Fourier級數方面，Lesbegue建立了Riemann-Lesbegue定理；在1906年的《三角函數講義》中，Lesbegue提出：Fourier級數的積分收斂性不依賴于Fourier級數本身的一致收斂性。

 

其次是不定積分方面的定理。Riemann意義下可積函數的被積函數可以是沒有導數的；反過來，Volterra在1881年證明：存在函數的導數Riemann不可積。因為引入了可測函數的概念，Lesbegue首先證明：Lesbegue可積函數的原函數是幾乎處處可導，且導函數幾乎處處和原來函數相等；反之，如果函數可微且導數有界，則導數是Lesbegue可積的。但是對於導數無界的情形卻相當複雜。Lesbegue先把自己限制在導出數處處有限的情形，證明了此時的函數為有界變差函數；此外他提出了絕對連續函數的概念，即函數在開集U上的全變差隨著U測度趨於0而趨於0.Lesbegue最終證明，對於絕對連續函數，Newton-Leibniz公式成立。這個最終結果發表在1904年的著作中。

 

第三個貢獻是多重積分理論。他在1902年給出了這方面的一個結果，不過最有名的結果是Guido Fubini給出的。1910年，Lesbegue將單重積分的導數結果推廣到多重積分。

 

Lesbegue積分打開了分析學的一扇大門，開闢了函數論的一片新的沃土。Johann Randon結合Lesbegue和Stieltjes兩人的結果，提出了Lesbegue-Stieltjes積分；該推廣統一了n維Euclid空間點集上不同的積分概念，而且還擴展到像函數空間那樣更普遍的空間，這種普遍的概念在概率論、譜理論、調和分析中得到了廣泛的應用。