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高中人教A版数学选修2-1测试题 一、选择题 1．方程x＝1－4y所表示的曲线是( ) A．双曲线的一部分 B．椭圆的一部分 C．圆的一部分 D．直线的一部分 2．若抛物线的准线方程为x＝－7，则抛物线的标准方程为( ) 22 A．x＝－28y B．x＝28y 22 C．y＝－28x D．y＝28x x2y2 3．双曲线22＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( ) ab 3 A．2 B.3 C.2 D.2→1→ 4．已知点A(4,1,3)、B(2，－5,1)，C为线段AB上一点，且AC＝AB，则C点坐标为( ) 3 15?7?8?A.?， B.?，－3，2? 22??2?3? 773?105 C.?1， D. 3?22??3?25．已知a、b为不等于0>1是a>b的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 6．已知灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处．已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm，则光源到反光镜顶点的距离是( ) A．11.25 cm B．5.625 cm C．20 cm D．10 cm 7．已知椭圆x＝a(a>0)与以A(2,1)，B(4,3)为端点的线段没有公共点，则a的取 2 值范围是( ) 323282 A．0<a B．0<a<或a>22213282 C．0<aa<322 8．P是双曲线＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)＋y＝4和(x－5)＋y＝1 916 上的点，则|PM|－|PN|的最大值为( ) A．6 B．7 C．8 D．9 9．下列四个结论中正确的个数为( ) 22 ①命题“若x<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x>1或x<－1，则x>1”； 22 ②已知p：?x∈R，sin x≤1，q：若a<b，则am<bm，则p∧q为真命题； 22 ③命题“?x∈R，x－x>0”的否定是“?x∈R，x－x≤0”； 2 ④“x>2”是“x>4”的必要不充分条件． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10. 2 ab y2 2 x2y2 2222 如图所示，已知PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD＝AB，M是PA的中点，则二面角M—DC—A的大小为( ) 2ππA.33ππC.46 2x 11．已知命题P：函数y＝log0.5(x＋2x＋a)的值域为R；命题Q：函数y＝－(5－2a)是R上的减函数．若P或Q为真命题，P且Q为假命题，则实数a的取值范围是( ) A．a≤1 B．a<2 C．1<a<2 D．a≤1或a≥2 12. →→ 三棱锥A—BCD中，AB＝AC＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则AB·CD等于( ) A．－2 B．2 C．－3 D．3 二、填空题 →→ 13．已知点A(1,2,3)和点B(3,2,1)，若点M满足AM＝MB，则M的坐标为__________． 2 14．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝4x上的点P到该抛物线的焦点的距离为6，则点P的横坐标x＝________. x2y2→→ 15．已知F1、F2是椭圆C22＝1 (a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1⊥PF2. ab 若△PF1F2的面积为9，则b＝________. →→ 16．正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E、F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若EF＋λA1D＝0 (λ∈R)，则λ＝________. 三、解答题 222 17．已知p：x－12x＋20<0，q：x－2x＋1－a>0 (a>0)．若綈q是綈p的充分条件，求a的取值范围． 18． 如图，M是抛物线y＝x上的一个定点，动弦ME、MF分别与x轴交于不同的点A、B，且|MA|＝|MB|.证明：直线EF的斜率为定值． →→→→ 19.已知两点M(－1,0)、N(1,0)，动点P(x，y)满足|MN|·|NP|－MN·MP＝0， (1)求点P的轨迹C的方程； →→ (2)假设P1、P2是轨迹C上的两个不同点，F(1,0)，λ∈R，FP1＝λFP2，求证： 2 11??1 FP1FP2 20． 如图所示，已知直线l：y＝kx－2与抛物线C：x＝－2py (p>0)交于A，B两点，O为坐 →→ 标原点，OA＋OB＝(－4，－12)． (1)求直线l和抛物线C的方程； (2)抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积的最大值． 2 2 21.命题p：关于x的不等式x＋2ax＋4>0，对一切x∈R恒成立，命题q：指数函数f(x) x ＝(3－2a)是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围． 22． 如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的点为M，AC⊥BC，且AC＝BC. (1)求证：AM⊥平面EBC； (2)求二面角A—EB—C的大小． 高中人教A版数学选修2-1测试题答案 一、选择题 22 1．B [x＝1－4y，∴x＋4y＝1 (x≥0)． 即x＋1 (x≥0)．] 14 2．D 2 y2 b222 3．C [2＝1，∴a＝b，∴c＝2a， a c2a∴e＝2.] aa → 4．C [设C(x，y，z)，则AC＝(x－4，y－1，z－3)． →→1→又AB＝(－2，－6，－2)，AC＝AB， 31 ∴(x－4，y－1，z－3)＝(－2，－6，－2)， 3 7107?10 得x＝，y＝－1，z＝.∴C?1，.] 3?33?3 5．D [如取a＝－3，b＝－2，满足>1，但不满足a>b.反过来取a＝1，b＝－5，满足 ab a a>b，但不满足>1，故答案为D.] b 2 6．B [设抛物线的标准方程为y＝2px (p>0)， 45 则抛物线过点(40,30)，∴900＝80p，∴p＝， 4 p45 ∴光源到反光镜顶点的距离d＝＝ 28 ＝5.625 (cm)．] 