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函项逻辑是一种类型的逻辑。由于是主流的类型，实现其基本想法的逻辑系统有很多，与那些后来发展起来的系统比较，弗雷格在1879年创建的概念文字（Begriffsschrift）系统是最原始的一种函项逻辑系统。这个系统的一种相当古怪的特点使得人们后来基本不用它原本的形式了——它不是我们所熟悉的线性的符号系统，而是一种二维符号系统。然而，这个系统包含了几乎所有其他系统都难以企及的哲学动机，对这些动机的挖掘与评价，还是一件正在进行的工作。 1. 知识、真与逻辑在“思想”一文的开篇，弗雷格就把真这个概念当作是逻辑的研究对象，而逻辑所陈述的就是关于真的定律。他把逻辑的这一目标与力学和热学进行了对比，认为关于真的定律与关于热或力的定律同属一类。但与此同时，他又不愿把关于真的定律让位给心理学研究，后者也是寻求一种科学定律，但所做的是关于把某物看作真、是关于思考活动（thinking）的研究；在逻辑中，他要研究的是真这个概念本身，而什么是真，这要通过关于真的定律来加以展示。 在这一讲中，我理解上面的陈述的方式是这样的：概念文字系统本身就构成了关于什么是真这个概念本身的理论；正如什么是热本身，这一点决定了我们应当把什么东西当作是热的，什么是真本身，这一点也决定了我们应当把什么当作是真的；概念文字系统给出了一种系统的方法，来确定我们应当把什么当作是真的，在这种意义上，概念文字作为一个系统，而不是分开理解的单个陈述或者约定，确定了什么是真本身。 所有哲学家都认为，知识的本质在于真，但这并不足以使哲学家们直接以真这个概念作为出发点来讨论知识。只要认为真可以用别的概念来定义，在使用真这个概念的时候，就可以只考虑用来定义真的那些概念，而不必提到真。对康德来说情况也是如此。就像所有的观念理论家一样，在他那里知识论研究首要关注的是观念对于实在的表征，而真这个概念是在这种表征关系的基础上理解的。因此，对康德来说，真对于知识来说虽然是本质性的，但却不是首要的本质——什么是真，这受制于观念是怎样的。与此相对应，逻辑所要研究的并不是真，而是观念的形式。 弗雷格把真当作讨论知识的出发点，这要以真这个概念是不可定义的为前提。接下来我们就要讨论，弗雷格在何种意义上认为真这个概念不可定义。可以说，弗雷格建立真这个概念的不可定义性的方式，决定了弗雷格以何种方式理解逻辑。 事实上，哲学家理解真这个概念的方式，决定了他对于逻辑持有何种观点。罗素就是一个很好的参照。从历史角度看，罗素主义的分析哲学不是从关于真的理解生发出来的，但从学理角度看，这个版本的分析哲学仍然面临着为真这个概念定位的压力。罗素把真解释为与实在相符合，这使得罗素所理解的逻辑以关于实在的逻辑理论的形态，来容纳真这个概念。在讨论罗素主义时，我们就会看到这一点。 2. 真作为基本概念弗雷格曾经在不同的地方重复关于真这个概念为何不能定义的论证，下面的选段来自于“思想”这篇文章： 我们何以能够主张，只要在一个特定的方面符合[实在]，就会有真呢？但这又是在哪个方面呢？因为，在那种情况下，要确定某个东西是否是真的，我们该怎样做呢？我们必须做的事情就是探究比如说一个观念和某种实在在特定方面相符合，这是不是真的。而这样一来我们就又会面临同样的问题，事情又从头开始。定义真的任何其他企图也会失败。因为，在下定义的时候势必要指出某个特征，而在任何特定情况下要运用这个定义就总是会问，这样的特征出现了，这是否是真的。这样我们就是在兜圈子。由此看来，“真的”一词的内容是独特的和不可定义的。[1] 这个论证虽然非常著名，但很容易被当作是无效的。让我们来分析一下它的形式。 一般说来，要定义一个概念，可以采用内涵式的定义与外延式的定义（事实上，由于弗雷格的工作，对概念的定义有复杂得多的形式，比如关于自然数的定义，不过，就这个论证来说，采取何种方式来定义，这并不构成影响），而这两种形式是等价的。比如，“人是有理性的动物”这个句子如果算是一个定义的话，并且按照这种方式来理解，即“人”这个概念在内涵上等于“有理性的动物”这个复合概念，那么我们就说这是一个内涵式的定义。而如果我们把这个定义理解为，这两个概念的外延实际上是相同的集合，那么这个定义就是外延式的。 关于这两种定义的等价关系会有一些争议。如果你觉得，虽然这两个概念在现实世界中的外延是相等的，但在一些可能的情况下（比如由于生物进化的历史有所不同，某种昆虫发展出了理性），它们的外延又不重合了，在这种情况下，外延式定义与内涵式定义就不等价。让我们用一种手段来消除这种情况。在那种假设的情况下，肯定能够不借助理性动物这个标准、而是以独立的方式来确定什么是人，因为只有这样我们才能理解，有动物是理性的但不是人这么一回事。因此，如果我们要求，对一个概念的定义应当提供确定该概念的实例的标准，那么那种假想的情况也就消失了。这样，关于概念C的定义就是这样一种形式： 对任何一个东西，它是C，当且仅当，它是D。 这个定义中，“D”所表示的就是用来定义的那个概念，即定义项。定义式中使用了“当且仅当”这样的连接词，意思是说，两边的子句所陈述的情况互为充分必要条件，即它们的真值总是相同的。这样的句子通常称为“双条件句”。这是一个外延形式的定义，它保证了被定义概念C的外延与定义项D的外延重合。