【原】20强基高代解答

一（）

设 和 是三个单位向量, 且

• 证明 :

• 求 :

• 略

• .

---

二（）

若 求矩阵 .

左乘：,得：

可逆，所以：

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三（）

设四元一次方程组(I):

已知另一四元齐次线性方程组 (II) 的一个基础解系为

• 求 (I) 的一个基础解系.
• 当 为何值时, (I) 和 (II) 有公共非零解?求出全部的公共解.
• 当 为何值时, (I) 和 (II) 同解?

• 化简得：

  ,所以基础解系为：,

• 由四个基础解系组成的行列式不为0，解得：,下文同解.既然同解，所有由基础解系线性组合的解都是公共解

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  四：()

  设 是一个 级方阵, 其中所有元素均为整数, 考 虑多项式

• 求 的次数, 首项系数和常数项.

• 证明如果存在 使得 则

• 证明线性方程组 只有零解.

• 不难的到：,,所以次数次，首项系数为1，常数项为：

• 若为有理根：,互素，则有：,故得：是整数.

• 因为所有有理根都是整数根，所以：不是根，那么，即仅有零解.

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  五：() 设 矩阵 的秩是 任取 的 个线性无 关的行和 个线性无关的列, 证明由这 个行和 个列交叉处形成的 级子式不等于零.

存在可逆阵使：

不妨假设前即为题设所要求的，否则总可以通过行列初等变换移至前处，用表示前所以：

又因为可逆阵乘矩阵不改变矩阵的秩，所以下边的秩为(为的前),所以：

.所以得秩为.

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六:()

设 是同级方阵, 证明

问上式结果是否为：.

所以：,一般不等于：,当时相等.

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七：()

设 是 级反对称矩阵, 即 已知 是 可逆矩阵, 中 是 维列向量, 是一个数.

• 证明 是偶数.
• 证明 可逆的充分必要条件是

• ,当为奇数时。,所以为偶数.

• 引理：斜对称的可逆矩阵仍是斜对称矩阵.

  由于为斜对称矩阵，所以,所以:,故可逆的充要条件是.

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八：()

证明正定矩阵中绝对值最大的元素一定是正数, 该元素必在其主对角线上.

每一个二阶主子式都大于0，所以：

遍历命题得证,且通过取定,可得：(正定二次型定义)，命题得证.

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九：(15')已知 级矩阵 的每行元素之和均为 每列元素之和也为0，按如下>步骤证明的所有元素的代数余子式都相等

1. 证明
2. 在 条件下证明结论成立.
3. 设

• 求 的基础解系;
• 证明 的列向量都是 的解；
• 证明
• 证明该情况下结论也成立.

(1):将每一行都加到第一行上所以的第一行为0，行列式为0，秩小于;

(2):故每一个 阶子式都为0；

(3.1):当时为齐次线性方程组的解，故基础解系为(秩为,解空间维数为1).

(3.2):,所以命题得证.

(3.3):根据定义直接判断：的元素就是,命题得证.

(3.4):由上可知的每一列都是倍式，又因为：每一列也是如此，且，进行比对即得答案.

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普通班最后一题：若 阶实方阵 满足 则称为正交矩阵. 证明: 不存在 阶正交矩阵 满 足 其中 是非零常数

用反证法, 设存在 阶正交阵 使得 在等式两边同 时左乘 右乘 可得 从而 两边同时取迹, 可得

矛盾

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