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数学是人类智慧的结晶，是数学家思想的光辉创造。美国数学家哈尔莫斯明确指出，数学是创造性的艺术，因为数学家创造了美好的新概念（L.A.斯蒂恩，1982）。荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔则强调，现代数学在建立数学概念的方法上，已从典型的通过“外延描述的抽象化”转向实现“公理系统的抽象化”，……它已经成为现代科学方法论的普遍范例”（张奠宙，1998）。
以这样的高观点指导中小学数学概念教学，问题不在于只要求学生理解概念的表层含义，还应该着眼于定义概念的过程，学习像数学家那样思考，了解定义形成的方法和依据，理解蕴含在定义背后的规定与意义，以获得可靠的数学知识，并在此基础上进行创造性的学习。本文以小学数学中“三角形高”的教学为例，谈谈概念学习从单纯意义理解到兼顾定义过程教学转向的尝试。
一、分析：概念联系与定义方法
在小学数学中，三角形的高是一个定义明确的概念，也是学生比较难掌握的概念之一。现行教材采用揭示概念内涵的方式下定义：在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高。三角形高的定义，实际上是经由点到直线的距离演绎而来，再往上追溯，三角形的高本质上是两点之间的距离。
两点之间的距离就是两点之间连线段的长度，它是一个比较核心的概念。如果对这条线段的两个端点位置加以不同的限制，就可以衍生出其他几个重要的概念。如图1，从直线BC
不仅如此，两点之间的距离，点到直线的距离，平行线之间的距离这些相互联系的概念，都是对线段的两个端点位置增加限制条件后作出的定义。三角形的高也在这个概念系统之中，简单地说，它是这样的一条线段：一个端点是三角形的一个顶点，另一个端点是过这个顶点向对边所在的直线画垂线所得的垂足。由此，容易看出这些概念之间联系的清晰脉络，进而不难体会数学概念联结的系统性。
定义是按照一定的逻辑规则而形成的约定，下定义就是给对象所具有的各种构成特性作出一种选择，就是在给定系统中通过术语来选择充分必要条件（张奠宙，1998）。简单地说，选择充分必要条件的方法就是增加或减少限制条件，其目的是为了使得概念的内涵与外延相一致。
二、教学：基本思路与设计意图
概念联系的系统性为学习新概念提供了便利支持，可以引导学生利用已有的概念参与定义新概念的思考过程，通过分析蕴含在定义背后的规定与意义，以联系的观点帮助学生突破理解的困难，发展概念学习更有力的思考方法。
1. 数学家在给三角形高下定义时是如何思考的？现在，我们已不可能还原数学家的真实思考，原原本本地学习像数学家那样思考既无可能，也没必要。但是，数学家通过事先直觉地抓住观念而建立定义，是特别值得教学法去研究的一种智力活动过程（张奠宙，1998）。斯根普在《学习数学的心理学》中更加具体地指出，概念教学应该从大量的实例出发，用实例直观的帮助完成定义，而不是就定义教定义（张奠宙，1998）。
师：今天，我们研究三角形的高。高这个概念在生活中也有广泛的应用，你能举出一些例子吗？ 生：身高，树高，楼房的高。 师：你的身高是多少？ 生：143厘米。 师：来，请你站到前面来。如果把他的身高理解成一条线段的长度，那么这条线段的两个端点分别在哪里？ 生：一个在脚底，一个在头顶。 师：现在，我们如果让他躺下来，身高是多少？身高变不变？ 生：是0厘米。 生：不对，人躺下就没有身高了？（生大笑） 师：身高是一条线段的长度，这条线段无论怎么放，长度都是不会变的。 师：（课件展示圣诞树的图片，树冠呈三角形）这棵圣诞树有高吗？ 生：有。 师：怎么解释它的高？ 生：从树的最顶尖处到树干底部的长度。 生：我可以说得更具体一些，就是从树的顶尖处开始向地面画一条垂线段，这条垂线段的长度就是树的高。 师：也是一条线段的长度。你解释得很专业，特别强调了垂直。（课件演示：在地面上画一条水平的直线，从树的顶尖处开始向这条水平的直线画一条垂直的线段，并标注垂直的标记）这条线段就是这棵圣诞树的高。
[设计意图]