此外，D是用来确定C的实例的标准，因此，如果没有D，C这个概念也就不能运用。在这种意义上，D是一个比C更为基本的概念。这样就排除了前面所说的那种情况，即虽然就现实的情况而言两个概念重合，但还是会有一种可能性，某个实例属于C但不属于D。 弗雷格的论证可以在这种定义形式中得到说明。我们把前面那种形式套用到真这个概念上，并用与实在符合来定义真，就得到： 对任何一个东西，它是真的，当且仅当，它与实在相符合。 弗雷格对这种定义提出的反驳意见是，对某个特定的观念（假定我们需要考虑的是观念，这对论证本身没有影响）运用这个定义，以此判断这个观念是否是真的时，实际上也就是要判断，这个观念与实在符合，这是否是真的，而这就预先假定真这个概念已经被把握了。这就进入了循环。 这个论证的一个很明显的问题是，这个双条件句的后边部分没有出现“是真的”，如果要判断一个观念是否是真的，需要判断的只是它是否与实在符合，而不是“它与实在符合”这一点是真的，因此在形式上并没有循环。在一个定义中，只要定义项中没有包含被定义项，定义就不是循环的。在这种意义上弗雷格的理由似乎并不成立。 另外一种解释是，由于采用双条件句这种定义形式本身需要借助真这个概念才能得到解释，因此这种定义形式本身就预先假定了真这个概念。这个解释的理由是，双条件句所说的是“当且仅当”这个表达式的两边的子句真值相同，因此，这个形式本身需要借助真这个概念才能得到理解。 但是，这种解释也不成立。定义式可以在这种意义上理解：它说明了人们是如何理解被定义的概念的，因此，即使人们原来并不知道这个定义是如何表达的，只要确实是按照这种方式理解被定义的概念，定义式仍然是成立的。在这种意义上，一个人可以不知道“当且仅当”这样的说法是什么意思，比如从来没有见过这个说法，因此这个人实际上不理解关于真这个概念的双条件句定义式，但他仍然能够知道真这个概念是什么，并且，他实际上也是按照这个双条件句所描述的方式把握这个概念的。比如说，每当一个观念与实在相符合的时候，这个人就说这个观念是真的，在这种情况下我们就会说，他确实是按照那个定义式来理解真这个概念的；但在这样做能够做时，他丝毫没有（不管是否有意地）利用双条件句的形式，来进行从观念符合实在，到观念为真这样一种推导。 对于弗雷格的这个论证，我的理解是，他利用了一个在“思想”这篇文章中给出的前提，即判断就是承认一个句子的内容是真的。由于这个前提是在给出这个论证之后才给出的，读者通常在没有足够背景信息的情况下读到这个论证，因而难以正确地理解它。弗雷格区分了思考（thinking）与判断（judgment），并且指出，思考就是把握一个思想（thought）[2]，而判断则是承认一个思想是真的。[3]有了这个前提以后，关于真这个概念的不可定义性的论证就非常容易理解了。在运用关于真的定义时，也就是在判断一个观念是否为真时，我们总是要先判断，比如说这个观念是否与实在相符合，而这就意味着，要决定是否承认“观念与实在相符合”这个思想是否是真的，这样一来，在运用关于真这个概念的定义时，我们又要预先把握真这个概念。这里的关键是，对真这个概念的把握不是借助把握一个思想来进行的，对这个概念的把握是判断这种行为所要求的。由此就可以解释，为什么在表达式中并不出现循环，但弗雷格又坚持认为，在运用定义判断观念是否为真时又会出现循环。这是因为，真这个概念包含在判断的行为中。 事实上，弗雷格认为真这个概念对于思想不起作用。他说，“把真这个性质加给思想，这似乎什么都没有增加”。[4]这是一个非常著名的论断，有些哲学家认为，真这个概念是没有内容的，这个想法就来自于弗雷格。简单地说，这个想法可以表述为： 对于一个句子p来说，“p”与“p是真的”表达了同样的思想。[5] 它很合乎我们通常的一种感觉，即一个人断定某个句子是真的，与使用这个句子来进行断定，所进行的是同一个判断活动。鉴于我们可以很自然地说，同样的判断活动具有同样的内容，说某个句子是真的，就与用这个句子来说，这两者的内容也就是相同的了。 这样，在弗雷格那里就有两个结论，其一，真这个概念总是包含在判断行为中，其二，这个概念对判断的内容不起作用。弗雷格把判断行为解释为断定与思想两个部分构成的，[6]因此在判断中除了思想或者说内容的那个部分，剩下的就是被归于语力（force）的断定了。鉴于这些，我们就可以说，真这个概念属于断定这种语力。因此，弗雷格关于真这个概念不可定义的观点，可以看作是这样一个主张：我们不可能通过把握思想，来获得关于真的把握。之所以这么说，是因为定义起作用的方式就是，通过理解关于另外一个概念的内容，来理解要被定义的概念；既然真这个概念不在内容的层次上起作用，用定义的方式来把握这个概念，也就是徒劳的了。 由此看来，在弗雷格这里，真这个概念不可定义，其依据是一种关于判断的学说，即判断就是承认某个思想为真。由于思想就是句子的内容，我们也可以认为，这种关于判断的学说所主张的就是，判断就是承认某个句子是真的。当把这个学说运用于关于某个观念是否符合实在的判断，就得出了真不可用符合实在来定义。弗雷格心目中的那个论证不仅否认可以用符合定义真，而且否认了关于真的任何一种定义，因此，在弗雷格看来，不仅是某种特定的内容（某个观念是否符合实在）需要通过判断行为给出，一般而言的具有认知价值的内容，即能够用来确认某个观念是否为真的所有内容，都应该是以判断行为给出的。