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教师经常对学生提出数学学习要求，但是这些要求的具体内容是什么，有时是很模糊的，而且经常经不起推敲，这些要求合理吗？ 比如一，对于因式分解，要求“分解到底”。那么怎样判断是不是已经分解到底了，标准是什么？ 这里牵涉到一个“不可约多项式”的概念。在复数域内，任何一个实系数多项式是不可约多项式时都是一次的。这一结论由代数基本定理保证。换句话说，在复数范围内，一定可以把一个实系数多项式分解成几个一次多项式的乘积。但是，在实际操作时，我们不一定有能力找到这些一次多项式（或者说找到这些复数根）。在实数域内，任何一个实系数多项式是不可约多项式时只能是一次或者二次多项式，这个结论由共轭虚根定理保证。换句话说，在实数范围内，一定可以把一个实系数多项式分解成几个不超过二次的多项式的乘积。但是学生有没有能力一定能够把一个多项式分解到不超过二次多项式呢？换句话来说，学生并没有能力求解一般高次方程，所以没有能力真正把多项式分解到底。 虽然在有理数域上，可以有任意次数的不可约多项式。但是其实学生也没有能力判断一个高次多项式有没有有理数根。事实上，根据高等代数的一个结论，叫做辛普森判别法，可以帮助我们解决这一问题。  所以因式分解是否已经分解到底的判断就十分困难，初中生就只能通过观察来判断，老师不经意的一句“分解到底”的要求，背后居然如此大有文章。 比如二、根式的计算结果要分母有理化，但是没有明白为什么要分母有理化。 实数运算结果如果是二次根式，一定要求化为最简二次根式，但是为什么要化简，没有交代清楚。实际在计算中，我们甚至觉得结果(2/√5)还比(2√5)/5更加简洁，我们也说不清楚1/(√3+1)与(√3-1)/2哪个更简洁。 我没有在别处找到原因，我想下来，有以下几点理解： 1.不管是否化简，数值一定是相等的，形式一定也是有意义的； 2.化简以后对于进一步的加减运算可能方便一些； 3.可能最主要的原因就是为了表示结果的形式唯一性（或者叫一致性，统一性）。 比如三，规定除数不能为零（规定分母不能为零），可是不知道为什么不能为零。 数学运算都必须要求运算的结果要有确定性，不可以模棱两可，也不可以不存 在的。那么当a÷b时，如果b=0，那么用a去除以b，就会发现当a=0时a÷b是不确定值，当a≠0时a÷b的值不存在。所以除数不能为零。 比如四，一元一次方程的定义为什么是形式定义，而一元二次方程的定义却是实质定义？ 教科书用形式定义叙述一元一次方程，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的方程。所以x=x+1也是一元一次方程。而用实质定义叙述一元二次方程，形如ax^2+bx+c=0(a≠0）的方程叫做一元二次方程。 这么一来，x^2+x=x^2+1既不是一元二次方程，也不是一元一次方程。看上去，方程定义的不一致性导致了内部矛盾。 那么怎么办呢？ 一种办法就是全部采用实质定义，一元一次方程定义为ax+b=0(a≠0)，可是这么一来，我们对于原始方程先要通过合并同类项进行化简。由于目前的教材把一元一次方程的内容放在整式的内容之前，所以这时还没有学过合并同类项，这就遇到了困难，所以这个方法不可取。还有一种办法就是全部采用形式定义。可是这么一来，却和代数基本定理相矛盾了，也不可取。左右为难，便采取现在这种折中、妥协，却不合理的方法。 比如五，分式方程的等号两边的式子甚至可能不是分式。 形如B/A（A、B 是整式，B 中含有字母）的式子叫做分式。分式方程是指分母里含有未知数的有理方程。说是分式方程，实则并不是等号连接着两个分式的方程。也并不是含有分式的方程。甚至在方程里根本没有分式。由此联想开去，繁分式是不是分式，也是一个很难回答的问题。 比如六，像√2/2这样的数，在整式里面讨论时，说过单个一个数字也是整式，可是这明明就是一个根式。难道可以同时既是根式又是整式。 在我们的教学中、教材中，经常会有这样模糊的东西。我们要能够逻辑地处理好，实在是很难，却十分重要。 我们对于近似数的刻画通常可以说精确到0.01，保留三个有效数字，精确到小数点后面2位数字，保留一位小数，等等。可是我们并不十分清楚，这些不同的要求分别适合怎样的情况，它们之间是什么样的关系。 所以一般情况下，我们基本上会混用、乱用，随心所欲。 所以我们要学习一下近似计算的修约法则。 在实际计算中，有许多近似数的计算。近似数的计算除了必须遵守准确数的计算法则之外，还有着一些它自己特有的法则，掌握这些法则可使我们迅速合理的对近似数进行计算，并获得足够精确的结果。 近似数的计算分为两大类，一类是不给预定结果精确度的计算；一类是给出预定结果精确度的计算。在这里把计算的基本方法作以简单的介绍： ⑴不给定预算结果精确度的计算 这类题是由参加计算的近似数来确定结果的精确度。其基本方法是： ①加减计算时，要以小数部分位数最少的数作标准，其它参加运算的近似数要比标准数多保留一位小数，最终结果应和标准数的小数部分位数一样多。 ②乘除计算时，要以有效数字个数最少的数作标准，其它参加计算的数要比标准数多保留一个有效数字，最终结果应和标准数的有效数字一样多。 ③四则混合计算中，凡中间步骤的计算结果都要比所选的标准数多保留一位小数或一位有效数字。 ④选取标准数时不能选用准确数。 ⑵给出预定结果精确度的计算 这类近似计算是预先给定结果的精确度，由此来确定参加计算的近似数的小数部分位数或有效数字个数。其基本方法是： ①加减计算时，要让参加计算的近似数比题目给定的精确度多保留一位小数，计算结果保留到给定的精确度。 ②乘除计算时，应估算出积、商的最高位，再结合给定的精确度来确定积、商的有效数字的个数，然后让参加计算的近似数多保留一个有效数字，再进行乘、除的计算。计算结果保留到给定的精确度。 ③四则混合计算中，中间步骤的计算结果要多一位小数或一个有效数字。 |
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