高考数学基础知识汇总 第一部分 集合 (1)含n个元素的集合的子集数为2^n,真子集数为2^n-1;非空真子集的数为2^n-2; (2) 注意:讨论的时候不要遗忘了 的情况。 (3) 第二部分 函数与导数 1.映射:注意 ①第一个集合中的元素必须有象;②一对一,或多对一。 2.函数值域的求法:①分析法 ;②配方法 ;③判别式法 ;④利用函数单调性 ; ⑤换元法 ;⑥利用均值不等式 ; ⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距离、绝对值的意义等);⑧利用函数有界性( 、 、 等);⑨导数法 3.复合函数的有关问题 (1)复合函数定义域求法: ① 若f(x)的定义域为〔a,b〕,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域。 (2)复合函数单调性的判定: ①首先将原函数 分解为基本函数:内函数 与外函数 ; ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性; ③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 注意:外函数 的定义域是内函数 的值域。 4.分段函数:值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论。 5.函数的奇偶性 ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件; ⑵ 是奇函数 ; ⑶ 是偶函数 ; ⑷奇函数 在原点有定义,则 ; ⑸在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性; (6)若所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判断其奇偶性; 6.函数的单调性 ⑴单调性的定义: ① 在区间 上是增函数 当 时有 ; ② 在区间 上是减函数 当 时有 ; ⑵单调性的判定 1 定义法: 注意:一般要将式子 化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断符号; ②导数法(见导数部分); ③复合函数法(见2 (2)); ④图像法。 注:证明单调性主要用定义法和导数法。 7.函数的周期性 (1)周期性的定义: 对定义域内的任意 ,若有 (其中 为非零常数),则称函数 为周期函数, 为它的一个周期。 所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期。 (2)三角函数的周期 ① ;② ;③ ; ④ ;⑤ ; ⑶函数周期的判定 ①定义法(试值) ②图像法 ③公式法(利用(2)中结论) ⑷与周期有关的结论 ① 或 的周期为 ; ② 的图象关于点 中心对称 周期为2 ; ③ 的图象关于直线 轴对称 周期为2 ; ④ 的图象关于点 中心对称,直线 轴对称 周期为4 ; 8.基本初等函数的图像与性质 ⑴幂函数: ( ;⑵指数函数: ; ⑶对数函数: ;⑷正弦函数: ; ⑸余弦函数: ;(6)正切函数: ;⑺一元二次函数: ; ⑻其它常用函数: 1 正比例函数: ;②反比例函数: ;特别的 2 函数 ; 9.二次函数: ⑴解析式: ①一般式: ;②顶点式: , 为顶点; ③零点式: 。 ⑵二次函数问题解决需考虑的因素: ①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号。 ⑶二次函数问题解决方法:①数形结合;②分类讨论。 10.函数图象: ⑴图象作法 :①描点法 (特别注意三角函数的五点作图)②图象变换法③导数法 ⑵图象变换: 1 平移变换:ⅰ ,2 ———“正左负右” ⅱ ———“正上负下”; 3 伸缩变换: ⅰ , ( ———纵坐标不变,横坐标伸长为原来的 倍; ⅱ , ( ———横坐标不变,纵坐标伸长为原来的 倍; 4 对称变换:ⅰ ;ⅱ ; ⅲ ; ⅳ ; 5 翻转变换: ⅰ ———右不动,右向左翻( 在 左侧图象去掉); ⅱ ———上不动,下向上翻(| |在 下面无图象); 11.