数学破题36计第13计 钥匙开门 各归各用

第13计   钥匙开门   各归各用

●计名释义

开门的钥匙应有“个性”，如果你的钥匙有“通性”，则将把所有的邻居吓跑.

所有的知识具有个性，一切犯有“相混症”的人，都因没有把握知识的个性.

数学知识的根基是数学定义，它的个性在于，只有它揭示了概念的本质，介定了概念的范畴，在看似模糊的边缘，它能判定是与非.

定义本身蕴含着方法，由“线面垂直的定义直接导出线面垂直的判定定理，由椭圆的定义可直接导出椭圆方程.这里，判定定理也好，方程也好，只不过是其对应的定义在定义之外开设的一个“代办处”，当你的问题本身离定义很近时，何必要跑到遥远的地方去找“代办处”呢？由此，引出了“回归定义”的解题之说。

●典例示范

【例1】      F₁、F₂是椭圆的两个焦点，|F₁F₂|=2c,  椭圆上的点P（x, y)到F₁（-c, 0),  F₂ (c, 0)的距离之和为2a.  求证：|PF₁|=|PF₂|=

【分析】      一定要搬动椭圆方程吗？这里的已知条件只有c无b，而椭圆方程却有b无c，搬动椭圆方程肯定是舍近求远.

【解答】      对|PF₁| 和 |PF₂|用距离公式，结合椭圆的定义得关于|PF₁|= r₁, |PF₂|= r₂的方程组

    ②-③消y², x²和c²得    rr         ④

①，④联立，解得     故|PF₁|=  |PF₂|=

【点评】   快捷，清晰，是因为此题的已知条件靠定义近，而离方程远.

 

【例2】   设数列{a_n}的前n项和S_n=1+a_nlgb, 求使成立的b的取值范围.

【思考】   应首先分清{a_n}是什么数列，再根据数列的性质与极限的定义解题.

【解答】   a₁=1+a₁lgb, 若lgb=0, 即b =1时， a₁=S₁=1与矛盾.

∴b≠1,于是a₁=     而a_n=(1+a_nlgb)-(1+a_n-1lgb).

∴a_n(1-lgb)=-a_n-1lgb, =为常数，{a_n}是首项为公比q=的无穷递缩等比数列(已知存在)，∴q=∈(-1,0)∪(0,1).

由>-1,   即>0,  得lgb<或lgb>1,

又<00<lgb<1,于是0<lgb<           ∴b∈(1,)                ①

由0<<1    ∴b∈(0, 1)]                ②

综合①、②，取并集，所求b的取值范围为b∈(0，1)∪(1,).

 

【例3】   某商场为了促销，当顾客购买商品的金额达到一定数量之后可通过抽奖的方法获奖，箱中有4只红球和3只白球，当抽到红球时奖励20元的商品，当抽到白球时奖励10元的商品(当顾客通过抽奖的方法确定了获奖商品后，即将小球全部放回箱中).

(1)当顾客购买金额超过500元而少于1000元时，可抽取3个小球，求其中至少有一个红球的概率；

(2)当顾客购买金额超过1000元时，可抽取4个小球，设他所获奖商品的金额为ξ(ξ=50,60

,70,80)元，求ξ的概率分布和期望.

【思考】   解本题不能不清楚与概率统计有关的概念与定义，否则即使知道有

关计算公式也无法准确解题，例如：

(1)随机事件A发生的概率0≤P(A)≤1, 其计算方法为P (A)=, 其中m ，n分别表示

事件A发生的次数和基本事件总数；

(2)不可能同时发生的事件称为互斥事件，由于A与必有一个发生，故A与既是互斥事件，又是对立事件，对立事件满足P(A)+P（）=1；

(3)离散型随机变量的期望，Eξ=x₁ p₁+x₂ p₂+…+x_n p_n+…, 这个概念的实质是加权平均数，期望反映了离散型随机变量的平均水平;

(4)离散型随机变量的方差Dξ=(x₁-Eξ)²p₁+(x₂-Eξ)²p₂+…+(x_n - Eξ)²p_n+…，方差反映了离散型随机变量发生的稳定性.

【解答】   (1)基本事件总数n=C=35, 设事件A={任取3球，至少有一个红球}，则事件 ={任取3球，全是白球}.

∵A与为对立事件，而Card=1(任取3球全是白球仅一种可能).

∴P()=,于是P (A)=1-P ()=

即该顾客任取3球，至少有一个红球的概率为 

(2)ξ=50表示所取4球为3白1红(∵3×10+1×20=50),∴P (ξ=50)=

ξ=60表示所取4球为2白2红(∵2×10+2×20=60), ∴P (ξ=60)= 

ξ=70表示所取4球为3红1白(∵3×20+1×10=70), ∴P (ξ=70)=

ξ=80表示所取4球全为红球,  ∴P (ξ=80)=  

于是ξ的分布列为：

ξ	50	60	70	80
P

∴Dξ=50×+60×+70×+80×=(元).

即该顾客获奖的期望是≈63(元).

●对应训练

1M为双曲线上任意一点， F₁为左焦点， 求证:以MF₁为直径的圆与圆x²+y²= a²相切.

2求证:以椭圆上任意一点的一条焦半径为直径作圆，这个圆必和以椭圆长轴为直径的圆相

切.

3在离散型随机变量中，证明其期望与方差分别具有性质:

(1)E(aξ+b)=aEξ+b;                    (2)Dξ=Eξ² - E ²ξ.

4M为抛物线y²=2px上任意一点，F为焦点，证明以MF为直径的圆必与y轴相切.

●参考答案

1如图所示，MF₁的中点为P, 设|PF₁|= r,  连接PO、MF₂,∵|PO|=|MF₂|(中位线性质）

∴|PF₁| - |PO|=(|MF₁| - |MF₂|)=·2a= a,

即|PO|= r-a,  故以MF₁为直径的圆与圆x²+y²=a²内切.

2如图所示，设M为椭圆上任一点，MF₁为焦半径，MF₁的中点为P,  设|PF₁|= r,  连OP、MF₂.

则|OP|=|MF₂|=(2a-|MF₁|)= a-r

∴以MF₁为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切.

 

 

 

 

 

 

 

         第1题解图                                    第2题解图

3．（1）∵Eξ=x₁ p₁+x₂ p₂+…+x_n p_n,

∴E (aξ+b)= (ax₁+b)p₁+(ax₂+b)p₂+…+(ax_n+b)p_n= a (x₁ p₁+x₂ p₂+…+x_n p_n)+b(p₁+p₂+…+p_n)

= aEξ+b             (∵p₁+p₂+…+p_n=1).

（2）Dξ=(x₁ - Eξ)²·p₁+(x₂ - Eξ)²p₂+…+(x_n - Eξ)²p_n+…

=（xp₁+xp₂+…+xp_n+…）-2Eξ(x₁ p₁+x₂ p₂+…+x_n p_n+…)+E²ξ(p₁+p₂+…+p_n+…)

=Eξ²-2Eξ·Eξ+E²ξ·1=Eξ² - E²ξ.

4如图所示，抛物线焦点F，

准线l:x=,作MH⊥l于H，FM中点

为P，设圆P的半径|PF|= r，作PQ⊥y

轴于Q，则PQ为梯形MNOF的中位线.

∴|PQ|=

∴以MF为直径的圆与y轴相切.                      第4题解图