生活中的身高或树高作为引入的例子，有时会有以偏概全的潜在风险。学生理解这些例子，不可避免地会把非本质属性带入到概念的理解当中来，他们会认为只有在竖直方向上才有高，也就是把高狭隘地理解为铅垂的特殊情况。如果事先形成了这样的思维定势，那么当三角形的底边不在水平线上时，学生画高无从下手就不足为怪了。殊不知，三角形中高的概念，底边是否在水平线上是非本质属性。这时，数学的例子与抽象方法就可以“大显身手”了。
师：这棵圣诞树的树冠是一个三角形。（课件演示：沿树冠的轮廓画一个三角形）这个三角形有高吗？
生：有。 师：你们的作业纸上也有这样的三角形，你能给这个三角形画一条高吗？ 学生独立地画，教师有选择地收集并有序地展示学生的作品（如图3）。（必要时可作补充或修改）
师：观察上面这些图形，这三个三角形中画的虚线都是三角形的高，请你说一说，什么是三角形的高？ 生：三角形的高是从顶点连过来的一条线段。 生：不管三角形怎么摆，三角形的高都是一样的。 师：观察下面这些图形（如图4），这三个三角形中画的虚线都不是三角形的高。现在请你说一说，什么是三角形的高？
学生先独立思考，再小组讨论，最后动手写一写什么是三角形的高。 师：把你们写的定义与图3的三个例子对照，这些例子都符合定义的描述吗？再把你们写的定义与图4的三个例子对照，定义排除了这些图形中的情况吗？ 在学生讨论交流的基础上给出定义：在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高。
[设计意图]这个三角形高的定义不是直接由教师或课本强加的，而是学生经由观察实例分析得到的，在独立观察思考与全班讨论交流的过程中完成，是集体智慧的结晶。正例与反例在学生归纳概括定义时扮演了不同的角色，正例用于挖掘对象的本质，反例用于修正概括的定义。
2. 数学家是根据需要给概念下定义的，定义概念时其思想是事先有的。但是，在下定义时，这些思想要精确化，通过某些修正而使它越来越清楚（张奠宙，1998）。阐明给出的定义，主要是赋予其含义“数学的明确性”与“数学的严密性”。
（1）明确性：把复杂的数学概念讲简单。
斯根普可以称得上是数学教育心理学的先驱之一，他认为，要把一件简单的事情弄复杂并不难，难的是把复杂的事情弄简单（鲍建生，周超，2009）。三角形高的定义描述比较复杂，很长的一段话不容易抓住要义。在五花八门的三角形中画高，对小学生来说不是一件简单的事情，需要联系多方面的知识与能力，包括概念的理解与运用，图形的观察与分析，工具的操作与使用等，是一项综合性的数学实践活动。因此，有必要把三角形高的概念与画图讲简单，以便小学生理解与操作。
师：我们已经得到了三角形高的定义，这个定义你们理解吗？ 生：理解。 师：三角形高的概念其实是比较复杂的，有很长的一段话。我有一个方法判断你们是不是真正理解了，就是看能不能把复杂的事情说简单。谁来试一试？ 生：三角形的高其实也是一条线段的长度。 师：那么，这是一条怎样的线段呢？ 生：从三角形的顶点出发向对边画一条垂线段。 师：既然是一条线段，找到它的两个端点很重要（两点确定一条直线）。这条线段的两个端点分别在哪里？ 生：（指着图形）一个端点是上面的顶点，另一个端点是下面的垂足。 师：现在，我们可以把三角形的高说得简单一点了，它是一条—— 生：一个端点在顶点，另一个端点在垂足的线段。 师：理解简单了，画起来也就容易。那么，我们可以怎样画三角形的高呢？ 生：只要找到这两个端点，就可以把高画出来。 进一步的教学，是让学生练习在各种三角形中画高；展示学生的作品并纠正其中的错误；通过展示与交流，让学生进一步明确三角形高的内涵与外延。
[设计意图]
（2）严密性：分析定义中限制条件的反例。
如果概念的内涵增加，那么它的外延就减少；反之，如果概念的内涵减少，那么它的外延就扩大。这就是概念的内涵与外延的反变关系。多数的教学都十分关注概念内涵与外延的理解，通常的做法是先找出一些关键词，如顶点、对边、垂线等，再通过解读这些关键词来理解概念的内涵；或者是给出概念的肯定或否定例证，再通过判断这些例证清晰概念的外延。以上两种做法，都只是着眼于概念的理解，而不是关注定义的方法，其缺陷也很明显：一方面，解读关键词往往只能得到支离破碎的理解，这些理解的碎片不可能“破镜重圆”，拼出概念的完整理解；另一方面，那些讨论的例证往往是直接由教师给出的，学生并不理解为何要讨论这些例子。