这样一来，判断的普适性，与弗雷格的判断学说一起，就共同确保了真这个概念是不可定义的。 鉴于这一点，我们可以这么说，在弗雷格那里，并不是因为真这个概念本身具有某种奇异的特性，而使得它不可定义，而是因为这个概念与知识、判断这样一些其他概念之间以某种特定的方式联系起来，这种联系使得真不可定义。可以这样表述这种联系：a）知识总是体现为判断行为；b）判断就是承认某个思想为真。给定了这种联系，我们也就不能定义真，这是因为，要运用这种定义来判断真假，就必须利用关于所判断的对象的某种知识，但按照a）与b），就要预先假定已经把握了真这个概念。 真这个概念不可定义，这个观点的直接后果是，这个概念是最为基本的概念，我们要通过对这个概念的把握，来把握其他概念。比如实在这个概念。如果用实在可以定义真，那么我们就要先知道实在是怎样的，由此才能知道什么东西是真的；而如果真这个概念是更为基本的，那么我们就必须先知道有哪些观念是真的，然后，通过知道这些真的观念都有什么内容，以此来知道实在是怎样的。概念之间的这种先后关系，对于哲学来说是至关重要的一件事情。真与实在之间先后顺序上的不同观点，导致了弗雷格主义与罗素主义之间的巨大差异。 3. 逻辑对弗雷格来说，逻辑研究的主题是真这个概念，与此同时，逻辑研究本身又是一种以真为目标的思考活动——它是关于真的科学研究，它要给出关于真这个概念的真命题。因此，逻辑研究面临的是这样一个局面：它必须预先假定真这个概念已经得到把握了，因而不可能通过逻辑来解释真这个概念是什么。因为，任何解释都是用已经把握的东西，来解释未得到把握的东西，而一个东西如果总是需要预先假定得到了把握，那么它就不可能得到解释，否则就只能得到循环。这样一来，我们只能说，逻辑“展示”什么是真这个概念。或者也可以说，逻辑是对于已经把握了真这个概念的人表明，他所把握的东西是什么。 这是否就意味着逻辑研究其实是没有价值的呢？并非如此。虽然说只有把握了真这个概念才可能进行判断，但这并不意味着所有实际进行的判断，都合乎这个概念的要求。比如，人们都知道，一种既真又假的想法是不合乎真这个概念的要求的，但人们也都承认，自己经常持有一些相互矛盾的想法。人类探究知识的过程，总是按照一种自己能够把握的方式，来对自己把握到的东西进行修改、调整和扩展。对真这个概念所作出的逻辑研究也是如此。人们把握了真这个概念，并以这种把握为基础，来决定什么是真的而什么不是。逻辑研究所要做的，正是向已经把握真这个概念的人揭示，这种把握意味着什么。在弗雷格这里，逻辑研究就是关于理性的探究，它表明了作为一种理性事业，这一点对于知识来说究竟意味着什么。 这一点要与前面关于真的不可定义性的讨论结合起来理解。真不可定义，这意味着这个概念实际上不是在思想的层次上起作用的。因此，我们不能说，通过逻辑研究获得的真命题说明了真这个概念是什么。我们不能像理解物理学那样理解逻辑。物理学给热以定义，然后在这个基础上解释所有的热力学现象，而所有这些命题都是谈论热这种现象的，它们告诉我们热是什么。逻辑并不通过逻辑命题来告诉我们真是什么，而是告诉我们，我们应当把什么命题判断为是真的。这就是说，逻辑的效果最终落实到判断的行为上，而达到这种效果的方式，则是说明什么样的命题被判断为真。因此，逻辑研究的目的，就是要向已经把握了真这个概念的人说明，就其把握了真这个概念而言，他应当把什么命题判断为真。这是对判断的行为进行调整，在这种意义上，逻辑就像用来调整人们的社会行为的法典一样，是规范性的（normative）。 对弗雷格来说，这就意味着，逻辑首先关系到的是辩护（justification），逻辑研究的最终成果，就是说明一个命题怎样才算是得到了辩护。简单地说，关于一个命题的辩护，也就是给出为何认为这个命题为真的理由，如果这种理由成立，那么我们就应当判断这个命题为真。逻辑中给出的那些必须判断为真的命题，人们通常称为“逻辑命题”。如果逻辑命题确实是基于把握了的真这个概念而言得到确定的，那么这些命题就是由于真这个概念本身而为真。比如一个表述了矛盾律的命题，就是因为真这个概念本身的要求，而是我们应当判断为真的。这样的命题在弗雷格那里被称为“明证的（evident）”。明证的命题本身就是辩护的标准，因为它们说明了辩护的最终极的理由，这就是真这个概念本身；只有在明证的命题的基础上，其他命题才能得到辩护。 这样，弗雷格就可以以一种新的方式来解释，逻辑为何具有最大的普遍性。这种普遍性取决于知识这个概念本身。一切知识都必须是真的，因此，满足真这个概念的要求，这就是所有知识共同具备的特性。在这种情况下，表现出这种特性的一类特定的命题，当然就具有最大的普遍性。 4. 逻辑系统要成为一种关于真这个概念的理论，逻辑就必须给出由于真这个概念而为真的命题。当然，这还只是一个非常笼统的目标，因为，这样的命题可能是无穷多的。解决这类问题最为通行的方法是，确定一套系统的方法，来产生这无穷多的命题。如果有可能的话，最好能够证明，所有这样的命题都可以用这套方法产生出来。产生这样的命题所借助的那种系统，就是逻辑系统。概念文字是逻辑系统中的一种。 逻辑系统由于是在前面陈述的那种意义上构造出来的，它在理论上就有一些值得说明的特性。 首先，逻辑系统的构造方式不是唯一的，或者说，关于是否只有唯一正确的逻辑系统，不存在原则上的限制。