函数图象(曲线)对称性的证明 (1)证明函数 图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上; (2)证明函数 与 图象的对称性,即证明 图象上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点在 的图象上,反之亦然; 注: ①曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为:f(2a-x,2b-y)=0; ②曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=a的对称曲线C2方程为:f(2a-x, y)=0; ③曲线C1:f(x,y)=0,关于y=x+a(或y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0); ④f(a+x)=f(b-x) (x∈R) y=f(x)图像关于直线x= 对称; 特别地:f(a+x)=f(a-x) (x∈R) y=f(x)图像关于直线x=a对称; ⑤函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x= 对称; 12.函数零点的求法: ⑴直接法(求 的根);⑵图象法;⑶二分法. 13.导数 ⑴导数定义:f(x)在点x0处的导数记作 ; ⑵常见函数的导数公式: ① ;② ;③ ; ④ ;⑤ ;⑥ ;⑦ ; ⑧ 。 ⑶导数的四则运算法则: ⑷(理科)复合函数的导数: ⑸导数的应用: ①利用导数求切线:注意:ⅰ所给点是切点吗?ⅱ所求的是“在”还是“过”该点的切线? ②利用导数判断函数单调性: ⅰ 是增函数;ⅱ 为减函数; ⅲ 为常数; ③利用导数求极值:ⅰ求导数 ;ⅱ求方程 的根;ⅲ列表得极值。 ④利用导数最大值与最小值:ⅰ求的极值;ⅱ求区间端点值(如果有);ⅲ得最值。 14.(理科)定积分 ⑴定积分的定义: ⑵定积分的性质:① ( 常数); ② ; ③ (其中 。 ⑶微积分基本定理(牛顿—莱布尼兹公式): ⑷定积分的应用:①求曲边梯形的面积: ; 3 求变速直线运动的路程: ;③求变力做功: 。 第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形 1.⑴角度制与弧度制的互化: 弧度 , 弧度, 弧度 ⑵弧长公式: ;扇形面积公式: 。 2.三角函数定义:角 中边上任意一点 为 ,设 则: 3.三角函数符号规律:一全正,二正弦,三两切,四余弦; 4.诱导公式记忆规律:“函数名不(改)变,符号看象限”; 5.⑴ 对称轴: ;对称中心: ; ⑵ 对称轴: ;对称中心: ; 6.同角三角函数的基本关系: ; 7.两角和与差的正弦、余弦、正切公式:① ② ③ 。 8.二倍角公式:① ; ② ;③ 。 9.正、余弦定理: ⑴正弦定理: ( 是 外接圆直径 ) 注:① ;② ;③ 。 ⑵余弦定理: 等三个;注: 等三个。 10。几个公式: ⑴三角形面积公式: ; ⑵内切圆半径r= ;外接圆直径2R= 11.已知 时三角形解的个数的判定: 第四部分 立体几何 1.三视图与直观图:注:原图形与直观图面积之比为 。 2.表(侧)面积与体积公式: ⑴柱体:①表面积:S=S侧+2S底;②侧面积:S侧= ;③体积:V=S底h ⑵锥体:①表面积:S=S侧+S底;②侧面积:S侧= ;③体积:V= S底h: ⑶台体:①表面积:S=S侧+S上底S下底;②侧面积:S侧= ;③体积:V= (S+ )h; ⑷球体:①表面积:S= ;②体积:V= 。 3.位置关系的证明(主要方法): ⑴直线与直线平行:①公理4;②线面平行的性质定理;③面面平行的性质定理。 ⑵直线与平面平行:①线面平行的判定定理;②面面平行 线面平行。 ⑶平面与平面平行:①面面平行的判定定理及推论;②垂直于同一直线的两平面平行。 ⑷直线与平面垂直:①直线与平面垂直的判定定理;②面面垂直的性质定理。 ⑸平面与平面垂直:①定义---两平面所成二面角为直角;②面面垂直的判定定理。 注:理科还可用向量法。 4.求角:(步骤-------Ⅰ。找或作角;Ⅱ。求角) ⑴异面直线所成角的求法: 1 平移法:平移直线,2 构造三角形; 3 ②补形法:补成正方体、平行六面体、长方体等,4 发现两条异面直线间的关系。 注:理科还可用向量法,转化为两直线方向向量的夹角。 ⑵直线与平面所成的角: ①直接法(利用线面角定义);②先求斜线上的点到平面距离h,与斜线段长度作比,得sin 。 注:理科还可用向量法,转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角。 ⑶二面角的求法: ①定义法:在二面角的棱上取一点(特殊点),作出平面角,再求解; ②三垂线法:由一个半面内一点作(或找)到另一个半平面的垂线,用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角,再求解; ③射影法:利用面积射影公式: ,其中 为平面角的大小; 注:对于没有给出棱的二面角,应先作出棱,然后再选用上述方法; 理科还可用向量法,转化为两个班平面法向量的夹角。 5.求距离:(步骤-------Ⅰ。找或作垂线段;Ⅱ。求距离) ⑴两异面直线间的距离:一般先作出公垂线段,再进行计算; ⑵点到直线的距离:一般用三垂线定理作出垂线段,再求解; ⑶点到平面的距离: ①垂面法:借助面面垂直的性质作垂线段(确定已知面的垂面是关键),再求解; 5 等体积法; 理科还可用向量法: 。 ⑷球面距离:(步骤) (Ⅰ)求线段AB的长;(Ⅱ)求球心角∠AOB的弧度数;(Ⅲ)求劣弧AB的长。 6.结论: ⑴从一点O出发的三条射线OA、OB、OC,若∠AOB=∠AOC,则点A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分线上; ⑵立平斜公式(最小角定理公式): ⑶正棱锥的各侧面与底面所成的角相等,记为 ,则S侧cos =S底; ⑷长方体的性质 ①长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为 则:cos2 +cos2 +cos2 =1;sin2 +sin2 +sin2 =2 。 ②长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为 则有cos2 +cos2 +cos2 =2;sin2 +sin2 +sin2 =1 。 ⑸正四面体的性质:设棱长为 ,则正四面体的: 1 高: ;②对棱间距离: ;③相邻两面所成角余弦值: ;④内切2 球半径: ;外接球半径: ; 第五部分 直线与圆 1.直线方程 ⑴点斜式: ;⑵斜截式: ;⑶截距式: ; ⑷两点式: ;⑸一般式: ,(A,B不全为0)。 (直线的方向向量:( ,法向量( 2.求解线性规划问题的步骤是: (1)列约束条件;(2)作可行域,写目标函数;(3)确定目标函数的最优解。 3.两条直线的位置关系: 4.直线系 5.几个公式 ⑴设A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),⊿ABC的重心G:( ); ⑵点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离: ; ⑶两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离是 ; 6.圆的方程: ⑴标准方程:① ;② 。 ⑵一般方程: ( 注:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆 A=C≠0且B=0且D2+E2-4AF>0; 7.圆的方程的求法:⑴待定系数法;⑵几何法;⑶圆系法。 8.圆系: ⑴ ; 注:当 时表示两圆交线。 ⑵ 。 9.点、直线与圆的位置关系:(主要掌握几何法) ⑴点与圆的位置关系:( 表示点到圆心的距离) ① 点在圆上;② 点在圆内;③ 点在圆外。 ⑵直线与圆的位置关系:( 表示圆心到直线的距离) ① 相切;② 相交;③ 相离。 ⑶圆与圆的位置关系:( 表示圆心距, 表示两圆半径,且 ) ① 相离;② 外切;③ 相交; ④ 内切;⑤ 内含。 10.与圆有关的结论: ⑴过圆x2+y2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为:x0x+y0y=r2; 过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为:(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2; ⑵以A(x1,y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0。 第六部分 圆锥曲线 1.定义:⑴椭圆: ; ⑵双曲线: ;⑶抛物线:略 2.结论 ⑴焦半径:①椭圆: (e为离心率); (左“+”右“-”); ②抛物线: ⑵弦长公式: ; 注:(Ⅰ)焦点弦长:①椭圆: ;②抛物线: =x1+x2+p= ;(Ⅱ)通径(最短弦):①椭圆、双曲线: ;②抛物线:2p。 ⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为: ( 同时大于0时表示椭圆, 时表示双曲线); ⑷椭圆中的结论: ①内接矩形最大面积 :2ab; ②P,Q为椭圆上任意两点,且OP 0Q,则 ; ③椭圆焦点三角形:<Ⅰ>. ,( );<Ⅱ>.