等腰三角形中辅助线的作法

——形成精准思维模式，快速解题

eq \a\vs4\al(◆)类型一　利用'三线合一'作辅助线

一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)

如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E，且∠ABE＝∠ABC.若BE＝2，则BC＝________.

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF.求证：DE＝DF.

3．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，E是AD上一点，且EA＝EC，连接EB.求证：EB⊥AB.

二、构造等腰三角形

4．如图，在△ABC中，BP平分∠BAC，且AP⊥BP于点P，连接CP.若△PBC的面积为2，则△ABC的面积为( )

A．3 B．4 C．5 D．6

5．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E.求证：BD＝2CE.

eq \a\vs4\al(◆)类型二　巧用等腰直角三角形构造全等

6．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上．求证：DE＝DF.

eq \a\vs4\al(◆)类型三　等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等

7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：BC＝AB＋CD.

8．如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连接PQ交AC于点D.

(1)求证：PD＝DQ；

(2)若△ABC的边长为1，求DE的长．【方法8】

参考答案与解析

1．4

2．证明：连接AD.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠FAD.在△AED和△AFD中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AF，,∠EAD＝∠FAD，,AD＝AD，))∴△AED≌△AFD，∴DE＝DF.

3．证明：过点E作EF⊥AC于点F.∵EA＝EC，∴AF＝FC＝eq \f(1,2)AC.∵AC＝2AB，∴AF＝AB.∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE.又∵AE＝AE，∴△ABE≌△AFE(SAS)，∴∠ABE＝∠AFE＝90°，∴EB⊥AB.

4．B

证明：如图，延长BA和CE交于点M.∵CE⊥BD，∴∠BEC＝∠BEM＝90°.∵BD平分∠ABC，∴∠MBE＝∠CBE.又∵BE＝BE，∴△MBE≌△CBE，∴EM＝EC＝eq \f(1,2)MC.∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠MAC＝90°，BA＝AC，∴∠ABD＋∠BDA＝90°.∵∠BEC＝90°，∴∠ACM＋∠CDE＝90°.∵∠BDA＝∠EDC，∴∠ABE＝∠ACM.又∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACM(ASA)，∴DB＝MC，∴BD＝2CE.

6．证明：连接CD.∵AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，∴CD平分∠ACB，CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠BCD＝∠ACD＝45°，∠B＝∠C＝45°，∴∠ACD＝∠B＝∠BCD，∴CD＝BD.∵ED⊥DF，∴∠EDF＝∠EDC＋∠CDF＝90°.又∵∠CDF＋∠BDF＝90°，∴∠EDC＝∠FDB，∴△ECD≌△FBD，∴DE＝DF.

证明：如图，在线段BC上截取BE＝BA，连接DE.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD.又∵BD＝BD，∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴∠BED＝∠A＝108°，∴∠CED＝180°－∠BED＝72°.又∵AB＝AC，∠A＝108°，∴∠ACB＝∠ABC＝eq \f(1,2)×(180°－108°)＝36°，∴∠CDE＝180°－∠ACB－∠CED＝180°－36°－72°＝72°.∴∠CDE＝∠DEC，∴CD＝CE，∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD.

8．(1)证明：过点P作PF∥BC交AC于点F，∴∠AFP＝∠ACB，∠FPD＝∠Q，∠PFD＝∠QCD.∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴∠AFP＝60°，∴△APF是等边三角形，∴PF＝PA＝CQ，∴△PFD≌△QCD，∴PD＝DQ.

(2)解：由(1)知△APF是等边三角形，∵PE⊥AC，∴AE＝EF.由(1)知△PFD≌△QCD，∴DF＝CD，∴DE＝EF＋DF＝eq \f(1,2)AF＋eq \f(1,2)CF＝eq \f(1,2)AC.又∵AC＝1，∴DE＝eq \f(1,2).