这是因为，就逻辑系统的目的是“展示”真这个概念来说，并不存在一种独立的标准，来衡量这种逻辑系统本身是否正确；或者说，人们并不是参照某个独立的标准，来建立逻辑系统。逻辑学家是按照自己对真这个概念的把握来建立逻辑系统的，而这种把握是自己的判断行为本身的特性，而不是判断的内容所包含的东西，因此，逻辑学家通过建造一个逻辑系统来“展示”为自己所把握的真这个概念，就有点像画家拿起画笔，来“展示”自己所掌握的绘画技能，是不存在外部限制的。 尽管如此，当逻辑系统中足够多的部分确定下来以后，其余部分是什么样的，也就有所限制了，并且随着逻辑系统的逐步完成，这样的限制越来越严格。这是因为，逻辑系统不是通过单个的要素来表现真这个概念，而是通过系统整体来表现。既然真是一个确定的概念，它就对系统的局部与整体之间的关系作出了限制，这是因为，局部在系统整体中才对真这个概念有所表现。当一个系统从头开始建造，在一开始是完全没有限制的；随着系统的逐步完善，限制就越来越多；到系统完全完成时，由系统能够得出何种命题，就是严格地确定了的。 但是，这并不意味着总是可以任意地构造逻辑系统。一些技术上的问题必须事先得到规划式的考虑。比如，一个很突出的问题是，逻辑系统应当以尽可能容易的方式来构造出所需要的命题。 通常，逻辑系统中都包含了构造出命题的规则，这些规则包含两类。一类用来建立语言，它们确定如何从亚命题成分构造出命题，以及从简单命题构造复合命题，由此构造的命题是可真可假的。另一类规则，即推理规则，则是用来从真命题得到真命题，它们是在前一类规则的基础上，确定那些基于真这个概念而为真的命题。后一类规则配备了一组公理，它们一起构成了逻辑系统的证明论（proof theory）部分。公理是本身已经得到确认为真的命题，而推理规则从公理出发推出定理。 这两类规则都有设计上需要考虑的问题。一般而言，要利用有限的材料构造出无穷多的命题，唯有借助于迭代法，也就是说，通过某种操作获得的东西可以再次进行同样的或者其他的操作，从而得到更加复杂的结构。而使用迭代法，实际上就要用一些可重复使用的要素来获得复杂的结构，由此需要达到的效果是，就面对的任意复杂结构来说，都应当能够用这些要素通过迭代获得。因此，在设计相应的构造规则时，也就必须考虑如何找到这样的进行迭代操作的要素。为了便于构造，它们必须足够简单；但要能够构造任何命题，它们又必须足够强大。 设计逻辑系统，需要高超的数学技巧和极大的耐心与细致，深入考察弗雷格的概念文字，我们不难看到这些品质。 如果用逻辑系统来充当关于真的理论，由于逻辑系统作为整体不受独立的条件约束，人们就常常设计一种与自然语言不同的符号体系，来充当逻辑系统所用的语言，并用这种语言来表述公理和制定推理规则。这种借助逻辑系统来探讨真这个概念的做法，常被当作是理想语言哲学的标志性特征。像弗雷格这样的理想语言哲学家，通常会用自然语言存在歧义、模糊，并且受制于表达知识之外的目的，而拒绝以自然语言为手段来讨论真这个概念。但是，如果真这个概念对于语言来说存在着某种选择性，或者说，如果只有满足某种条件的语言才能揭示真这个概念，那么自然语言的这种缺陷并不足以支持理想语言哲学家的做法。 日常语言哲学家常常就是在这一点上反驳理想语言哲学家，在他们看来，真这个概念确实对语言具有选择性，因为，只有那种实际上为人们所使用的语言，才对他们所把握的真这个概念有所揭示。如果这种想法是对的，哲学家就不能任意地构造一种语言，来揭示真这个概念，而只能够在对语言的实际使用的背景下来做这件事——人们实际使用的语言，就是自然语言。后面在讨论日常语言哲学时再回过头来对照，下面我们继续看弗雷格的理想语言哲学方案。 5. 概念文字系统这里介绍一下弗雷格的概念文字系统的设计思路。虽然这个系统由于采用的是二维记号现在很少有人采用，但它的基本理念却已经成为当前设计逻辑系统时，逻辑学家所采取的主流理念。在后面需要采取符号的时候，就换用现在通用的符号，而不用弗雷格自己的符号。 5.1 真值函项概念文字的指导思想是函项逻辑，即用函项形式来对命题进行结构分析。为了建立逻辑系统，也就是说，为了给出那些仅仅由于真这个概念就为真的命题，关于函项结构的基本想法是不够的。为了达到这个目的，需要一种特殊的函项结构，即真值函项（truth-value function）。所谓真值函项，就是不仅其值是真值，而且其主目也是真值的函项。概念文字系统（以及当前大多数主流的逻辑系统）不仅把命题分析成函项结构，而且是分析成真值函项结构。 使用真值函项结构的基本想法是：只要把握了真这个概念，就能够理解真值函项；由于真值函项的主目就是真值，把握了真这个概念，就足以确定通过真值函项结构建立起来的命题是否是真的。这个想法包含了两个部分，其一，可以利用真值来定义真值函项，因此无需真这个概念以外的东西，就可以确定真值函项的意义；其二，真值函项的主目也是真值，而在把握了真值函项意义的情况下，确定了主目也就可以确定函项的值，因此要确定真值函项结构的命题是否是真，也无需借助除真这个概念以外的东西。这样，对于给定命题来说，只要能够用真值函项结构来表示它，我们就能够利用概念文字系统来确定其真值。 我们在数理逻辑中看到的逻辑联结词以及否定号，就是真值函项记号。而真值表就是利用真值来对这些真值函项作出的定义。常用真值函项的真值表定义如下表所示：
