传输线设计是高频有线网络、射频微波工程、雷射光纤通信等光电工程的基础,为了能让能量可以在通信网路中无损耗地传输,良好的传输线设计是重要关键。 乍看之下,史密斯图很类似极坐标(polar coordinate),不过,它的X-Y轴坐标分别是Γr和Γi,而且Γ= |Γ|ejθr =Γr + jΓi ,r代表实数(real number),i代表虚数(image number)。 在图一中,中心线为电阻值,中心线上方区域为感抗值,中心线下方区域为容抗值,直径和中心线重迭的圆代表不同的实数(rL),中心线两旁的圆弧代表不同的虚数(rL)。正常化负载阻抗(normalized load impedance)zL = ZL/Z0= 1+Γ/1-Γ,zL= rL+jxL,其实zL就是史密斯图上的复数,它没有计量单位(dimensionless),是由实数rL和虚数xL构成的。负载阻抗ZL就是由小写的zL映射到复数反射系数Γ平面上的。史密斯图的圆心代表Γ=0,zL=1,ZL= Z0,负载阻抗匹配,如(图三)所示。 (1)如果ZL = Z0,则无论传输线的长度大小为何,输入端阻抗Z或Zin永远等于特性阻抗Z0。 (2)Z是以/2为单位做周期变化。 (3)正常化输入阻抗(normalized input impedance)zin=Zin/Z0= 1+Γl/1-Γl,其中,Γl 的振幅与电压反射系数Γ的振幅一样,但是相角差2βl(β=2π/λ),l是传输线长度。所以,Γl被称为「相移电压反射系数(phase-shifted voltage reflection coefficient)」,而且Γl =Γe-j2βl。 因此,如果Γ转换成(transform)Γl,zL就被转换为zin了,在史密斯图上的反射系数角位(angle of reflection coefficient in degrees)是以顺时钟方向,随传输线长度l由0最大增加到0.5λ,这个方向上的刻度称为「波长朝产生器(wavelengths toward generator;WTG)」方向的刻度,有别于逆时钟方向的「波长朝负载(wavelengths toward load;WTL)」方向的刻度。 (4)在史密斯图的圆心处划一个圆,它将和实数轴与虚数轴相交于数个点,每个点与圆心的距离相等,这个圆称作「常数|Γ|圆」;也叫作「驻波率(standing-wave ratio;SWR)圆」,这是因为驻波率S=1+|Γ|/ 1-|Γ|。 (5)纯电阻窄频匹配(resistive narrowband match)时,驻波率刚好等于rL和驻波率圆相交的右边接点Pmax。虽然rL和驻波率圆相交的接点有两个Pmax和Pmin,但是左边接点Pmin的rL值小于1,而且驻波率必须大于或等于1,所以Pmin不予考虑。 藉由史密斯图和已知的负载阻抗,就可以很快地求得在传输在线最大电压或最小电流、最小电压或最大电流的位置。 上述功能,说明了利用史密斯图就能得到负载的复数阻抗之匹配值。 如果在史密斯图上顺时钟移转λ /4(互成反方向),zL将转换成zL。虽然,Y参数(=[Y][V])的导纳和Z参数([V]=[Z])的阻抗,都只能代表低频电路的特性,但是与代表高频电路特性的S参数([V-]=[S][V+])类似的Y参数是由四种导纳变数构成的,藉由Y参数(一般是从所测量的S参数转换而来)可以得到晶体管闸阻抗之值,这在深次微米设计中是非常重要的。 S参数是被用来表示射频微波多端口网络(multiple network)中多电波的电路特性。 (1)电压反射系数:zL= ZL/Z0=(25+j50)/50=0.5+j1,从史密斯图中可以查出反射系数的相角为83°,用尺可以量得反射系数的振幅为0.62;所以,电压反射系数Γ= 0.62ej83°。 (2)电压驻波比(SWR):使用圆规在史密斯图上,以Γ=0为圆心,划一个圆(驻波率圆)通过0.62ej83°,这个圆和Γr相交在两点,其中一点的rL值大于1,为4.26,亦即电压驻波比S=4.26。 (3)距负载最近的最大电压与最小电压的位置:最大电压在驻波率圆和Γr相交的点上,查史密斯图,此点的位置是0.25λ,负载的位置是0.135λ,所以它和负载的距离是lmax=0.25λ-0.135λ=0.115λ;最小电压和最大电压的距离差0.25λ,所以它和负载的距离是lmin=0.115λ+0.25λ=0.365λ。 (4)若此传输线长度为3.3λ,可求出其输入阻抗和输入导纳:3.3λ除以0.5λ后剩余0.3λ,从负载阻抗在史密斯图上的位置顺时钟移动(WTG)0.3λ,就是输入阻抗的位置。 