点 是 内心, 交 于点 ,则 ; ④当点 与椭圆短轴顶点重合时 最大; ⑸双曲线中的结论: ①双曲线 (a>0,b>0)的渐近线: ; ②共渐进线 的双曲线标准方程为 为参数, ≠0); ③双曲线焦点三角形:<Ⅰ>. ,( );<Ⅱ>.P是双曲线 - =1(a>0,b>0)的左(右)支上一点,F1、F2分别为左、右焦点,则△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为 ; ④双曲线为等轴双曲线 渐近线为 渐近线互相垂直; (6)抛物线中的结论: ①抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB性质:<Ⅰ>. x1x2= ;y1y2=-p2; <Ⅱ>. ;<Ⅲ>.以AB为直径的圆与准线相切;<Ⅳ>.以AF(或BF)为直径的圆与 轴相切;<Ⅴ>. 。 ②抛物线y2=2px(p>0)内结直角三角形OAB的性质: <Ⅰ>. ; <Ⅱ>. 恒过定点 ; <Ⅲ>. 中点轨迹方程: ;<Ⅳ>. ,则 轨迹方程为: ;<Ⅴ>. 。 ③抛物线y2=2px(p>0),对称轴上一定点 ,则: <Ⅰ>.当 时,顶点到点A距离最小,最小值为 ;<Ⅱ>.当 时,抛物线上有关于 轴对称的两点到点A距离最小,最小值为 。 3.直线与圆锥曲线问题解法: ⑴直接法(通法):联立直线与圆锥曲线方程,构造一元二次方程求解。 注意以下问题: ①联立的关于“ ”还是关于“ ”的一元二次方程? ②直线斜率不存在时考虑了吗? ③判别式验证了吗? ⑵设而不求(代点相减法):--------处理弦中点问题 步骤如下:①设点A(x1,y1)、B(x2,y2);②作差得 ;③解决问题。 4.求轨迹的常用方法:(1)定义法:利用圆锥曲线的定义; (2)直接法(列等式);(3)代入法(相关点法或转移法);⑷待定系数法;(5)参数法;(6)交轨法。 第七部分 平面向量 ⑴设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则: ① a‖b(b≠0) a= b ( x1y2-x2y1=0; ② a⊥b(a、b≠0) a?b=0 x1x2+y1y2=0 . ⑵a?b=|a||b|cos<a,b>=x2+y1y2; 注:①|a|cos<a,b>叫做a在b方向上的投影;|b|cos<a,b>叫做b在a方向上的投影; 6 a?b的几何意义:a?b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos<a,b>的乘积。 ⑶cos<a,b>= ; ⑷三点共线的充要条件:P,A,B三点共线 ; 附:(理科)P,A,B,C四点共面 。 第八部分 数列 1.定义: ⑴等差数列 ; ⑵等比数列 ; 2.等差、等比数列性质 等差数列 等比数列 通项公式 前n项和 性质 ①an=am+ (n-m)d, ①an=amqn-m; ②m+n=p+q时am+an=ap+aq ②m+n=p+q时aman=apaq ③ 成AP ③ 成GP ④ 成AP, ④ 成GP, 等差数列特有性质: 1 项数为2n时:S2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n); ; ; 2 项数为2n-1时:S2n-1=(2n-1) ; ; ; 3 若 ;若 ; 若 。 3.数列通项的求法: ⑴分析法;⑵定义法(利用AP,GP的定义);⑶公式法:累加法( ; ⑷叠乘法( 型);⑸构造法( 型);(6)迭代法; ⑺间接法(例如: );⑻作商法( 型);⑼待定系数法;⑽(理科)数学归纳法。 注:当遇到 时,要分奇数项偶数项讨论,结果是分段形式。 4.前 项和的求法: ⑴拆、并、裂项法;⑵倒序相加法;⑶错位相减法。 5.等差数列前n项和最值的求法: ⑴ ;⑵利用二次函数的图象与性质。 第九部分 不等式 1.均值不等式: 注意:①一正二定三相等;②变形, 。 2.绝对值不等式: 3.不等式的性质: ⑴ ;⑵ ;⑶ ; ;⑷ ; ; ;⑸ ;(6) 。 4.不等式等证明(主要)方法: ⑴比较法:作差或作比;⑵综合法;⑶分析法。 第十部分 复数 1.概念: ⑴z=a+bi∈R b=0 (a,b∈R) z= z2≥0; ⑵z=a+bi是虚数 b≠0(a,b∈R); ⑶z=a+bi是纯虚数 a=0且b≠0(a,b∈R) z+ =0(z≠0) z2<0; ⑷a+bi=c+di a=c且c=d(a,b,c,d∈R); 2.