1232 7．B [分两种情况：(1)A点在椭圆外，4＋>a，解得0<a<(2)B点在椭圆内，16 229282 ＋a，解得a>22 8．D [设双曲线的两个焦点分别是F1(－5,0)与F2(5，0)，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝6＋3＝9.] 9．B [只有③中结论正确．] 10．C [二面角M—DC—A的平面角为∠MDA.] 22 11．C [由函数y＝log0.5(x＋2x＋a)的值域为R知：内层函数u(x)＝x＋2x＋a恰好取 x 遍(0，＋∞)内的所有实数?Δ＝4－4a≥0?a≤1；即P?a≤1；同样由y＝－(5－2a)是减函数?5－2a>1，即Q?a<2；由P或Q为真，P且Q为假知，P与Q中必有一真一假．故答案为C.] 12．A 二、填空题 13．(2,2,2) 14．5 2 解析 抛物线y＝4x的准线方程为x＝－1，根据抛物线的定义，点P到准线的距离也为6，所以点P的横坐标x＝5. 15．3 |PF1|＋|PF2|＝2a解析 由已知，得??|PF1|·|PF2|＝18? ， ∴|PF1|＋|PF2|＋36＝4a. 222又|PF1|＋|PF2|＝4c， 22∴4a－4c＝36，∴b＝3. 116．－ 2 222 解析 如图，连结A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上易知 1EF綊A1D， 2 →1→∴EF＝A1D， 2 1→1→即EF－A1D＝0，∴λ＝－. 22 三、解答题 17．解 p：{x|2<x<10}，q：{x|x<1－a，或x>1＋a}． 由綈q?綈p，得p?q，于是1＋a<2， ∴0<a<1. 218．解 设M(y0，y0)，直线ME的斜率为k(k>0)， 则直线MF的斜率为－k，直线ME的方程为 y－y0＝k(x－y2 0)． 2??y－y0＝k?x－y0?由?2 ?y＝x? 2得ky－y＋y0(1－ky0)＝0. y0?1－ky0?于是y0·yE k 1－ky01＋ky0所以yE.同理可得yF＝k－k yE－yFyE－yF11∴kEF＝22 xE－xFyE－yFyE＋yF2y0 即直线EF的斜率为定值． →→19．解 (1)| MN|＝2，则MP＝(x＋1，y)， →NP＝(x－1，y)． →→→→由|MN|·|NP|－MN·MP＝0， 22则2?x－1?＋y－2(x＋1)＝0， 2化简整理得y＝4x. →→(2)由FP1＝λ·FP2，得F、P1、P2三点共线， 设P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，斜率存在时，直线P1P2的方程为：y＝k(x－1) 22222代入y＝4x得：kx－2(k＋2)x＋k＝0. 22k＋4则x1x2＝1，x1＋x2＝2. k 7 ∴ ＝＝11＋x1＋1x2＋1x1＋x2＋2＝1. x1x2＋?x1＋x2?＋1 当P1P2垂直x轴时，结论照样成立． y＝kx－2，220．解 (1)由?2得x＋2pkx－4p＝0. ?x＝－2py，? 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2pk， y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝－2pk2－4. →→因为OA＋OB＝(x1＋x2，y1＋y2) 2＝(－2pk，－2pk－4)＝(－4，－12)， －2pk＝－4，?p＝1，所以? 解得? 2?－2pk－4＝－12.?k＝2.?? 2所以l的方程为y＝2x－2，抛物线C的方程为x＝－2y. (2)设P(x0，y0)，依题意，抛物线过点P的切线与l平行时，△ABP的面积最大，y′＝－x， 12所以－x0＝2?x0＝－2，y0＝－x0＝－2， 2 所以P(－2，－2)． 此时点P到直线l的距离 |2·?－2?－?－2?－2|445d＝＝， 2252＋?－1?5 由??y＝2x－2，? x＝－2y， 22 得x＋4x－4＝0， 22|AB|1＋k?x1＋x2?－4x1·x2 22＝1＋2·?－4?－4×?－4?＝410. 5410·5∴△ABP面积的最大值为＝2. 2 2221．解 设g(x)＝x＋2ax＋4，由于关于x的不等式x＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立， 所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点， 2故Δ＝4a－16<0， ∴－2<a<2. x函数f(x)＝(3－2a)是增函数，则有3－2a>1，即a<1. 又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假． －2<a<2，(1)若p真q假，则?∴1≤a<2. ?a≥1，? a≤－2或a≥2，(2)若p假q真，则???a<1， ∴a≤－2. 综上可知，所求实数a的取值范围为{a|1≤a<2或a≤－2}． 22．(1)证明 ∵四边形ACDE是正方形， ∴EA⊥AC，AM⊥EC， ∵平面ACDE⊥平面ABC， ∴EA⊥平面ABC， 8 ∴可以以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以直线AC和AE为y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 设EA＝AC＝BC＝2，则 A(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,0,2)， 又M是正方形ACDE的对角线的交点， →∴M(0,1,1)，AM＝(0,1,1)， →EC＝(0,2,0)－(0,0,2)＝(0,2，－2)， →CB＝(2,2,0)－(0,2,0)＝(2,0,0)， →→→→∴AM·EC＝0，AM·CB＝0， ∴AM⊥EC，AM⊥CB，∴AM⊥平面EBC. (2)解 设平面EAB的法向量为n＝(x，y，z)， →→则n⊥AE且n⊥AB， →→∴n·AE＝0且n·AB＝0. 0，0，2?·?x，y，z?＝0，?z＝0，?∴ 即? ??2，2，0?·?x，y，z?＝0.?x＋y＝0.?? 取y＝－1，则x＝1，则n＝(1，－1,0)． →→→又∵AM为平面EBC的一个法向量，且AM＝(0,1,1)，∴cos〈n，AM〉＝ 1－ 2 设二面角A—EB—C的平面角为θ， 1→则cos θ＝|cos〈n，AM〉|＝ 2 ∴二面角A—EB—C为60°. ＝ 9 转载请保留出处，http://www./doc/info-8d149cd42b160b4e767fcfe1.html |
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