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编者按: 本文是笔者读本科三年级上学期所写，当时学习实变函数论的过程中十分痛苦，于是用文字记录了自己的感受和看法。原本打算投稿给本科学院公众号刊载，可惜因为种种原因没有实现。笔者近日整理邮件时，才忆起自己当年写过这么一篇文章。特于今日刊发于此，与诸君探讨！ 有人说：“实变函数学十遍”，这句话我在大二的时候就听别人说起过。当时我还是不信的，但是现如今第一遍学习的时候，慢慢认同了这句话。确实，实变函数很难学。 第一遍学习实变函数时，总是找不对方法，做题目也无从下手。跟之前学习数学分析和高等代数的感觉完全不同，当然这并不是说数分和高代就非常容易学，同样需要下点苦功夫的。我想说明的是，实变函数的题目构造性是非常强的，并且大多数问题都是跟集合有关系，而我们对集合的基础又不够扎实，所以导致了学习起来很有困难。在我学习感到困难时，我得到了上学期教过我高等几何课程的陈跃老师的帮助，他曾如是说： “可以把实变函数看成：主要将“牛顿莱布尼兹公式”推广到最一般的情形（即对最差的函数也成立），当然不是为推广而推广，而是泛函分析需要这样（泛函分析又主要是为了解偏微分方程）。可以找一本属于一套“大学数学自学丛书”里的《实变函数论》，其中后半本是全部习题的答案。把你自己想象成是上这门课的老师（所以当然要会做大部分习题），然后你努力地看明白其中的套路，就会发现自己学明白了。其他的数学课程也可以类似地学习。” 在学习的过程中，我一直将陈老师的话记在心里，时刻用于实变函数的学习中。后来发觉此做法还是很有效的，至少对于掌握理论知识效果很好。 下面介绍我对实变函数课程的一点浅见。 一、Riemann积分与Lebesgue积分实变函数课程的重点实际上是我们通常所说的勒贝格（Lebesgue）积分，该积分区别于我们数学分析课程中的黎曼（Riemann）积分。对于二者的联系和区别，则需要花大量的篇幅去叙述。在提出一个新的意义下的积分时，必然会受到诸多的争议和不解，这在整个数学的历史上是常见的，因此勒贝格（Lebesgue）积分的提出也不例外。起初世界上大多数数学家都不理解勒贝格积分的思想，固守着传统的黎曼（Riemann）积分，不愿意接受或者不能够接受新的积分理念。然而，正是勒贝格本人一直坚持着自己的信念，没有放弃研究和传播自己的积分思想，才使得我们今日可以学习一种应用更广的积分。当时他对那些阻止自己的数学家回应称:“使得自己在这种研究中变得迟钝了的那些人，是在浪费了他们的时间，而不是在从事有用的工作。” 事实上，勒贝格也有感到很无奈的时刻，曾经感叹地说：“我被称为是一个没有导数的函数的那种人了。”这句话的意思是指，在勒贝格的研究中，那些扮演着重要角色的不连续函数和不可微函数被认为是病态的函数，而跟我们所喜闻乐见的连续函数和可微函数相矛盾。 二、实变函数课程概貌在实变函数的课程中，勒贝格(Lebesgue)积分算作是挺靠后的章节学习内容。而在此之前的章节，几乎全部是为建立勒贝格（Lebesgue）积分理论打下了基础。在大多数的教科书里，其前几章的编写几乎如下所述。 第一章：一般讨论集合的交、并、补基本运算，讨论集合之间的关系，将无限集合分为可数集合和不可数集合进行讨论。 第二章：阐述点集理论。在这一章节中，一般都要介绍开集、闭集、聚点、内点、界点等一些基本概念，并且会介绍一维直线上的开集、闭集和完备集的构造定理，而对于特殊的存在—康托尔（Cantor）三分集自是必不可少。 第三章：测度理论。在这一章节里，就开始正式阐述“测度”这个词所蕴含的含义。我们所说的“测度”，也就类似于所谓一维直线上的“长度”、二维平面上的“面积”概念。当然，其具体的含义自然是不能如此模糊，还是需要用数学严谨的语言加以刻画。在这一部分里，我们将首先学习到外测度的内容，介绍外侧度的三大性质（非负性、单调性、次可数可加性）。而在勒贝格（Lebesgue）测度理论中，我们将外侧度性质中的次可数可加性想办法调整为可数可加性，其具体操作办法也是极其巧妙的。在正式阐述勒贝格测度时，我们将要学习到可测集的概念，同时也会学习到一些可测集合类和不可测集合类，其中不可测集合类的构造极其难想，需要自己仔细琢磨才能真正地领悟。 第四章：可测函数部分。在此之前，我们先需要了解勒贝格（Lebesgue）积分的思想。我们知道，黎曼（Riemann）积分的几大步骤是：分割、取点、求和、取极限。然而，最关键的一点是黎曼积分是将被积函数的定义域进行划分，而我们的勒贝格（Lebesgue）积分是将被积函数的值域进行划分，因此从这个角度上来说，我们需要定义可测函数，讨论下哪些函数是可测函数，毕竟不可测函数不是我们实变函数所要讨论的内容。在这一章节中，我们会了解到几大定理，譬如叶果罗夫定理、鲁津定理、里兹定理，这些定理刻画了几乎处处收敛、一致收敛和依测度收敛的关系，因此其重要性也是不言而喻的。在经过前面的层层铺垫之后，我们的勒贝格积分就打好了基础，开始真正地建立起其独特的积分理论。实变函数书几乎都是先从非负简单函数的勒贝格积分开始谈起，然后再在此基础上讨论非负可测函数的勒贝格积分，进而便可以进入一般可测函数的勒贝格积分这一殿堂。其后，便可以继续学习我们所说的黎曼（Riemann）积分与勒贝格（Lebesgue）积分的关系，这里便是整个实变函数论中最美的角落。在逐步建立好勒贝格（Lebesgue）积分的基础之后，我们便可以仿效数学分析中阐述黎曼（Riemann）积分那样，介绍一些不定积分、求积分的方法（分部积分法和变量替换法）。从这个角度看，学好数学分析是一件不可或缺的事情。 三、Lebegue测度与Jordan测度在从整体讨论完我们整个实变函数论的基本框架之后，我们再放慢脚步，从历史的角度来看看那些被我们忽视掉的测度理论吧。我们知道勒贝格（Lebesgue）测度，但是却鲜有人知道在此之前提出的若尔当（Jordan）测度。在大多数实变函数教材中，已经不将若尔当（Jordan）测度放进教学内容里了，其原因是多方面的，然而还是可以从一些专门阐述测度论理论的书籍中查阅到。在整个数学的历史进程中，若尔当（Jordan）测度是先于勒贝格（Lebesgue）测度提出的，然而因为自身的局限性和不完美性，被后来居上的勒贝格（Lebesgue）测度给打败了。这种“优胜劣汰”的自然生存发展，也经常在数学史上发生，这并不令人感到奇怪。然而，若尔当（Jordan）测度由于较为通俗易懂，因此具有很高的教学价值，因此在学习勒贝格（Lebesgue）测度之前先了解若尔当（Jordan）测度，倒也不失为一种良方。在这点上，马卡罗夫在其所著《实变函数论》中的一行小字中提到： “在勒贝格发现新的测度概念之后，若尔当测度理论失去了在数学研究上的价值，但是，它在教学上的价值仍然很大。因为它是理解更复杂勒贝格测度理论的准备知识，而且它基本上是通俗易懂的。比如，甚至可以列为中学高年级的课程。” —— 写于：2017年12月4日 |
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