这些逻辑联结词是用真值表定义的，这就意味着它们并不含有真值表以外的意义。人们有时候把析取号“ú”解释成连词“或者”，而把实质蕴涵“→”解释成因果关系，这都是不对的。析取的唯一意义是排除两个析取支均为假的情况，或者说，只有在两个析取支均为假时为假，在其他情况下均为真。实质蕴涵则要解释成仅仅排除前件真后件假的情况。 这样的话，所谓的“实质蕴涵怪论”其实是过度解释的结果，实际并不存在。人们通常会对逻辑系统允许像“如果9+1=10，那么海豚是哺乳动物”（写作“9+1=10 → 海豚是哺乳动物”）这样的句子为真，而感到不解，因为前后件显然缺乏语义上的联系。现在我们知道，这种语义上的联系反而是不允许的。这种联系超出了真这个概念的范围，而逻辑系统被设计出来，目的只是要揭示真这个概念，超出这个概念的东西，则是不相关的。一个系统要揭示真这个概念，就势必要在前面所陈述的那种意义上定义真值函项，而这意味着要允许那类怪异命题。逻辑系统不能一开始就试图刻画排除那类命题所需要的语义联系，而能够刻画这种语义联系的，只能是允许那类怪异命题的那种逻辑系统的扩展形式；在扩展之前，真这个概念必须已经得到了揭示。 定义了真值函项，就可以对命题采取中立化操作，也就是说，把所有与真值不相关的要素都过滤掉。比如，在“海豚分泌乳汁 → 海豚就是哺乳动物”这个命题中，把前件“海豚分泌乳汁”换成“9+1= 10”，它们都同样是真命题，因此整个实质蕴涵式的真值是不变的。在这种情况下，我们可以用一个抽象的字母“p”来表示前件，而只规定它是一个真命题，这样就得到一个半中立化了的句子“p → 海豚就是哺乳动物”。按同样的方式把后件也换掉，换成“q”，并且也只规定它是一个真命题，由此就得到原来那个句子完全中立化了的形式，即“p → q”。在中立句子中，我们完全不理会句子讨论的是什么，而只关心句子的真值，因此，真值函项结构将完全用中立句的形式表现出来。当然，中立句也就表现了真这个概念。 当把中立句中的字母系统地换成赋予了具体内容的表达式或句子，也就是说，用相同的表达式或句子来替换相同的字母，我们就得到了具体的句子。如果按照逻辑系统中立句的真值已经确定下来，那么替换后的具体句子的真值也就保持不变。由此我们可以看到，逻辑系统与具体句子之间的关系是怎样的了。具体句子虽然依据具体的内容而为真或为假，但它们总是受到逻辑系统的约束，这种约束就体现在相应的中立句上。这种约束具有普遍性，这是因为，任何一个中立句都对应于无穷多的具体句子，中立句是作为刻画这些具体句子所受到的逻辑约束的定律出现的。 5.2 逻辑联结词的完全性定义逻辑联结词的目的，是要刻画命题的真值函项结构。只有当所有可能的真值函项结构都能够为已经定义的逻辑联结词所刻画，逻辑联结词才能够服务于“确定所有仅出于真这个概念就为真的命题”这个目的。如果已经定义的逻辑联结词能够刻画所有可能的真值函项，那么这些逻辑联结词就具有完全性，或者说，它们构成了逻辑联结词的完全集。 这是一个纯技术的问题，可以用技术手段来解决。 只要确定了对于主目的所有的取值组合，函项分别取什么值，我们也就确定了这个函项；如果对于主目所有的取值组合都考虑了相应的可能的函项值，我们也就确定了所有可能的函项。对真值函项来说，由于任何一个主目以及函项值都只有真假两个取值，确定所有可能的真值函项就不是件难事。比如，要确定一个二主目的真值函项，只需要确定对于主目的每种真值组合，函项值是真还是假就行了。为此我们需要考虑主目的22=4种真值组合，对应于每种真值组合，函项值都取一个确定的真值。一种真值组合与一组相应的函项值，共同确定一个真值函项。如果要考虑的是所有可能的单主目真值函项，那么需要做的就是，对应于主目的每种真值组合，函项值都有两种可能的取值，即取为真或者取为假，这样就有24=16种可能的真值函项。这些真值函项可以通过下表来说明。
表格中每个标了数字的竖列，都是一个有两个主目的真值函项。 定义真值函项的目的，是为了刻画任意给定的命题，其意义在何种意义上依赖于真这个概念，从而确定这个命题在何种意义上受制于逻辑系统的制约。比如说，对于“要么p，要么q”这样的命题形式，如果这种形式说的是p与q两个选项最多只能选择一个，但是可以两个都不选，那么它就是标号为“2”的真值函项。进而，如果这种真值函项能够用逻辑联结词表示，那么这种形式就可以用逻辑联结词来表示，从而改写成可以在逻辑系统中演算的形式。 前面所给出的逻辑联结词的真值表定义，遵循了简化和直观的原则，这就是说，用这种定义可以非常容易地表示任意一种真值函项。比如，我们可以用否定与合取来表示所有两个主目的真值函项。我们注意到，合取的作用就在于确保当两个合取支都为真时，函项的值为真，而在不满足这个条件的情况下函项值都为假。可以这样利用这一点：比如对于标号为“12”的那个真值函项，由于它只要求在p假q真的情况下函项值为真，其他情况下为假，我们就可以把这个函项写作“~pùq”；对于标号为“10”的那个真值函项，它不仅要求在p假q真的情况下函项值为真，而且要求在p与q均为假时也为真，我们就可以再次利用合取，把这个真值函项写作“(~pùq) ù (~pù~q)”。这种改写方式是非常合乎直观的，当然，这是因为所定义的逻辑联结词都只是实现非常单一的功能，只要弄清这些功能如何拼接起来实现较为复杂的功能，就可以用直观的方式来表示各种各样的真值函项。 