设n阶矩阵A的每列元素之和都为常数a,m为正整数,试证明A^m的每列元素之和也是一个常数，并求该常数

设n阶矩阵A的每列元素之和都为常数a,m为正整数,试证明A^m的每列元素之和也是一个常数，并求该常数

由已知, A^T (1,1,...,1)^T = a(1,...,1)^T
即 a 是A^T 的特征值, (1,...,1)^T 是A的属于特征值a的特征向量
所以 a^m 是 (A^T)^m 的特征值, (1,1,...,1) 是(A^T)^m的属于哗功糕嘉蕹黄革萎宫联特征值a^m的特征向量
因为 (A^T)^m = (A^m)^T
所以有 (A^m)^T (1,1,...,1)^T = a^m (1,1,...,1)^T
即有 A^m 的每列元素之和为常数 a^m.

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