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Maths 01_ 方差（平方），标准差（方差开方），平均差（绝对值）
1．加权平均数 某市三个郊县的人数及平均耕地面积是： 郊县-人数（万）-人均耕地面积/公顷 A-15万-0.15 B-7万 -0.21 C-10万-0.18 那么这个市郊县的人均耕地面积是多少？ 由于三个县的人数不同，各郊县的人均耕地面积对这个市的人均耕地面积影响不同，因此这个市郊县的人均耕地面积，不可能是三个郊县人均耕地面积的算术平均数（=(0.15+0.21+0.18)/3），而应该是： （0.15*15+0.21*7+0.18*10）/（15+7+10）=0.17公顷 这就是加权平均数（weighted average）。三个郊县的人数15万、7万、10万分别是三个数据的权（weight）。
若n个数x1，x2，…，xn的权分别是w1，w2，…wn，则： （X1*w1+x2*w2+…+xn*wn）/（w1+w2+…+wn） 叫做这n个数的加权平均数。数据的权能够反映数据的相对“重要程度”。
你的公司想招聘一名英语翻译，对甲乙两人进行了听说读写的英文水平测试，成绩如下 应试者-听-说-读-写 甲 85-83-78-75 乙 73-80-85-82 如果这家公司想要的是口语强的人，听说读写成绩分别按3：3：2：2的比确定，则应该录取谁？如果想招笔译能力强的呢？听说读写成绩分别按2：2：3：3的比确定，该录取谁？ →口语强的权重： 甲的平均成绩=（85*3+83*3+78*2+75*2）/（3+3+2+2）=81分 乙的平均成绩=（73*3+80*3+85*2+82*2）/（3+3+2+2）=79.3分 所以应该录取甲。 →笔译强的权重： 甲的平均成绩=（85*2+83*2+78*3+75*3）/（2+2+3+3）=79.5分 乙的平均成绩=（73*2+80*2+85*3+82*3）/（2+2+3+3）=80.7分 所以应该录取乙。
你参加一项比赛，分数依据三个方面得出：内容、表现、效果，各项成绩均按百分制，综合成绩依据内容占50%，表现占40%，效果占10%的比例得出，你和对手的分数为：
则，对手的总分是=（85*50%+95*40%+95*10%）/（50%+40%+10%）=42.5+38+9.5=90分 你的对手的总分是=（95*50%+85*40%+95*10%）/（50%+40%+10%）=47.5+34+9.5=91 你获胜。
平均数的符号为x上面一个横杠，但电脑打不出，以后就用[x]这个符号来代替。 统计中，在求n个数字的算术平均数时，如果x1出现f1次，x2出现f2次，…xk出现fk次（f1+f2+…+fk=n），那么这n个数的算术平均数[x]=（x1f1+x2f2+…xkfk）/n 叫做x1、x2、…xk这k个数的加权平均数，其中f1、f2，…，fk分别叫做x1，x2，…xk的权。
2．中位数和众数 中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，那么处在中间位置的那个数字就是这组数据的中位数。而如果这组数据有偶数个数字，那么处在中间位置的那两个数的平均值，就是这组数据的中位数。 124，129，136，140，145，149这六个数，中位数是多少呢？因为是偶数个数据，中位数就是中间两个数的平均值=（136+140）/2=138 中位数是一个位置代表值，小于和大于它的数据各占一半。
众数：一组数据中出现次数最多的那个数，就是这组数据的众数。如果一组数据中有两个数据出现的频率一样多，且都是最大的数，那么这两个数都是这组数据的众数。 你的店销售女鞋30双，各尺码的销量如下：
可以看出，23.5cm款式的鞋销量最大，是众数。可以多进货此款型号的女鞋。
你是商场经理，对手下30个营业员的当月销量进行统计：
可以看出，达到15万的人数最多，是5人，这就是众数。 把所有人的销售额一字排开，处在中间的销售额（即中位数）是多少呢？因为一共有30个销售员，中位数就是第15和16个位置上人他们的销售额的平均数，也就=（18万+18万）/2=18万。有一半的人（15人）的销售额不足18万，有一半的人（15人）的成绩超过（或等于）18万。 所有人的月平均销售额=（13*1+14*1+15*5+…+32*2）/（1+1+5+4+…2）=609/30=20.3万。这就是加权平均数。
