几何偏微分方程，曲率流和度量变分

图1. 拓扑四边形的共形模，极值长度。

计算共形几何中的经典方法包括求解椭圆型几何偏微分方程，曲面Ricci曲率流和黎曼度量的共形变分法。这几种方法各具特色，相辅相成，无法相互替代，各有千秋。

椭圆型几何偏微分方程一般是线性方程，可以算出黎曼面上的全纯微分，其微分算子取决于黎曼度量，解空间的维数由拓扑决定，例如黎曼-罗赫定理；曲面Ricci曲率流可以根据曲率来求出度量，本质上是凸优化问题；黎曼度量在共形等价类中的变分可以求出黎曼面上的特殊平直度量和带测度的叶状结构，可归结为凸域上的二次规划问题。

奇妙的是，这三种典型方法都可以用来计算拓扑四边形的共形模。我们今天通过剖析拓扑四边形的共形模这一最为简单的例子，来玩味体会这三种方法的内在风格。

图2. 拓扑四边形，共形映射。

假设是亏格为0的曲面，带有一条边界，是边界上逆时针排列的四个角点，将边界分成四段，连接和。

几何偏微分方程

这种方法开门见山，直接了当，因而复杂度最低，但是普适性也较低。共形映射被表示为两个共轭的调和函数，，这里坐标函数满足传统的拉普拉斯方程，

,

共形映射为， 这里常数c等于函数u的调和能量

，

假如我们采用等温参数，则黎曼度量具有表示形式

，

则Laplace-Beltrami微分算子的局部表示为

。

图3. 共轭调和函数u（右帧）和v（左帧），全纯函数（中帧）。

我们可以用经典的曲面有限元方法来求解。首先，我们在人脸曲面上采样，然后构造三角剖分，将每个曲面三角形变形成欧式三角形，从而用多面体网格来逼近初始光滑曲面。这里，我们应该小心地选择采样和三角剖分，从而确保离散多面体网格的法向量，度量，曲率等收敛到光滑曲面对应的几何量，细节请参看【几何逼近论-从离散几何角度谈陈省身示性类】。然后，我们用离散曲面上的分片线性函数来逼近光滑曲面上的光滑函数，分片线性函数的调和能量直接计算得出：

，                          

这里是边上的余切权重：若与两个三角形相邻，            

                            

则余切权重为

，

如果在离散曲面的边界上，则它只和一个三角形相邻，则

。

调和能量达到极小时，我们得到离散Laplace方程，

。

我们将问题转化为解大规模稀疏线性系统的问题。在适当的三角剖分下，线性系统中的离散Laplace矩阵是对称正定阵，利用共轭梯度法，我们可以在线性时间内得到解。如果我们增加采样点，加细三角剖分，并且保证三角剖分的质量，那么我们得到的离散调和函数，在特定范数的意义下，收敛到光滑的调和函数，

这种方法可以推广到计算拓扑复杂曲面上的调和微分形式和全纯微分形式，其解空间的维数取决于曲面的拓扑。

Ricci曲率流

曲率流的方法将黎曼度量形变，形变量和曲率成正比，使得曲面的曲率依随时间而演化，其演化规律满足非线性的热扩散方程。令曲面的黎曼度量张量为，那么曲面Ricci曲率流定义为：

这里是曲面的欧拉示性数，是曲面的初始面积。Hamilton和Chow证明了曲面Ricci曲率流收敛到常值曲率度量，在流的过程中曲率不会发生爆破。可以看出Ricci曲率流是度量的共形变换，

，

假如是定义在曲面上的目标曲率，那么Ricci曲率流可以被推广成

。

有多种方法将连续的曲面Ricci曲率流转化成离散算法，我们这里介绍最为简单直观的方法：瑟斯顿的圆盘填充方法（Thurston's Circle Packing）。共形映射将无穷小圆映成无穷小圆，圆盘填充方法将无穷小圆换成有限圆，变化圆的半径，但是保持圆和圆之间的相切的组合关系，如此得到的分片线性变换就是离散共形变换。

图4. Circle Packing 离散黎曼映照。

如图4所示，假设有一个平面区域，如左帧所示，我们定义其三角剖分，每一个顶点对应一个圆盘，每条边上的两个圆盘和彼此相切。我们变化所有圆盘的半径，保持圆盘间的相切关系，因而保持三角剖分的组合结构，最后得到右帧所示结果，所有边界圆都和单位圆相切，T成为单位圆盘的三角剖分，从左帧到右帧，每个三角形都是线性变换，我们得到分片线性变换。瑟斯顿猜测，当三角剖分T无限细分下去，将会收敛于经典的黎曼映照。Rodin和Sullivan证明了瑟斯顿猜测。