因此,输入阻抗的位置是在0.135λ+0.3λ=0.435λ直线上,它与驻波率圆相交于一点,查史密斯图,此点即是正常化输入阻抗zin=0.28-j0.4,经转换可求得输入阻抗Z in=zinZ0=(0.28-j0.4)*50=(14-j20)Ω;从zin顺时钟移动0.25λ并与驻波率圆相交于一点,可以得到正常化输入导纳yin=1.15+j1.7,经转换可求得输入导纳Yin=yinY0=yin/ Z0=(1.15+j1.7)/50=(0.023+j0.034)S(全名为Siemens,是导纳的基本计量单位)。 假设:只知道一条50Ω无耗损传输线的驻波比S=3,距负载最近的最小电压位置是5cm,其次是20cm,试求负载阻抗。 解决方法:因为最小电压的间距为λ / 2,所以,λ= 40cm。距负载最近的最小电压在史密斯图上的位置就是5/40=0.125λ。在史密斯图上划驻波率圆,半径为3,此圆与Γr相交于两点,rL值小于1的点就是距负载最近的最小电压,在驻波率圆上,从此点逆时钟移动0.125λ,可以得到负载的正常化阻抗zL=0.6 - j0.8。经转换后,就可得出负载阻抗ZL=Z0*zL=(30 - j40)Ω。 阻抗匹配是电路学里的重要议题,也是射频微波电路的重点。一般的传输线都是一端接电源,另一端接负载,此负载可能是天线或任何具有等效阻抗ZL的电路。传输线阻抗和负载阻抗达到匹配的定义,简单说就是:Z0=ZL。在阻抗匹配的环境中,负载端是不会反射电波的,换句话说,电磁能量完全被负载吸收。 因为传输线的主要功能就是传输能量和传送电子讯号或数字数据,一个阻抗匹配的负载和电路网络,将可确保传输到最终负载的电磁能量值能达到最大量。 解决方案是在传输线与最终负载之间加入阻抗匹配网络(impedance-matching network),加入此网络的目的就是为了减少传输线和此网络之间的电波反射作用。如果阻抗匹配网络是无耗损的,而且其输入阻抗ZL等于传输线的特性阻抗Z0,则能量将可以透过它全部到达负载端。 因为阻抗匹配网络必须将负载阻抗ZL= RL +jXL的RL、XL分别与传输线特性阻抗Z0相对应的电阻与电抗值匹配,为了达到这两种转换,它至少需要「两个调整参数」或「两个自由度(two degrees of freedom)」。(图四)是单株短路线(shorted single-stub)阻抗匹配网络,其等效电路如(图五)所示。两个自由度是由图四中,长度各为d和l的两节传输线提供的。 阻抗匹配网络设计范例 一条50Ω无耗损传输线一端连接天线,此天线的阻抗是ZL=(25-j50)Ω,试求单株短路脚线的位置和长度d和l。 解决方法如下: (1)求得正常化负载阻抗zL=ZL/Z0=0.5 - j1,在史密斯图中可以找到zL的位置。 (2)以圆规在史密斯图上,以zL的振幅为半径划驻波率圆。 (3)在zL相反方向的驻波率圆上,可以找到负载导纳yL=0.4+j0.8,它是位于史密斯图上顺时钟0.115λ直线和驻波率圆相交的点上。 (4)因为yin=Yin/Y0,所以yin必须等于1,才能使Yin= Y0,即yin = ys+yd = 1。史密斯图上的gL=1圆和驻波率圆相交于两个点,这两个点可以求得两个不同的yd,亦即会有两组解决方案。查史密斯图后,可以发现这两个点分别是:1+j1.58、1 - j1.58。 (5)当yin = 1+j1.58时,它是在史密斯图顺时钟0.178λ的位置。d=(0.178-0.115) λ=0.063λ,这就是短路脚线和负载之间的距离。因为yin = ys+yd,所以可以求得ys= -j1.58,位于史密斯图顺时钟0.34λ的位置上。因为短路的正常化电导是∞,所以,短路脚在线的正常化负载电导是位于史密斯图顺时钟0.25λ的位置上,短路脚线到分路点的距离l就等于(0.34-0.25) λ=0.09λ。 (6)同理,当yin = 1- j1.58时,可以求得d=0.207λ、ys= j1.58、l=0.41λ。 虽然,使用离散(discrete)组件也可以达到阻抗匹配的目的,但是当频率不断增加或成几何级数衰减时,传输线和脚线(stub)的成本效益比最高。脚线是传输线的一小部份,它只是单纯地被用来消除输入电抗,对其它电路组件是无害的。 它以两种身份加入:一是开路ZL=∞、一是短路ZL=0。从前面的Z方程式中可以发现,当使用开路脚线时,输入阻抗等于-Z0cot(l*2/)j,这是一个电容;当使用短路脚线时,输入阻抗等于Z0 tan(l*2/)j,这是一个电感。添加脚线之后,自然就具备了与离散电抗组件(电感和电容)相同的性能,而且效果更好、成本更省。在许多射频调谐器(RF tuner)、消除电磁干扰(EMI)、天线的电路中,除了常见到离散电抗组件以外,常常还可以看到一些短短一截的脚线,其目的就是要消除输入电抗,使输入阻抗和传输线的特性阻抗能够完全匹配。 |
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