草根梳理|“一线三等角”模型及其变式总结

最近网上有很多朋友和我探讨“一线三等角”基本模型，对此我觉得很多事物并无定法，自己的模型自己总结，在此我抛砖引玉，谈谈自己对于“一线三等角”的粗浅认识

草根定义

两个等角的一边在同一直线上，另一边在该直线的同侧。若有第三个与之相等的角、其顶点在该直线上，角的两边（或两边所在直线）分别与两等角的非共线边（或该边所在直线）相交，此时通过证明，一般都可以得到一组相似三角形，该组相似三角形习惯上被称为“一线三等角型”相似三角形．

注1

如下图，这三个等角，可以是锐角、可以是直角或者钝角，结论均成立

已知：∠A=∠CPD=∠B，

求证：△ACP∽△DBP

证明：∵ ∠CPD+∠APC=∠B+∠PDB，∠CPD=∠B，

∴ ∠APC=∠PDB，又∵ ∠A=∠B，

∴ △ACP∽△DBP

注2

如下图组，点P可以在线段AB上，可以在线段AB延长线上，可以在线段BA延长线上，结论依旧成立（即△ACP∽△DBP）

一线三等角型推广（1）

点P在线段AB上，联结CD，若△ACP∽△DBP∽△CPD，则点P是线段AB中点或CD∥AB，反之亦成立（在此仅证明充分条件）

已知：∠A=∠CPD=∠B，△ACP∽△CPD，求证：点P是线段AB中点或CD∥AB

证明：∵ ∠A=∠B=∠CPD，

且△ACP∽△CPD，

∴ ∠DCP=∠CPA或∠DCP=∠ACP

a）若∠DCP=∠CPA（如右图）

则CD∥AB

b）若∠DCP=∠ACP（如左图）

则CP/PD=AC/AP

∵ ∠A=∠CPD=∠B，

则△ACP∽△DBP（之前已证），

∴ CP/PD=AC/PB

∴ AP=PB即点P是线段AB中点

一线三等角型推广（2）

点P在线段AB上，联结CD，设△ACP∽△DBP的相似比为k，

【注：若讨论△ACP为特殊三角形，有时可利用相似的关系，转换讨论对象，讨论△PDB为该特殊三角形】

一线三等角型推广（3）

若∠A=90°，则图中三“等角”均为直角，习惯被称为一线三直角型，一线三直角型是特殊的一线三等角型，但和普通一线三等角型嫁接在等腰三角形或等腰梯形所不同的是，它常嫁接于直角三角形或矩形

例：正方形ABCD的边长为5，点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=90°.当CQ=1时，写出线段BP的长

有时面对“一线两等角”的情况，构造一线三等角型也是解题策略之一