圆锥曲线——椭圆

圆锥曲线——椭圆

 

二. 教学目标：

掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。

 

三. 知识要点：

1. 定义：①平面内一个动点到两个定点F₁、F₂的距离之和等于常数（大于|F₁F₂|，即），这个动点的轨迹叫椭圆（这两个定点叫焦点）.

②点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e（0<e<1），则P点的轨迹是椭圆。

2. 椭圆参数的几何意义，如下图所示：

（1）|PF₁|+|PF₂|=2a，|PM₂|+|PM₁|=，==e；

（2），；

（3）|BF₂|=|BF₁|=a，|OF₁|=|OF₂|=c；

（4）|F₁K₁|=|F₂K₂|=p=，

3. 标准方程：椭圆标准方程的两种形式

和其中。

椭圆的焦点坐标是，准线方程是，离心率是，通径的长是焦准距（焦点到准线的距离），焦参数（通径长的一半）。范围：，，长轴长=，短轴长=2b，焦距＝2c ，

 

【典型例题】

例1. 已知椭圆的焦点是，直线是椭圆的一条准线.

① 求椭圆的方程;

② 设点P在椭圆上，且，求cos.

解：①.

②设则

又，

 

例2. 求中心在原点，一个焦点为且被直线截得的弦中点横坐标为的椭圆方程.

解：设椭圆方程 ，，，

因为弦AB中点，所以。

由得，（点差法）

所以

   又  。

 

例3. 已知F₁为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF₁⊥F₁A，PO∥AB（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.

分析：求椭圆的离心率，即求，只需求a、c的值或a、c用同一个量表示.本题没有具体数值，因此只需把a、c用同一个量表示，由PF₁⊥F₁A，PO∥AB易得b=c，a=b.

解：设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），F₁（－c，0），c²=a²－b²，

则P（－c，b），即P（－c，）.

∵AB∥PO，∴k_AB=k_OP，

即－=.∴b=c.

又∵a==b，

∴e===.

点评：由题意准确画出图形，利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关键.

 

例4. 如下图，设E：+=1（a＞b＞0）的焦点为F₁与F₂，且P∈E，∠F₁PF₂=2θ.  求证：△PF₁F₂的面积S=b²tanθ.

分析：有关圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题，设|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，则S=r₁r₂sin2θ.若能消去r₁r₂，问题即获解决.

证明：设|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，

则S=r₁r₂sin2θ，又|F₁F₂|=2c，

由余弦定理有

（2c）²=r₁²+r₂²－2r₁r₂cos2θ

=（r₁+r₂）²－2r₁r₂－2r₁r₂cos2θ

=（2a）²－2r₁r₂（1+cos2θ），

于是2r₁r₂（1+cos2θ）=4a²－4c²=4b².

所以r₁r₂=.

从而有 S=·sin2θ=b²=b²tanθ.

点评：①解与△PF₁F₂（P为椭圆上的点）有关的问题，常用正弦定理或余弦定理，并结合|PF₁|+|PF₂|=2a来解决.

②我们设想点P在E上由A向B运动，由于△PF₁F₂的底边F₁F₂为定长，而高逐渐变大，故此时S逐渐变大.所以当P运动到点B时S取得最大值.由于b²为常数，所以tanθ逐渐变大.因2θ为三角形内角，故2θ∈（0，π），θ∈（0，）.这样，θ也逐渐变大，当P运动到B时，∠F₁PF₂取得最大值.故本题可引申为求最值问题，

 

例5. 若椭圆ax²+by²=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，且OA⊥OB，求椭圆的方程.

分析：欲求椭圆方程，需求a、b，为此需要得到关于a、b的两个方程，由OM的斜率为.OA⊥OB，易得a、b的两个方程.

解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（，）.

由 ，∴（a+b）x²－2bx+b－1=0.

∴=，=1－=.

∴M（，）.

∵k_OM=，∴b=a.       ①

∵OA⊥OB，∴·=－1.

∴x₁x₂+y₁y₂=0.

∵x₁x₂=，y₁y₂=（1－x₁）（1－x₂），

∴y₁y₂=1－（x₁+x₂）+x₁x₂=1－+=.

∴+=0.

∴a+b=2.                                   ②

由①②得a=2（－1），b=2（－1）.

∴所求方程为2（－1）x²+2（－1）y²=1.

点评：直线与椭圆相交的问题，通常采取设而不求，即设出A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），但不是真的求出x₁、y₁、x₂、y₂，而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题.由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0是解决本题的关键.