复数的代数形式及其运算:设z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R),则: (1) z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i;⑵ z1.z2 = (a+bi)?(c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i;⑶z1÷z2 = (z2≠0) ; 3.几个重要的结论: ;⑶ ;⑷ ⑸ 性质:T=4; ; (6) 以3为周期,且 ; =0; (7) 。 4.运算律:(1) 5.共轭的性质:⑴ ;⑵ ;⑶ ;⑷ 。 6.模的性质:⑴ ;⑵ ;⑶ ;⑷ ; 第十一部分 概率 1.事件的关系: ⑴事件B包含事件A:事件A发生,事件B一定发生,记作 ; ⑵事件A与事件B相等:若 ,则事件A与B相等,记作A=B; ⑶并(和)事件:某事件发生,当且仅当事件A发生或B发生,记作 (或 ); ⑷并(积)事件:某事件发生,当且仅当事件A发生且B发生,记作 (或 ) ; ⑸事件A与事件B互斥:若 为不可能事件( ),则事件A与互斥; (6)对立事件: 为不可能事件, 为必然事件,则A与B互为对立事件。 2.概率公式: ⑴互斥事件(有一个发生)概率公式:P(A+B)=P(A)+P(B); ⑵古典概型: ; ⑶几何概型: ; 第十二部分 统计与统计案例 1.抽样方法 ⑴简单随机抽样:一般地,设一个总体的个数为N,通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n的样本,且每个个体被抽到的机会相等,就称这种抽样为简单随机抽样。 注:①每个个体被抽到的概率为 ; ②常用的简单随机抽样方法有:抽签法;随机数法。 ⑵系统抽样:当总体个数较多时,可将总体均衡的分成几个部分,然后按照预先制定的 规则,从每一个部分抽取一个个体,得到所需样本,这种抽样方法叫系统抽样。 注:步骤:①编号;②分段;③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号 ; ④按预先制定的规则抽取样本。 ⑶分层抽样:当已知总体有差异比较明显的几部分组成时,为使样本更充分的反映总体的情况,将总体分成几部分,然后按照各部分占总体的比例进行抽样,这种抽样叫分层抽样。 注:每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数 2.总体特征数的估计: ⑴样本平均数 ; ⑵样本方差 ; ⑶样本标准差 = ; 3.相关系数(判定两个变量线性相关性): 注:⑴ >0时,变量 正相关; <0时,变量 负相关; ⑵① 越接近于1,两个变量的线性相关性越强;② 接近于0时,两个变量之间几乎不存在线性相关关系。 4.回归分析中回归效果的判定: ⑴总偏差平方和: ⑵残差: ;⑶残差平方和: ;⑷回归平方和: - ;⑸相关指数 。 注:① 得知越大,说明残差平方和越小,则模型拟合效果越好; ② 越接近于1,,则回归效果越好。 5.独立性检验(分类变量关系): 随机变量 越大,说明两个分类变量,关系越强,反之,越弱。 第十四部分 常用逻辑用语与推理证明 1. 四种命题: ⑴原命题:若p则q; ⑵逆命题:若q则p; ⑶否命题:若 p则 q;⑷逆否命题:若 q则 p 注:原命题与逆否命题等价;逆命题与否命题等价。 2.充要条件的判断: (1)定义法----正、反方向推理; (2)利用集合间的包含关系:例如:若 ,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件; 3.逻辑连接词: ⑴且(and) :命题形式 p q; p q p q p q p ⑵或(or):命题形式 p q; 真 真 真 真 假 ⑶非(not):命题形式 p . 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 4.全称量词与存在量词 ⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等,用 表示; 全称命题p: ; 全称命题p的否定 p: 。 ⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等,用 表示; 特称命题p: ; 特称命题p的否定 p: ; 第十五部分 推理与证明 1.