相比较于平均数，众数不易受极端值的影响，中位数也不易受极端值的影响，所以在统计中国百姓的收入水平时，不能用人均收入来计算，而要用众数、中位数等来看。
3．极差（range）、方差 一组数据中的最大数据与最小数据的差，就叫做这组数据的极差。如一个公司中人的最高收入与最低收入的差。极差反映的是数据变化的范围，但它受极端值的影响较大。
除了用极差来反映数据的波动范围外，统计中还通过考察一组数据与它的平均数之间的差别大小，来反映这组数据的波动情况。
设有n个数据x1，x2，…，xn，各数据与它们平均数[x]的差的平方，分别是(x1-[x])^2，(x2-[x])^2，…，(xn-[x])^2。我们用它们的平均数，即用： s^2=[ (x1-[x])^2 + (x2-[x])^2 + … + (xn-[x])^2]/n
来衡量这组数据波动的大小，s^2就是这组数据的方差。
由方差公式
可以得出方差的简化公式：
当数据分布比较分散时（即数据分布在离平均数越远的范围），各个数据与平均数的差的平方和就越大（为什么要数据减去平均数后，再平方一下呢？因为再平方一下就能使数据与平均数之间的距离更激凸，更能看得明显，就像ps中加强画面的颜色对比度一样），方差也越大。而当数据分布比较集中时，方差就小。 所以，方差越大，数据的波动就越大；方差越小，表明数据的波动就越小。
你有两个芭蕾舞剧团（各8人），演员身高cm分别是：
哪一个芭蕾舞团演员的身高更整齐呢？我们就用方差来计算看 首先，两个剧团演员的平均身高要知道： [x]甲=165，[x]乙=166 然后，方差公式： s^2甲=[(163-165) ^2+(164-165) ^2+…+(167-165) ^2]/8=1.5 s^2乙=[(163-166) ^2+(165-166) ^2+…+(168-166) ^2]/8=2.5 甲团的方差比乙团要小，所以甲团的演员身高更整齐。
你对甲乙两个品种的玉米，各用10块试验田进行试验，产量数据如下：
哪个品种的产量和产量稳定性更好呢？我们先看它们各自的平均产量是多少： [x]甲=7.54，[x]乙=7.52。说明甲乙两个品种的平均产量相差不大。那么稳定性哪个更好呢？用方差来算： s^2甲=[(7.65-7.54) ^2+(7.5-7.54) ^2+…+(7.62-7.54) ^2]/10=0.011 s^2乙=[(7.55-7.52) ^2+(7.56-7.52) ^2+…+(7.49-7.52) ^2]/10=0.00198 可见，乙品种的方差（波动）更小，乙玉米的产量更稳定。
Excel中的方差函数有两个： = VAR(A1:D4)。是估算基于给定样本的方差。 =VARP(A1:D4)。是计算基于给定样本总体的方差。 VAR代表样本的一部分，而VARP则代表样本总体。VAR假设其参数是样本总体中的样本，如果数据为样本总体，则应使用函数VARP 来计算方差。比如一台机器一共生产了100件产品，如果取十个做试验就用VAR，如果全取100件做试验就用VARP。
除了用极差和方差来衡量数据的波动情况外，统计中还常用平均差和标准差来衡量数据波动。
4．平均差、标准差： 平均差（用A.D.或M.D.表示）：就是一组数据与其平均数的差的绝对值的平均数。平均差是一种平均离差，离差是总体各单位的标志值与算术平均数之差。因离差和为零，离差的平均数不能将离差和除以离差的个数求得，而必须讲离差取绝对数来消除正负号。 =[|x1-[x]| + |x2-[x]| +…+|xn-[x]|] /n
先数据减去平均数的差，把它取绝对值，再全加起来求和，再平均数。 平均差和方差的区别，仅仅在于求和平均前，方差是取二次方，平均差取绝对值。 →方差：s^2=[ (x1-[x])^2 + (x2-[x])^2 + … + (xn-[x])^2]/n →平均差：=[|x1-[x]| + |x2-[x]| +…+|xn-[x]|] /n
标准差（用σ表示，念作sigma，大写是Σ）：标准差是方差的算术平方根，即：s=
标准差广泛运用在股票以及共同基金投资风险的衡量上，根据基金净值于一段时间内波动的情况计算。标准差愈大，表示净值的涨跌较剧烈，风险程度也较大。
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