 

例6. 已知椭圆=1，能否在此椭圆上位于y轴左侧的部分上找一点M，使它到左准线的距离是它到两焦点F₁，F₂的距离的等比中项?

解：由方程知e=1/2，假设存在点M（x₀，y₀）满足条件，

即  =1且x₀∈[─2，0），

有   d²=|MF₁||MF₂|（d为M到准线的距离），

∵ |MF₁|=a+ex₀=2+x₀/2， |MF₂|=a─ex₀=2─x₀/2， d=4+x₀，

∴ （4+x₀）²=4─x₀²/4，

∴x₀=─12/5或x₀=─4，这与x₀∈[─2，0）矛盾，

故点M不存在.

点评：范围问题和求值问题的解法基本上没有区别，主要是把它当成求值问题来处理，最后通常转化为方程有解问题或函数的值域问题，而且一般是二次的.

小结：

椭圆的定义、方程、几何性质.难点是理解参数a、b、c、e的关系，及利用第二定义解决问题，关键是注意数形结合，函数与方程的思想，等价转化的运用.为此在教学中注意以下几点：

（1）椭圆中有一个十分重要的三角形OF₁B₂（如图），它的三边长分别为a、b、c.

易见c²=a²－b²，且若记∠OF₁B₂=θ，则cosθ==e.

（2）应理解椭圆是平面内到两个定点距离之和等于定长的点的轨迹，本质上，它与坐标系无关，而坐标系是研究的手段.实际上，人们研究圆锥曲线的记录早于笛卡儿发明坐标系，从而椭圆本身所固有的性质并不依赖于坐标系，这些性质不因坐标系的选择而改变.例如上述的△OF₁B₂、公式cosθ=e等，均不因坐标系的改变而改变.

（3）椭圆的定义中应注意常数大于|F₁F₂|.因为当平面内的动点与定点F₁、F₂的距离之和等于|F₁F₂|时，其动点轨迹就是线段F₁F₂；当平面内的动点与定点F₁、F₂的距离之和小于|F₁F₂|时，其轨迹不存在.

（4）使用椭圆的第二定义时，一定要注意动点P到焦点的距离与对应准线距离之比为常数e.若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了.

 

【模拟试题】

1. 如果椭圆上的点A到右焦点的距离等于4，那么点A 到两条准线的距离分别是  （     ）

A. 8，                  B. 10，                 C. 10，6                       D. 10，8

2. 椭圆的两焦点把两准线间的距离三等分，则这个椭圆的离心率是 （    ）

A.                           B.                       C.                         D. 以上都不对

3. P为椭圆上的点，是两焦点，若，则的面积是（      ）

A.                    B.             C.            D. 16

4. 椭圆内有一点P（1，-1），F为右焦点，椭圆上有一点M，使最小，则点M为（     ）

A.                               C.                   D.

5. 椭圆的对称轴在坐标轴上，长轴是短轴的2倍，且过点（2，1），则它的方程是_____________.

6. 如图分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，是面积为的正三角形，则的值是____.

7. 设A（-2，0），B（2，0），的周长为10，则动点C的轨迹方程为： __________.

8. 椭圆上有两点P、Q ，O为原点，若OP、OQ斜率之积为，则为  （      ）

A. 4                             B. 64                           C. 20                           D. 不确定  

9. P是椭圆上一定点，是椭圆的两个焦点，若，则___________.

10. 圆心在轴的正半轴上，过椭圆的右焦点且与其右准线相切的圆的方程为 ____________.

11. 点P在椭圆+=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标是____________.

12. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，求这个椭圆方程.

13. 直线l过点M（1，1），与椭圆+=1相交于A、B两点，若AB的中点为M，试求直线l的方程.

 

【试题答案】

1. B

2. C 解析：

3. B 解析： 设，列方程求解.

4. A 解析： 等于M到右准线的距离.

5.

6.  .

7.

8. C 解析： 设直线方程为 ，解出，写出

9. .

10.

11.

12. 由题设条件可知a=2c，b=c，又a－c=，解得a²=12，b²=9.∴所求椭圆的方程是+=1或+=1.

13. 解：设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），

则   +=1，                     ①

+=1.                         ②

①－②，得

+=0.

∴=－·.

又∵M为AB中点，∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2.

∴直线l的斜率为－.

∴直线l的方程为y－1=－（x－1），即3x+4y－7=0.