推理: ⑴合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有事实,经过观察、分析、比较、联想,在进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们称为合情推理。 ①归纳推理:由某类食物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者有个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理,简称归纳。 注:归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。 ②类比推理:由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,称为类比推理,简称类比。 注:类比推理是特殊到特殊的推理。 ⑵演绎推理:从一般的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理叫演绎推理。 注:演绎推理是由一般到特殊的推理。 “三段论”是演绎推理的一般模式,包括: ⑴大前提---------已知的一般结论; ⑵小前提---------所研究的特殊情况; ⑶结 论---------根据一般原理,对特殊情况得出的判断。 二.证明 ⒈直接证明 ⑴综合法 一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。 ⑵分析法 一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等),这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。 2.间接证明------反证法 一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这种证明方法叫反证法。 附:数学归纳法(仅限理科) 一般的证明一个与正整数 有关的一个命题,可按以下步骤进行: ⑴证明当 取第一个值 是命题成立; ⑵假设当 命题成立,证明当 时命题也成立。 那么由⑴⑵就可以判定命题对从 开始所有的正整数都成立。 这种证明方法叫数学归纳法。 注:①数学归纳法的两个步骤缺一不可,用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行; 3 的取值视题目而4 定,5 可能是1,6 也可能是2等。 第十六部分 理科选修部分 1. 排列、组合和二项式定理 ⑴排列数公式: =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= (m≤n,m、n∈N*),当m=n时为全排列 =n(n-1)(n-2)…3.2.1=n!; ⑵组合数公式: (m≤n), ; ⑶组合数性质: ; ⑷二项式定理: ①通项: ②注意二项式系数与系数的区别; ⑸二项式系数的性质: ①与首末两端等距离的二项式系数相等;②若n为偶数,中间一项(第 +1项)二项式系数最大;若n为奇数,中间两项(第 和 +1项)二项式系数最大; ③ (6)求二项展开式各项系数和或奇(偶)数项系数和时,注意运用赋值法。 2. 概率与统计 ⑴随机变量的分布列: ①随机变量分布列的性质:pi≥0,i=1,2,…; p1+p2+…=1; ②离散型随机变量: X x1 X2 … xn … P P1 P2 … Pn … 期望:EX= x1p1 + x2p2 + … + xnpn + … ; 方差:DX= ; 注: ; ③两点分布: X 0 1 期望:EX=p;方差:DX=p(1-p). P 1-p p 4 超几何分布: 一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则 其中, 。 称分布列 X 0 1 … m P … 为超几何分布列, 称X服从超几何分布。 ⑤二项分布(独立重复试验): 若X~B(n,p),则EX=np, DX=np(1- p);注: 。 ⑵条件概率:称 为在事件A发生的条件下,事件B发生的概率。 注:①0 P(B|A) 1;②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。 ⑶独立事件同时发生的概率:P(AB)=P(A)P(B)。 ⑷正态总体的概率密度函数: 式中 是参数,分别表示总体的平均数(期望值)与标准差; (6)正态曲线的性质: ①曲线位于x轴上方,与x轴不相交;②曲线是单峰的,关于直线x= 对称; ③曲线在x= 处达到峰值 ;④曲线与x轴之间的面积为1; 5 当 一定时,6 曲线随 质的变化沿x轴平移; 7 当 一定时,8 曲线形状由 确定: 越大,9 曲线越“矮胖”,10 表示总体分布越集中; 越小,曲线越“高瘦”,表示总体分布越分散。 注:P =0.6826;P =0.9544 知识点总结 相似三角形的判定及有关性质 相似三角形的定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 相似三角形的预备定理:如果一条直线平行于三角形的一条边,且这条直线与原三角形的两条边(或其延长线)分别相交,那么所构成的三角形与原三角形相似。 判定定理1:两角对应相等,两三角形相似。 判定定理2:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似。 判定定理3:三边对应成比例,两三角形相似。 直角三角形相似的判定定理:斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角形相似。 相似三角形的性质: 相似三角形对应角相等,对应边成比例 相似三角形具有传递性 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 相似三角形周长的比等于相似比 相似三角形面积比等于相似比的平方 直线和圆的位置关系 1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点,即把圆的方程和直线的方程联立成方程组,利用判别式Δ来讨论位置关系. ①Δ>0,直线和圆相交.②Δ=0,直线和圆相切.③Δ<0,直线和圆相离. 方法二是几何的观点,即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较. ①d<R,直线和圆相交.②d=R,直线和圆相切.③d>R,直线和圆相离. 2.直线和圆相切,这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况,而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况. 3.直线和圆相交,这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题. 切线的性质 ⑴圆心到切线的距离等于圆的半径;⑵过切点的半径垂直于切线;⑶经过圆心,与切线垂直的直线必经过切点;⑷经过切点,与切线垂直的直线必经过圆心;当一条直线满足(1)过圆心;(2)过切点;(3)垂直于切线三个性质中的两个时,第三个性质也满足. 切线的判定定理 经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线长定理 从圆外一点作圆的两条切线,两切线长相等,圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角. 圆锥曲线性质的探讨 一、圆锥曲线的定义 1. 椭圆:到两个定点的距离之和等于定长(定长大于两个定点间的距离)的动点的轨迹叫做椭圆。即:{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。 2. 双曲线:到两个定点的距离的差的绝对值为定值(定值小于两个定点的距离)的动点轨迹叫做双曲线。即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。 3. 圆锥曲线的统一定义:到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0<E<1< SPAN>时为椭圆:当e=1时为抛物线;当e>1时为双曲线。 二、圆锥曲线的方程 1.椭圆: + =1(a>b>0)或 + =1(a>b>0)(其中,a2=b2+c2) 2.双曲线: - =1(a>0, b>0)或 - =1(a>0, b>0)(其中,c2=a2+b2) 3.抛物线:y2=±2px(p>0),x2=±2py(p>0) 三、圆锥曲线的性质 1.椭圆: + =1(a>b>0) (1)范围:|x|≤a,|y|≤b(2)顶点:(±a,0),(0,±b)(3)焦点:(±c,0)(4)离心率:e= ∈(0,1)(5)准线:x=± 2.双曲线: - =1(a>0, b>0)(1)范围:|x|≥a, y∈R(2)顶点:(±a,0)(3)焦点:(±c,0)(4)离心率:e= ∈(1,+∞)(5)准线:x=± (6)渐近线:y=± x 3.