显然，否定与合取一起，可以表示所有可能的真值函项，一个逻辑系统只需要这两个逻辑联结词，就可以表示所有的真值函项结构。我们称这样的逻辑联结词为一个完全集。事实上，否定与析取或者实质蕴涵也可以构成完全集。逻辑学家甚至构造出了只含有一个联结词的完全集。一个逻辑系统采用哪个完全集，这是没有关系的。 5.3 公理与推理规则逻辑系统的作用是，利用少数几个由于真这个概念即为真的命题，来构造所有同样基于这个概念为真的命题。这个目的是通过先确定公理，即初始的真命题，然后利用推理规则来从公理得到所有其他命题实现的。 与设计逻辑联结词这样的语言性的要素相似，公理的制定也是一种理论设计，而不是一种发现——并不存在一种独立的标准，来确定究竟要选择哪一套公理。这首先是因为公理具有何种函项结构，这取决于采用哪种符号体系，以及什么样的逻辑联结词。另一方面，公理与推理规则协同起来，服务于产生所有出于真这个概念即为真的命题，因此，公理与推理规则是成套使用的，而它们的合法性，则是通过它们是否真的能够推出由于真这个概念即为真的所有命题，而得到确认的。 因此，确认一个命题是否公理，需要两个方面的标准。首先，它必须也是出于真这个概念而为真，也就是说，它必须具有明证性；其次，在与其他公理以及推理规则配套使用时，是否具有这样一种技术上的特征，即是否具备了构造出逻辑定理所必须的那种基础地位。它们合起来得到的标准就是自明性（self-evidence）。 关于明证性，可以举例说明。例如，一个形如“(p → (q → r)) → (q → (p → r))”的中立句在概念文字系统中就是公理。这个句子是这样表现出自明性的：按照实质蕴涵的真值表定义，只有当前件为真后件为假时，实质蕴涵式才是假的；如果我们假定这个蕴涵式为假，那么其前件p → (q → r)为真，而后件q → (p → r)为假；而要使得后件q → (p → r)为假，就必须使得q为真，而p → r为假，即p真r假；但是，在q与p为真而r为假的情况下，蕴涵式的前件p → (q → r)也为假；既然按照假定前件p → (q → r)为真，因此整个蕴涵式不能为假。 从上述推理可以看出，只要我们承认一个句子不能既为真又为假，在按照真值表定义来理解实质蕴涵的前提下，就能够看出整个中立句是真的。承认一个句子不能既为真又为假，这是真这个概念所要求的，因此，这个句子为真，是由于真这个概念。在这种意义上，这个命题是明证的。 要注意的是，“明证性”这个概念在有些哲学家那里是一个知识论概念，按照这种理解，明证的东西就是人们有充分证据而加以确认的东西。作为知识论概念，某种知识要达到明证的程度，这与主体的认知能力，以及为知识提供辩护所需要的证据的类型有关，而这意味着明证性是相对的、有程度之别的。在弗雷格这里，逻辑公理的明证性不是这样的一个知识论概念，它与主体的认知能力没有关系，而是与真这个概念本身有关。不过，这个概念与知识也并非全然无关。我们可以这么说，具有明证性的命题，就是把握了真这个概念的人应当认识到是真的的命题。在这种意义上，一个命题是否有明证性，这并不取决于主体实际所具备的认知能力，相反，它决定了主体是否有认知能力——一个人如果没有能力意识到明证的命题是真的，那么他就并不具备获得知识而必须具备的理性能力。 就明证性而言，逻辑系统的公理与定理是没有区别的，但是，任何命题都是具有一定复杂程度的句子，而这意味着认识到它的明证性，是一件难易程度不同的任务。人们必须首先识别写下来的句子，通过句子的物理形态来看出句子所表达的思想，然后才能知道它是否是明证的。这样，就不排除有些句子以最为简单的方式，通过其物理形态体现出明证性。我们可以设想，所有明证的命题都是通过若干最为简单的模块通过拼接、迭代，以及变形操作而成，而这些简单模块对于推出所有明证命题来说都是必要的，那么，以恰当的方式分离出这些最简单的模块，就得到了这个系统的公理。在这种意义上，公理就是其明证性最容易识别的明证命题。这样的命题就是自明的。 与公理协同工作的是推理规则。公理所提供的基本模块按照推理规则所确定的方式进行操作，由此得到各式各样的明证命题。在这种操作中，推理规则需要满足的条件就是，要保证从真命题得到的也是真命题。就以概念文字中最重要的推理规则来说明这一点。肯定前件推理的形式是这样的：
这个推理规则是从关于实质蕴涵的真值表定义中获得的。在实质蕴涵的真值表定义中容易看到，当前件为真，并且蕴涵式为真时，后件只能是真的。按照这种形式，我们可以从两个公理通过变换得到新的中立句，并且这个中立句是真的：
其中，第二个前提就是我们前面讨论过的那个公理。我们可以验证一下推理最终得到的那个命题是不是真的。 5.4 同一性一个逻辑系统如果只利用真值函项来分析命题结构，那就只是一个命题逻辑系统，但概念文字系统包含了更多内容。命题逻辑系统所处理的表达式，其最小单元是句子，而概念文字系统还处理亚句子结构，特别是，其中还包括量词。但是，概念文字系统仍然是一种关于真这个概念的理论，这是因为亚句子结构中的一些特点，也受制于真这个概念，这就是表达式指称的同一性。 分析哲学家不仅谈论一个东西是什么，有时候还谈论这个东西的同一性（identity）。同一性总是结合类似于“a=a”或者“a=b”的形式来得到解释的，有些文献将其解释为一个东西与它自身的关系，也有些文献则解释为一个词（例如“a”）与另一个词（例如“b”）之间的关系，例如其所表示的东西相同这样一种关系。