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前言 辅助线，是可以分析得到的…… '如何添加辅助线'一直是学生学习的难点。其实，很多看似'天外飞仙'的神线是可以通过分析得到的。本文，笔者意在借助一类“定边定角”问题，谈谈通过添加辅助线构造相似三角形的思路分析，希望能给广大教师同仁和学生以启示。 本文中诸多解法是笔者学习段广猛老师微信平台文章所得，在此郑重声明并表示感谢。 问题 如图，已知，在△ABC中，DO是AB边上的高，若∠ADB=60°，AO=√3，OB=2√3，求OD的长  本质分析 根据正弦定理：2R=AB/sin∠ADB，所以当一个三角形中一边及其对角确定，则该三角形的外接圆也随之确定，如本例  以AB为底构造顶角为120°的等腰三角形（同弧所对圆心角是圆周角的两倍），该三角形的顶点O即△DAB外接圆的圆心。 易求圆O的半径为3，OH=1.5， 在Rt△DHO中，DO=3，OH=√3/2， 则DH=√33/2，OD=(√33 3)/2 本解法的辅助线源于定边定角问题中隐藏的确定的外接圆，由于上海初中数学必修教材中并没有出现圆周角等概念，所以该解法并不适用于上海大多数学生，但为了能更好地理解该问题的本质属性，笔者先对此进行了介绍。 总体思路 第一步：尝试 根据特征条件(或结论)尝试添加辅助线； 第二步：设计 根据特征条件(或结论)选择相似基本型； 第三步：构造 利用边的关系构造角从而构造相似型。 解法二 设计：考虑以DO为分界，左右构造相似，考虑星角加圈角为60°，要在DO左侧构造圈角，则需要构造60°的外角，右侧也一样。 构造：利用边的关系构造60°角，在OD上截取OM=1、ON=2，则∠AMO=60°，∠ONB=60°，于是△DAM∽△DNB。  灵感  这样构造辅助线的方式，笔者戏称其为构造“相依型相似”，是处理“定角”问题的一般方法。 解法三 设计：考虑构造“共边共角型”，首先要选择“共角”与“共边”。'共角'应选择已知角∠ADB，'共边'需要从夹∠ADB的两边中选择，就这个问题而言两边皆可，笔者选择了DB，则'共边共角型'的第四顶点就应在射线BA上，使得∠BFA=60°。 构造：利用边的关系构造60°角，在射线BA上截取点E，使得OE=OD/√3，则∠BED=60°，于是△ADB∽△DEB  解法四 设计：考虑构造“一线三等角型”，首先要选择“等角”，本例中'等角'应选择已知角∠ADB；其次要构造“一线”，本例中“一线”应选择过点D的平行线（如图PQ∥AB）。 构造：利用边的关系构造60°角，过点A、B分别做AN⊥PQ于点N、BM⊥PQ于点M，分别在射线NP、MQ上截取点P、Q，使得PN=MQ=OD/√3，则∠APN=∠BQM=60°，于是△APD∽△DBQ。  解法五 尝试：要利用好60°的特殊角，宜构造直角三角形，过点B做BD的垂线与DA延长线交于点P，于是△PBD即是含60°角的直角三角形，三边比为1：√3：2。  设计：此时在直线AB上已有两个直角（∠DOB与∠DBP）与“一线三等角型”还差一个直角，若过点P做PE⊥AB于E，则不仅补全了“一线三等角型”（△DOB∽△EBP，且相似比是1:√3），同时还产生了一组八字形，两者结合解决了该问题。  链接 如下图组，点P可以在线段AB上，可以在线段AB延长线上，可以在线段BA延长线上，皆是一线三等角型（即△ACP∽△DBP）  解法六 尝试：要利用好60°的特殊角，宜构造直角三角形，过点AH⊥DB于点H，△HAD即是含60°角的直角三角形，三边比为1：√3：2。  设计：由于DH:AH=1:√3，∠DHA=90°，就此可通过'横平竖直'的策略构造“一线三等角型”，过点D做AB的平行线DP，过点H做AB的垂线交AB、DP于点Q、点P，于是△DPH∽△HAQ，且相似比是1:√3，于此同时还产生了一组A字形，两者结合解决了该问题。  “构造”是一种高阶思维的体现，但非无本之木、无源之水。 对于教师而言，在教学时，要尽可能展现出该数学问题的来路与出路，解法自然生成。 对于学生而言，要能够实现“构造相似三角形”，首先要对几种基本相似构图（共边共角、一线三等角等）非常熟悉，并且能够深刻理解三角形中的边角关系，善于通过构造边来生成特殊角，从而实现构造相似三角形的目的。 |
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