数学破题36计第10计 聋子开门 慧眼识钟

第10计   聋子开门   慧眼识钟

●计名释义

一群人到庙里上香，其中有一个聋子，还有一个小孩.

上香完毕，发现小孩不见了.半天找不到影子后，大家来“问”这聋子.聋子把手一指，发现小孩藏在大钟底下，而且还在用手拍钟.大家奇怪，连我们都没有听见小孩拍钟的声音，聋子怎么听着了呢？

其实，大伙把事情想错了，聋子哪里听到了钟声，只是凭着他的亮眼，发现大钟底下是好藏小孩的地方.

聋子的直觉感往往超过常人.数学家黎曼是个聋子，据说，他所以能创立他的黎曼几何，主要受益于他的超人的直觉看图.

为了增强直觉思维，建议大家在解数学题时，不妨装装聋子，此时，难题的入口处，可能闪出耀眼的灯光.

●典例示范

【例1】   若(1-2x)²⁰⁰⁸ = a₀+a₁x+a₂x²+…+ax²⁰⁰⁸(x∈R), 则

(a₀+a₁)+(a₀+a₂)+(a₀+a₃)+…+(a₀+a₂₀₀₈)=                  (用数字作答)

【思考】   显然a₀=1, 且当x=1时，a₀+a₁+…+a₂₀₀₈=1, ∴原式=2008a₀+a₁+a₂+…+a₂₀₀₈=2007+(a₀+a₁+…a₂₀₀₈)=2007+1=2008.

【点评】   本例的易错点是：必须将2008a₀拆成2007a₀+a₀,否则若得出2008+1=2009就错了.

 

【例2】   对于定义在R上的函数f (x)，有下述命题：①若f (x)是奇函数，则f (x-1)的图象关于点A（1，0）对称；②若对x∈R, 有f (x+1)= f (x-1), 则f (x)的图象关于直线x=1对称；③若函数f (x-1)的图象关于直线x=1对称，则f (x)是偶函数；④函数f (1+x)与f (1-x)的图象关于直线x=1对称.其中正确命题的序号为                 .

【思考】   奇函数的图象关于原点对称，原点右移一单位得（1，0），故f (x-1)的图象关于点A（1，0）对称，①正确；f (x)= f［(x+1)-1］= f (x+2)，只能说明f (x)为周期函数，②不对；f (x-1)右移一单位得f (x)直线x=1左移一单位得y轴，故f (x)的图象关于y轴对称，即为偶函数，③正确；④显然不对，应改为关于y轴对称.例如设f (x)=x, 则f (1+x)=1+x, f (1-x)=1-x,两图象关于y轴对称.

【点评】   本例的陷沟是：容易将f (1+x)与f (1-x)误认为f (1+x)=f (1-x)，这是容易鱼目混珠的地方, 而后者才是R上的函数f (x)的图象关于直线x=1对称的充要条件.

 

【例3】   关于函数f (x)=2^x-2^-x (x∈R).有下列三个结论：①f (x)的值域为R; ②f (x)是R上的增函数；③对任意x∈R, 都有f (x)+f (-x)=0成立，其中正确命题的序号是           (注：把你认为正确命题的序号都填上).

【解答】   由y(2^x)²-y·2^x-1=0.

关于2^x的方程中，恒有Δ=y²+4>0.        ∴y∈R   ①真.

∵y₁=2^x, y₂=都是R上的增函数，∴y=y₁+y₂=2^x-2也是R上的增函数，②真.

∵f (-x)=2-2^x = -(2^x-2)=-f (x),

∴当x∈R时，恒有f (x)+f (-x)=0（即f (x)为R上的奇函数)   ③真.

【点评】   高考试题中的小题，已出现了多项选择的苗头，其基本形式如本例所示，多选题中的正确答案可能都是，也可能不都是，还有可能都不是（这种形式多反映在选择题中，其正确答案为零个）.由于许多考生的思维定势是以为多选题只有“不都是”一种情况，往往难以相信“都是”或“都不是”.这也是这种题型的陷阱所在.

正确的对策：不受选项多少的干扰，只要你能证明某项必真则选，否则即不选.

本例是“全选”（即“都是”）的题型.

●对应训练

1.设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P_i (i=1,2,3,…),使|FP₁|，|FP₂|,|FP₃|,…,组成公差为d的等差数列，则d的取值范围是               .

●参考答案

1.椭圆中：a=, b=, c=1.

∴e =,设P_i的横坐标为x_i, 则|FP_i|=(7-x_i),  其中右准线x=7.

∵|FP_n|=|FP₁|+(n-1)d.        ∴d=

∵|x₁-x_n|≤2, ∴|d|≤.  已知n≥21, ∴|d|≤, 但d≠0.

∴d∈［-，0)∪(0，］.

点评：本题有两处陷沟，一是d≠0,  二是可以d<0, 解题时考生切勿疏忽.