不管怎样，同一性总是涉及到一个对象被重新识别出来，就像我们意识到眼前的这个人原来是昨天见过的那个一样。在重新识别一个对象时，我们也可以并不知道这个对象是什么，比如我们可以盯着远处的一个移动的物体，在确认它还是原来那个东西的同时，却并不知道那个东西是什么。我们可以说，识别那是同一个东西，这是识别那个东西的必要条件，但不是充分条件。 表达式要表示实在中的东西，并且，我们会认为，正是因为表达式有这样的功能，它们所构成的句子才具有真值。弗雷格也是这么认为的，当然，对弗雷格来说，真句子表明了实在的状况，因此，表达式与实在之间的联系，在某种意义上也是与真这个概念有关的。弗雷格用“指称（Bedeutung）”[7]这个概念表现这种关联。一个表达式的指称就是我们在前一讲中所谈到的语义。 但在这种意义上使用的“指称”一词，与我们通常所理解的意义不同。我们常常把一个词所表示的对象当作这个词的指称，典型的情况是，当我们辅以手势时就可以把所指的对象确定下来，比如我们用“这匹马”来确定“吉星高照”这个名称所指称的那匹赛马。但弗雷格把指称与真值联系起来，把表达式所对应的、可以确定句子真值的要素都当作指称，这样，不仅名称所表示的对象是名称的指称，而且，函项词所表示的概念也是函项词的指称。进而，子句的真值对整个句子的真值构成影响，因此，子句的真值，进而一切句子的真值，也都是句子的指称。但是，我们很难说概念与真值是我们通常所理解的那种属于实在的东西——在弗雷格那里，概念根本就不是对象，因此我们不能在弗雷格的意义上说，表达式的指称就是表达式所表示的对象。 再者，如果把指称都当作实在中的东西，那么概念也就是实在中的东西，而句子的指称，就是名称的指称（对象）与概念词的指称（概念）在实在中结合的产物；但是，在弗雷格的意义上，句子的指称是真值，而我们很难把真值当作是由对象与概念结合而成的。真值只有真与假这两个，我们如何能够把各式各样的对象与概念，都结合成这两个东西呢？ 暂且让我们在弗雷格的那种意义上使用“指称”这个词。在这种意义上，表达式的指称是多种多样的，它们显然超出了真这个概念的范围。但是，指称仍然在这种意义上受制于真这个概念：一个句子在其他部分保持不变的情况下对某个表达式进行替换，如果这种替换能够确保句子真值不变，那么用来替换的表达式与原来的表达式肯定具有同样的指称。我们可以这样概括这种联系，即句子具有确定真值的必要条件是，其中的表达式指称保持同一。换言之，真值的确定性要求指称的同一性。 像“启明星落下去了”这样的句子意思是什么，这取决于“启明星”指称什么，而这与真这个概念是没有关系的。但是，“启明星”是否与“长庚星”指称同一个东西，则取决于“长庚星落下去了”这个句子是否与原来那个句子具有相同真值，也就是说，取决于“具有相同真值”这个概念，或者说，取决于真这个概念。一般说来，所谓一个句子具有确定真值，也就是说，当一个句子在不同时刻或场合出现时，尤其是当句子被说出时与回过头来考虑其真值时，它都具有同样的真值，因此，指称的同一性概念受制于“具有确定真值”这个概念。 需要注意的是，我们要把上述关系与一种无关的情况区分开。在一种可以想象的情况下，“启明星落下去了”与“太阳落下去了”也具有相同真值，但这并不意味着启明星就是太阳。这两个句子具有相同真值，这是一种无关的情况，这是因为，我们原来考虑的是替换后的句子并不单独确定真值的情况，替换后的句子取什么真值，这取决于原来那个句子。更明确地说，能够确保启明星就是长庚星的条件是，“长庚星落下去了”无论实际上取什么真值，其真值都是“启明星落下去了”所取的真值；显然，两个句子的真值碰巧相同，并不是我们要考虑的情况。 可以有一种方法来排除这种无关的情况，这就是承认在任何句子中，像用“长庚星”替换“启明星”这样的替换总是能够保持句子真值不变，那么这两个表达式指称相同。比如，不仅是“长庚星落下去了”与“启明星落下去了”真值相同，而且任意取的其他句子，比如“长庚星是行星”，也与对应的句子“启明星是行星”具有相同真值，那么“长庚星”与“启明星”具有相同指称。[8] 指称的同一性与真值的确定性相反方向的关系也是成立的，也就是说，指称相同的表达式替换，并不改变句子真值。这通常被称为“替换原则（the Substitution Principle）”。替换原则与前述那种反向的关系一起，意味着弗雷格用真值的确定性这个概念，来定义指称的同一性。 这种关系使得概念文字系统中也纳入了等号，以及相应的亚命题结构。比如，“α = α”以及“"x(Fx) → Fα”（其中的“α”是任意名称），就作为公理出现，而替换原则则以推理规则的形式出现了。 5.5 概念文字系统的完全性仅仅给出公理与推理规则，这对于设计概念文字系统的目的来说还是不够的。概念文字系统应当能够给出所有出于真这个概念而为真的命题。通常，对逻辑系统的这种要求被称为完全性，即所有逻辑上为真的命题都要能够在系统中得到证明。但是，在概念文字系统中并没有表述这种完全性的手段。[9]要能够说明一个系统是否完全，就必须有一种技术手段，来确定逻辑真命题有哪些。当然不能用“在概念文字系统中可以证明”这一点来充当逻辑真命题的标准，因为是否所有逻辑真命题都是可以在概念文字系统中可以证明的，这正是需要证明的结论。我们需要独立的标准来确定逻辑真命题的范围，但弗雷格并没有这样的手段可用。 