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李尚志，北京航空航天大学数学与系统科学学院学术委员会主任，教授，博士生导师，是中国自己培养的首批18名博士之一。继昨日本平台登载李尚志教授写的“微积分诗”的四首之后，非常意外、惊喜地收到了李教授关于这四首做的注释，今结合这四首诗重新刊登。
各种函数复杂纷纭，犹如无边苦海，何处是岸？一次函数最简单。把复杂函数f(x)在任一点c附近换成误差最小的一次函数y=f(c)+k(x-c)，使误差是自变量增量dx=x-c的高阶无穷小，一次项dy= kdx就是微分，系数k=f'(c)刻画了f在c附近的变化速度，称为导数。金庸武侠小说中段誉学的第一个功夫叫“凌波微步”，就是“打不赢就跑”，跑到打得赢的地方再打。把难以处理的函数f在每一点附近变成最简单的一次函数来处理，也是凌波微步。“微步”是在波浪上小心翼翼走碎步，毛词“闲庭信步”更潇洒，所以我说“凌波能信步”。将非一次函数变成一次，这是微积分最重要的兵法。漫天休问价：各种函数太难处理，代价高昂。就地可还钱：变成一次，最容易处理。但有时用一次代替误差太大，例如将x=1代入近似公式arctanx=x计算圆周率pi,得到pi/4=arctan1=1,pi=4,误差太大。就像买东西就地还钱卖家不干，买家就涨一点。一次不够涨成二次，二次不够涨成三次。用多项式代替函数，次数越高误差越小。例如arctan x=x-x^3/3+x^5/5. 多项式f(x)只用x的加减乘就能算出，所以说“我有乘除加减”。提高多项式次数可以达到任意精确度，从地面（一次）开始任意逼近天上那个函数分，翱翔天地间。不过，将x=1代入arctanx=x-x^3/3+ x^5/5-...计算pi收敛仍然太慢，可拆开为pi/4=arctan1/2+arctan1/3= 4arctan1/5-arctan1/239,将x=1/2,1/3或1/5,1/239分别代入arctanx的泰勒展开式，收敛就快 y=f(x)在区间[a,b]上的定积分S就是区间上的函数曲线在x轴上方围成的有向面积（x轴下方的面积为负）。如果f是常数，就是矩形面积，底乘高。曲线一帆风顺，同一高度。然而这种情况少之又少。所以说“一帆难遇风顺”，正常情况都是“一路高低不平”。怎么办？虽然总体是高低不平，正常情况（连续函数）很短的时间（一分一秒）内起伏不大，来不及大起大落，平平淡淡，可以近似当成常函数，当成矩形求面积，底乘高。将大的区间[a,b]分割成小的区间（分秒），分别按照矩形算面积再加起来（编织），就得到大起大落（百味人生）区间[a,b]上的总面积。平平淡淡分秒，编织百味人生，说的就是定积分分割求和的这个过程。当然，每一段分得越小，误差就越小。无限细分，得到的极限就是面积（定积分）的精确值。这是数学，也是人生哲理。不能指望人生一帆风顺，总要遇到风浪。之所以祝愿“一帆风顺”，就是因为很难得到。也不要指望突然哪一秒钟天上掉下个大馅饼。每分每秒以平常心做平常事，积硅步行千里，灿烂辉煌的丰功伟绩，丰富多彩的百味人生，都是一分一秒的平常努力、一步一个平常脚印积累起来的。人生就是一场积分，积分的多少正负，全都是由f(x)在每一点的值炼成的。由下而上登天去度量天的高度，太困难。反过来，请银河从上到下为我们度量吧。银河飞流直下有几万里，由下而上的高度也就是多少万里。量出了由上而下几里路的地方是王母宴蟠桃之处，就知道了由下而上参加蟠桃宴在什么位置。求积分也是同样道理：已知速度求路程是求定积分，犹如登天一样困难。反过来由路程求速度是求导数，就好比从上到下，比较容易。因此我们反过来求一个函数F(x)使它的导数等于已知的速度f(x)，称为f的原函数。F不一定是路程，但一定是位置，末位置减初位置F(b)-F(a)一定是路程，就是所求的定积分。
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