前面文章介绍旋转作为辅助线构造方式的时候,已经比较详细的说明了。具体可以看下文。 解题时,一般是以等长共点为基础构造全等三角形。但是有时候没有等腰,无法全等旋转怎么办呢? 没错,可以考虑进行放缩。旋转过程中保持形状不变的情况下,进行放大或缩小。 大家何不先看一道例题先: 【典型例题】 如图,点D在△ABC内,∠BDC=90°,∠BCD=∠DAC=30°,AD=3,AC=8,求AB的长. 【分析】 求线段长的方法一般是勾股或相似等。但是AB所在的三角形无法直接求解。因此可以考虑根据题目中的特殊角进行构造辅助线。 【解析】 【方法一】绕点D顺时针旋转90° 分析:将△ADC绕点D顺时针旋转90°至△EDB,连接AE,则△ADC∽△EDB,易得△ADE∽△CDB,易得∠AEB=90°,由AD=3,AC=8,求得AE=,BE=,再根据勾股定理得AB=. 【方法二】绕点D逆时针旋转90° 分析:将△ADB绕点D逆时针旋转90°至△EDC,连接AE,则△ADB∽△EDC,易得△ADE∽△DBC,易得∠EAC=90°,由AD=3,AC=8,求得AE=6,CE=10,再根据相似得AB=. 【方法三】绕点B顺时针旋转60° 分析:将△ADB绕点B顺时针旋转60°至△ECB,连接AE,则△ADB∽△ECB,易得△ABE∽△DBC,易得∠ACE=90°,由AD=3,AC=8,求得CE=6,AE=10,再根据三角函数得AB=. 【方法四】绕点B逆时针旋转60° 分析:将△ABC绕点B逆时针旋转60°至△EBD,连接DE,则△CDB∽△AEB,易得△ABC∽△EBD,易得∠ADE=90°,由AD=3,AC=8,求得DE=4,AE=5,再根据三角函数得AB=. 【方法五】绕点C顺时针旋转30° 分析:将△ABC绕点C顺时针旋转30°至△EDC,连接DE,则△CDB∽△CEA,易得△ABC∽△EDC,易得∠DAE=90°,由AD=3,AC=8,求得AE=4,DE=5,再根据相似得AB=. 【方法六】绕点C逆时针旋转30° 分析:将△ACD绕点C逆时针旋转30°至△ECB,连接DE,则△ACD∽△ECB,易得△BDC∽△EAC,易得∠AEB=90°,由AD=3,AC=8,求得BE= ,BE=,再根据勾股定理得AB=. 【方法总结】 如图,已知△ABC,AB≠AC,D为BC上一点,过点D作DE∥BC,交AC于点E,把△ADE绕点A旋转得△AD′E′,连接BD′,CE′. 条件:∠D′AB=∠E′AC,. 【变式训练】 如下图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=30°,∠ACB=90°,点D在△ABC外侧,且∠BDC=60°,连接AD,AD=5√3,CD=3√3/2,求BD的长。 具体怎么做,大家可以先思考下,再往下面看。 方法一 将△ABC缩小并旋转60°,使得BC与BD重合,如下图所示。 方法二 延长DB、DC,构造等边三角形,得到一线三等角相似, 设未知数即可求解。 方法三 延长DC,再构造三垂直也可以。 |
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