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数学破题36计第13计 钥匙开门 各归各用

 时为舔 2015-10-11

13   钥匙开门   各归各用

●计名释义

开门的钥匙应有“个性”,如果你的钥匙有“通性”,则将把所有的邻居吓跑.

所有的知识具有个性,一切犯有“相混症”的人,都因没有把握知识的个性.

数学知识的根基是数学定义,它的个性在于,只有它揭示了概念的本质,介定了概念的范畴,在看似模糊的边缘,它能判定是与非.

定义本身蕴含着方法,由“线面垂直的定义直接导出线面垂直的判定定理,由椭圆的定义可直接导出椭圆方程.这里,判定定理也好,方程也好,只不过是其对应的定义在定义之外开设的一个“代办处”,当你的问题本身离定义很近时,何必要跑到遥远的地方去找“代办处”呢?由此,引出了“回归定义”的解题之说。

●典例示范

1      F1F2是椭圆的两个焦点,|F1F2|=2c椭圆上的点Px, y)F1-c, 0),  F2 (c, 0)的距离之和为2a求证:|PF1|=|PF2|=

分析      一定要搬动椭圆方程吗?这里的已知条件只有cb,而椭圆方程却有bc,搬动椭圆方程肯定是舍近求远.

解答      |PF1| |PF2|用距离公式,结合椭圆的定义得关于|PF1|= r1, |PF2|= r2的方程组

    -③消y2, x2c2    rr        

①,④联立,解得     |PF1|=  |PF2|=

点评   快捷,清晰,是因为此题的已知条件靠定义近,而离方程远.

 

2   设数列{an}的前n项和Sn=1+anlgb, 求使成立的b的取值范围.

思考   应首先分清{an}是什么数列,再根据数列的性质与极限的定义解题.

解答   a1=1+a1lgb, lgb=0, b =1时, a1=S1=1矛盾.

b1,于是a1=     an=(1+anlgb)-(1+an-1lgb).

an(1-lgb)=-an-1lgb, =为常数,{an}是首项为公比q=的无穷递缩等比数列(已知存在),∴q=(-1,0)(0,1).

>-1,   >0,  lgb<lgb>1,

<00<lgb<1,于是0<lgb<           b(1,)               

0<<1    b(0, 1)]                

综合①、②,取并集,所求b的取值范围为b(01)(1,).

 

3   某商场为了促销,当顾客购买商品的金额达到一定数量之后可通过抽奖的方法获奖,箱中有4只红球和3只白球,当抽到红球时奖励20元的商品,当抽到白球时奖励10元的商品(当顾客通过抽奖的方法确定了获奖商品后,即将小球全部放回箱中).

(1)当顾客购买金额超过500元而少于1000元时,可抽取3个小球,求其中至少有一个红球的概率;

(2)当顾客购买金额超过1000元时,可抽取4个小球,设他所获奖商品的金额为ξ(ξ=50,60

,70,80)元,求ξ的概率分布和期望.

思考   解本题不能不清楚与概率统计有关的概念与定义,否则即使知道有

关计算公式也无法准确解题,例如:

(1)随机事件A发生的概率0P(A)1, 其计算方法为P (A)=, 其中m n分别表示

事件A发生的次数和基本事件总数;

(2)不可能同时发生的事件称为互斥事件,由于A必有一个发生,故A既是互斥事件,又是对立事件,对立事件满足P(A)+P=1

(3)离散型随机变量的期望,Eξ=x1 p1+x2 p2++xn pn+, 这个概念的实质是加权平均数,期望反映了离散型随机变量的平均水平;

(4)离散型随机变量的方差Dξ=(x1-Eξ)2p1+(x2-Eξ)2p2++(xn - Eξ)2pn+…,方差反映了离散型随机变量发生的稳定性.

解答   (1)基本事件总数n=C=35, 设事件A={任取3球,至少有一个红球},则事件 ={任取3球,全是白球}.

A为对立事件,而Card=1(任取3球全是白球仅一种可能).

P()=,于是P (A)=1-P ()=

即该顾客任取3球,至少有一个红球的概率为 

(2)ξ=50表示所取4球为31(3×10+1×20=50),∴P (ξ=50)=

ξ=60表示所取4球为22(2×10+2×20=60), P (ξ=60)= 

ξ=70表示所取4球为31(3×20+1×10=70), P (ξ=70)=

ξ=80表示所取4球全为红球P (ξ=80)=  

于是ξ的分布列为:

ξ

50

60

70

80

P

Dξ=50×+60×+70×+80×=().

即该顾客获奖的期望是63().

●对应训练

1M为双曲线上任意一点, F1为左焦点, 求证:MF1为直径的圆与圆x2+y2= a2相切.

2求证:以椭圆上任意一点的一条焦半径为直径作圆,这个圆必和以椭圆长轴为直径的圆相

.

3在离散型随机变量中,证明其期望与方差分别具有性质:

(1)E(aξ+b)=aEξ+b;                    (2)Dξ=Eξ2 - E 2ξ.

4M为抛物线y2=2px上任意一点,F为焦点,证明以MF为直径的圆必与y轴相切.

●参考答案

1如图所示,MF1的中点为P, |PF1|= r,  连接POMF2,∵|PO|=|MF2|(中位线性质)

|PF1| - |PO|=(|MF1| - |MF2|)=·2a= a,

|PO|= r-a故以MF1为直径的圆与圆x2+y2=a2内切.

2如图所示,设M为椭圆上任一点,MF1为焦半径,MF1的中点为P|PF1|= r,  OPMF2.

|OP|=|MF2|=(2a-|MF1|)= a-r

∴以MF1为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切.

 

sx340sx339

 

 

 

 

 

 

         1题解图                                    2题解图

3.(1)∵Eξ=x1 p1+x2 p2++xn pn,

E (aξ+b)= (ax1+b)p1+(ax2+b)p2++(axn+b)pn= a (x1 p1+x2 p2++xn pn)+b(p1+p2++pn)

= aEξ+b             (p1+p2++pn=1).

2Dξ=(x1 - Eξ)2·p1+(x2 - Eξ)2p2++(xn - Eξ)2pn+

=xp1+xp2++xpn+…)-2Eξ(x1 p1+x2 p2++xn pn+)+E2ξ(p1+p2++pn+)

=Eξ2-2Eξ·Eξ+E2ξ·1=Eξ2 - E2ξ.

sx3414如图所示,抛物线焦点F

准线l:x=,MHlHFM中点

P,设圆P的半径|PF|= r,作PQy

轴于Q,则PQ为梯形MNOF的中位线.

|PQ|=

∴以MF为直径的圆与y轴相切.                      4题解图

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