抛物线:y2=2px(p>0)(1)范围:x≥0, y∈R(2)顶点:(0,0)(3)焦点:( ,0)(4)离心率:e=1(5)准线:x=- 【典型例题】 [例1] 如图△ABC中,∠C,∠B的平分线相交于O,过O作AO的垂线与边AB、AC分别交于D、E,求证:△BDO∽△BOC∽△OEC。 证明:易得AO平分∠BAC,AO⊥DE ∴ ∠ADO=∠AEO ∴ ∠BDO=∠CEO 又∠BDO=90°+ ∠BAC ∠BOC=180°- (∠ABC+∠ACB) =90°+ ∠BAC∴ ∠BDO=∠BOC 又∠DBO=∠OBC ∴ △BDO∽△BOC 同理△ECO∽△OCB∴ △BDO∽△BOC∽△OEC [例2] △ABE中,D、C为AB上两点,AC=AE, ,求证:EC平分∠DEB。 证明:∵ AE=AC ∴ 即 又∵∠A=∠A ∴ △EAD∽△BAE ∴ ∠1=∠B ∵ AE=AC ∴ ∠1+∠2=∠ACE 又∵∠3+∠B=∠ACE ∴ ∠2=∠3∴ EC平分∠DEB [例3] 已知:D、E分别在△ABC的边AC和AB上,BD与CE交于F,其中AE=BE, , ,求 。 证明:取AD中点N,连结EN ∴ EN BD ∴ ∴ ∵ ∴ × = ∵ = ∴ = = =11 [例4]如图,直角梯形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD‖BC,E为AB上一点,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD,以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系? 解:以AB为直径的圆与CD是相切关系 如图,过E作EF⊥CD,垂足为F. ∵∠A=∠B=90°,∴EA⊥AD,EB⊥BC,∵DE平分∠ADC,CE平分∠BCD,∴ .∴以AB为直径的圆的圆心为E,且 ,∴以AB为直径的圆与边CD相切. [例5]已知:ΔABC内接于⊙O,过点A作直线EF. ⑴如图甲,AB为直径,要使得EF是⊙O的切线,还需添加的条件是(只需写出三种情况): ①________; ②_________;③_________. ⑵如图乙,AB为非直径的弦,∠CAE=∠B,求证:EF是⊙O的切线. 解:⑴①∠FAB=90°.②∠B=∠EAC.③∠BAE=90°. ⑵连结AO并延长交⊙O于D,连结CD. ∵AD为⊙O的直径,∴∠ACD=90°,∴∠D+∠CAD=90°. ∵∠D=∠B,∠B=∠CAE,∴∠CAE+∠CAD=90°,即OA⊥EF. 又∵EF经过半径OA的外端A,∴EF为⊙O的切线. [例6]如图所示,AB=AC,以AB为直径作⊙O,交BC于点D,交AC于点E,过点D作⊙O的切线DF,交AC于F,求证:(1)DF⊥AC,(2)FC=FE. 证明:(1)连结OD,AD.∵ DF为⊙O的切线, ∴ OD⊥DF(切线的性质定理).又∵ AB为⊙O的直径,∴ AD⊥BC.又∵ AB=AC,∴D为BC中点. ∵O为AB中点,∴ ∴ DF⊥AC. (2)连结DE.则∠DEC=∠B(圆内接四边形的性质),又∵ AB=AC,∴∠B=∠C. ∴∠DEC=∠C,∴ DE=DC.又∵ DF⊥AC,∴ FC=EF(等腰三角形的性质) [例7]如图:椭圆 + =1(a>b>0),F1为左焦点,A、B是两个顶点,P为椭圆上一点,PF1⊥x轴,且PO//AB,求椭圆的离心率e。 解:设椭圆的右焦点为F2,由第一定义:|PF1|+|PF2|=2a, ∵ PF1⊥x轴,∴ |PF1|2+|F1F2|2=|PF2|2, 即(|PF2|+|PF1|)(|PF2|-|PF1|)=4c2, ∴ |PF1|= 。∵ PO//AB,∴ ΔPF1O∽ΔBOA, ∴ = c=b a= c, ∴ e= = 。 [例8] 已知 、 是椭圆 ( )长轴的两个端点, 是与 垂直的弦.求直线 与 的交点M的轨迹方程. 解 如图,由已知 轴,可设 、 .设动点M( ).∵ ( ,0)、 ( ,0)∴ 方程为 方程为 把上面两个等式左、右分别相乘,可得: 而P ( )又在椭圆上, 即 ,变形为 即 ,代入,可得M点轨迹方程为: . [例9] 已知椭圆 ,A(1,1),过A的直线 交椭圆于P、Q两点,若 ,求直线 的方程. 解:设P( , ),Q( , )∵ ,由定比分点公式得: ∵ P、Q在椭圆上 ∴ 整理得 解得 或 ∴ 直线PQ的方程为 或 |
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