在当前的数理逻辑中，人们确实证明了各种逻辑系统的完全性或者不完全性。事实上，1929年哥德尔在自己的博士论文中就证明了一阶逻辑的完全性，而一阶逻辑是概念文字系统的一个局部。这些证明通常采用了后来被归入“模型论（model theory）”的形式语义学技术。到后面学习塔斯基的时候我们会了解这种技术。这种技术的要点是，把系统所规定的语言本身看作是无意义的符号，而把符号的意义描述成符号与模型（即一组对象）的对应关系，这样，我们就可以用任何语言来谈论这些符号的意义。这里的关键是，由于可以直接谈论模型，我们就可以确定这些符号构成的句子在什么情况下是真的和假的。比如，如果为“a”这个名称指派铅笔这个对象（这个对象包含在模型中），以此解释这个名称的意义，而为“F”这个谓词指派模型中所有红色的东西构成的集合作为意义，那么，如果铅笔属于那个集合，“F(a)”这个句子对于这个模型的这种指派来说就是真的。在此基础上，如果在把模型中的对象任意指派给句子中的表达式时，句子都是真的，我们就说这个句子对于模型是真的；而如果对任意模型都为真，句子就在逻辑上为真。这样一来，我们就独立地确定了什么是逻辑真命题，因而可以表述系统的完全性。 以前面关于真这个概念的讨论为背景，我们不难看到这种技术是弗雷格所不会采用的。上面说明句子“F(a)”何时为真时，我们需要确定铅笔是否属于所提到的那个集合，也就是说，按照弗雷格的理解，我们要确定“铅笔属于那个集合”这个句子是否是真的，因此按照模型论的方式并不能说明什么是真的。 但是，从另一方面看，模型论所提供说明又不是循环的，因为它说明的是特定语言（即包含了“F”与“a”这类符号的语言）的句子是否是真的，也就是说，如果把这里提到的“真的”这个词限制在特定语言上，循环就消失了。一般而言，这种我们对其中的句子谈论真假的语言，就被称为“对象语言（object language）”，而我们用来谈论对象语言的语言（在这种情况下就是汉语这种自然语言）就是元语言（meta-language）。用这两个术语来描述现在的情况就是，要谈论对象语言的句子是否是真的，就要预先假定元语言中的真句子，由于这两类句子是不同的，我们对于对象语言的句子是否为真的解释，就不是循环的。这样解释所付出的代价是，由此给出的用来确定句子真假的标准，只是针对与特定语言联系的“真的”这个词，即真谓词（truth predicate），而不是真这个概念。如果要进而确定元语言的句子何时是真的，就要使用元元语言，并预先假定元元语言中的一些句子是真的。 由于弗雷格试图通过逻辑系统所揭示的，是真这个概念，而不是真这个谓词，模型论的方式对他来说就是不起作用的。 不过，弗雷格还是可以用一种类似于自然科学家的态度来对待概念文字系统。科学家的任务是发现科学定律，以此解释自然现象，但对科学家来说，不可能有一种更高的科学，来确定给定的科学定律是否能够解释所有的自然现象。科学家所做的事情，只是在看来不能解释的现象出现时，对科学定律进行修改和完善。对待概念文字系统也可以采取同样的态度。哲学家并没有一种独立的方式，来判断眼下的系统是否完全地揭示了真这个概念，唯有通过所遇到新情况来进行检验，看系统是否有能力处理这种新的情况。这样看来，系统的完全性是一个开放的问题，哲学家要做的事情无非是不断改进系统，但无法保证它是完全的。弗雷格很有可能是这么看问题的。对他来说，虽然没有一种系统的方式来确定什么东西是真的，但由于我们终究是具有（或多或少）理性的，因而对真这个概念终究有所把握，终究能够判断，给定的句子是不是出于真这个概念而为真，也就是说，是不是表达了逻辑真命题。 [1] G. Frege, “Thought”, in The Frege Reader, edited by Michael Beaney, Blackwell, 1997, p. 327. [2] 我们暂且把“思想”理解为句子所表达的内容，到后面再详细讨论这个概念。 [3] G. Frege, “Thought”, in The Frege Reader, edited by Michael Beaney, Blackwell, 1997, p. 329. [4] Ibid., p. 330。 [5] 切不可把这个表述与后面要讨论的Tarski的Convention-T混淆起来。虽然这两者在表述形式上接近，但表述的内容完全不是一回事。 [6] 事实上，断定句中还包括表达情感和语气的成分，但是在与知识相关的考察中，这些成分不予考虑。 [7] 德文词“Bedeutung”在弗雷格这里出现时，英文文献有多种译法，例如“meaning”、“denotation”、“significance”、“reference”等等。现在很多学者倾向于译为“reference”，在汉语里，我们就使用“指称”这个词。 [8] 参见Frege, “On Sinn and Bedeutung”, p.151, note.1, in The Frege Reader. [9] Dummett: Frege: Philosophy of Mathematics, Duckworth, 1991, p.30. |
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