下面，我们给出离散Ricci流基本框架。离散共形因子被定义成顶点圆半径的对数，；顶点处的离散曲率定义成角欠，

，

则离散曲率满足高斯-博内定理，

。

离散Ricci曲率流和连续情形相一致，

。

离散曲率流是离散熵能量的梯度流，

，

熵能量在空间

上是严格凸函数，因此其梯度映射

是单射，这就证明了解的唯一性，即在相差一个相似变换的意义下，离散共形度量由离散曲率唯一决定。但是，存在性证明困难得多，即什么样的目标曲率存在相应的共形度量。下面，我们给出熵能量的凸性证明。

图5. 一个带有圆盘填充的三角形。

如图5所示，每个边的边长由顶点圆盘的半径之和给出，

每个内角由欧式三角形的余弦定理给出，

存在唯一的圆同时和三个顶点处的圆相互垂直，我们称之为Power Circle，如图中红色圆所示，power circle的半径为

我们定义离散共形因子，直接计算得到如下的对称关系

由此，我们得到微分形式

，

是闭的微分形式，因为等于

由对称性，右式为0。这意味着微分形式可积，我们可以定义三角形上的熵能量

，

其Hessian矩阵为

在空间中，Hessian矩阵负定，能量为严格凹函数。整个T上的熵能量等于各个面上熵能量之和，

，

因此，全局的熵能量是凸函数。

离散Ricci曲率流解的存在性证明比较艰深，最近我们给出一个严格证明，有兴趣的读者可以研究一下【1】。

图6. 拓扑四边形的共形模-由Circle Packing方法得到。

如图6所示，我们设所有的角点目标曲率为，其他内点处的目标曲率处处为0，边界点处的目标测地曲率处处为0。离散曲率流直接给出共形模。从计算角度而言，这种方法本质是凸优化。

度量变分法

我们考察【共形模-离散，连续理论的有机统一】所解释的极值长度方法。考察所有连接左右两侧的路径，

令是和初始度量共形等价的任意一个度量，那么从左到右的最短距离为

这里是路径在度量下的长度。曲面上曲线族的极值长度定义为

这里是曲面在度量下的面积，取遍所有和初始度量共形等价的度量。

在离散情形下，我们三角剖分曲面，在边界上选取四个顶点，将外边界分成四段。 在顶点上我们定义离散共形因子，路径的长度定义为

，

所有连接左右两侧的路径构成路径族。整个图的总面积为

我们将离散共形因子表示成空间中的向量：，每个分量非负，同时对于曲线族中的所有路径，要求其长度不小于1，，所有满足这些线性不等式条件的构成中的凸集，

，

总面积为的二次函数，其水平集为椭球族。椭球和凸集的切触点存在并唯一，在此点总面积达到最小，离散极值长度被达到。同时离散极值长度诱导一个方块镶嵌的模式。

图7. 拓扑四边形的共形模，由极值长度法得到。

图7给出一个计算示例，和图6中的三角剖分相同，极值长度的度量给出了方块镶嵌。从计算角度而言，这种方法本质上是凸域内的二次规划。

图8. 美国各个州之间的连接关系图。

图9. 由图8中的三角网得到的方块镶嵌。

图8显示了美国地图，我们根据各个州（包括大西洋海域，加拿大，密执根湖）的地理连接关系构造了一个三角剖分，然后计算这个三角剖分的极值长度，在图9显示了相应的方块镶嵌，每个州被映成正方形，若两个州比邻而居则它们对应的方块彼此接触。

总结和展望

我们系统地发展了几何偏微分方程法【2】和Ricci曲率流方法【3】，从而我们可以计算各种曲面的共形不变量。在未来的岁月中，我们会详尽加以解释。度量共形变分方法的理论和算法相对不成熟，存在许多尚未理解的问题。从目前已知的理论来看，这一方向应该具有很大潜力，它能揭示其他两种方法无法直接触及的层面。

【1】Xianfeng Gu, Feng Luo, Jian Sun, Tianqi Wu, "A Discrete Uniformization theorem for polyhedral surface", arXiv:130.4175

【2】

Xianfeng Gu and Shing-Tung Yau. Computational Conformal Geometry, Series: Advanced Lectures in Mathematics, Vol 3, Publisher: International Press and Higher Education Press, ISBN 978-1-57146-171-1, 2007.

【3】Wei Zeng, Xianfeng Gu, Ricci Flow for Shape Analysis and Surface Registration -Theories, Algorithms and Applications, Springer, 2012.