概念内涵与外延的反变关系，不只是教师教学研究要关注的问题，也可以成为学生参与定义的思考导引。如前所述，定义中的关键词可以理解为下定义时加进来的限制条件，这些限制条件的整体构成了严密的概念。判断一个定义是不是严密，就要看在限制条件下是不是唯一。
影响三角形画高的难度因素有很多，比较主要的可能是两条：一是底是不是在水平线上，二是高是不是在三角形内。依据这两条，可以把三角形画高分成若干个难度层级，最简单的是在锐角三角形中画水平底边上的高，最复杂的是在钝角三角形中画非水平底边且在三角形之外的高。初学阶段，在最简单的层级上，学生容易出现这样那样的错误。如，
上面的两种错误，图5没有遵照从顶点出发的要求，图6则是不符合垂线的限制。以垂线的限制条件为例，过直线外一点向已知直线画垂线，只能画一条，而与直线相交的线则能画无数条，并且这些线段的长度很可能是不一样的。这样学生就不难理解，三角形高的定义中为什么要加进这个限制条件，其目的就是让三角形一条边上的高是唯一的。
数学家已经定义了三角形的高，我们坐享其成，或许很难体会第一次定义它的时候会遇到怎样的困难。不妨假设把这个定义推倒重来，和学生一起思考：那些限制条件都是必须的吗？如果去掉一个限制条件将会怎样？围绕这两个问题，可以引导学生就概念的唯一性展开讨论。
师：我们已经学习了三角形的高，你能说一说什么是三角形的高吗？ 学生复述定义。 师：对照三角形高的定义，请你判断这两个图（图5、图6）中画的是不是三角形的高，并说明理由。生：第一个图（图5）不正确，它不是从顶点出发的。 生：第二个图（图6）也不正确，那条线没有画垂直。 师：所以，这两条线都不能称之为三角形的高。那么，应该怎样修改呢？ 学生画出正确的高。 师：（指三角形的顶点）像这样，从这个顶点出发画这个三角形的高，能画出几条？为什么？ 生：（迟疑片刻）只能画出一条。因为过直线外一点画已知直线的垂线，只能画出一条。 师：能运用前面学过的知识来说明道理，真好！为了加深一点印象，我们也可以反过来想一想，如果不规定高必须垂直，像第二个图（图6）那样，过顶点与底边相交就算画这个三角形的高，你觉得可以吗？ 生：（又迟疑片刻）那样高就会有很多条了，因为从顶点可以画很多条直线与底边相交。 生：像第一个图（图5）那样，不过顶点画垂线也可以画很多条。 师：是的。从这里可以看出，规定了从顶点出发并且要求画对边的垂线，就是为了确保高的长度确定，或者说高是唯一的。数学是很严密的，严密性是数学的生命。如果把数学比作高楼大厦，这些严密的概念就是它牢固的基石。概念不严密，数学大厦就有倒塌的危险，那些引人入胜的推理也没有办法进行下去。
[设计意图]概念的唯一性是与概念定义的科学性以及学生理解的准确性联系在一起的。小学生一般只学习数学概念，而不学习定义概念的方法。实践中笔者体会到，让学生参与定义的思考过程，了解定义概念的方法和依据，不仅有利于丰富学生对概念本身以及概念之间关系的理解，而且学生可以从中学习数学概念背后的思想内容和科学方法。不过，这些定义的方法是通过具体的案例而不是用定义的逻辑规则来解释的。
三、反思：理解定义背后的智慧
概念的限制条件背后一定有其合理性存在。从下定义的规则来说，概念的唯一性就是指定义项的外延与被定义项的外延相等。定义中的每个限制条件都对应着相应的反例，讨论这些限制条件与对应的反例，既是学生掌握概念内涵与明晰概念外延，加深概念意义理解的方法，也是学生经历定义概念思考过程的现实途径。
此外，严密性是数学的一个突出特点，甚至可以说数学的生命在于它的严密性。和许许多多数学定理一样，数学概念的定义也是数学内部和谐选择的结果，是数学严密性的重要环节。学生经历了概念定义过程的思考与推敲、修正与琢磨，就会获得概念定义严密性的体会，就能学习定义概念的科学方法。不过，数学概念的严密性从来都不是绝对的，在数学教育中，概念严密性更是有层次的。日本数学家米山国藏指出，从教育的角度来看，较之数学的严密性，更应该使学生领悟发明、发现、研究的精神与方法（米山国藏，1986）。让学生参与定义的思考过程，理解定义背后的规则与意义，与其说是深入理解概念的意义，体会定义概念的严密性，不如说是学习像数学家那样思考，学习数学的精神、思想与方法。
定义背后有智慧！ |
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