logo
搜索
我的图书馆

发文章

发文工具

其他工具

留言交流
搜索
分享

李雅普诺夫函数

 容斋承筐 2015-12-07

李雅普诺夫函数（Lyapunov function）是用来证明一动力系统或自治微分方程稳定性的函数。其名称来自俄罗斯数学家亚历山大·李雅普诺夫（Aleksandr Mikhailovich Lyapunov）。李雅普诺夫函数在稳定性理论及控制理论中相当重要。

若一函数可能可以证明系统在某平衡点的稳定性，此函数称为李雅普诺夫候选函数（Lyapunov-candidate-function）。不过目前还找不到一般性的方式可建构（或找到）一个系统的李雅普诺夫候选函数，而找不到李雅普诺夫函数也不代表此系统不稳定。在动态系统中，有时会利用守恒律来建构李雅普诺夫候选函数。

针对自治系统的李雅普诺夫定理，直接使用李雅普诺夫候选函数的特性。在寻找一个系统平衡点附近的稳定性时，此定理是很有效的工具。不过此定理只是一个证明平衡点稳定性的充分条件，不是必要条件。而寻找李雅普诺夫函数也需要碰运气，通常会用试误法（trial and error）来寻找李雅普诺夫函数。

李雅普诺夫候选函数的定义[编辑]

令

V:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}

为标量函数。
若要V为李雅普诺夫候选函数，函数V需为局部正定函数，亦即

V(0) = 0 \,
V(x) > 0 \quad \forall x \in U\setminus\{0\}

其中 U 是 x = 0 的邻域。

系统平衡点的转换[编辑]

令

g : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n
\dot{y} = g(y) \,

为一个自治（autonomous）的动态系统，其平衡点为y^* \,:

0 = g(y^*) \,

可利用x = y - y^* \, 的坐标转换，使得

\dot{x} = g(x + y^*) = f(x) \,
0 = f(x^*) \quad \Rightarrow \quad x^* = 0 \,

在新的系统 f(x) 中，其平衡点为原点。

若系统的平衡点不是原点，可用上述的方式，转换为另一个平衡点为原点的系统，因此以下的说明中，均假设原点是系统的平衡点。

自治系统的基本李雅普诺夫定理[编辑]

令

x^* = 0 \,

为以下自治系统的平衡点

\dot{x} = f(x) \,

且令

\dot{V}(x) = \frac{\partial V}{\partial x} \frac{dx}{dt} = \nabla V \dot{x} = \nabla V f(x)

为李雅普诺夫候选函数V的时间导数。

稳定平衡点[编辑]

若在平衡点的邻域\mathcal{B}，李雅普诺夫候选函数V为正定，且其时间导数半负定：

\dot{V}(x) \le 0 \quad \forall x \in \mathcal{B}

则此平衡点为一稳定的平衡点。

局部渐近稳定平衡点[编辑]

若在平衡点的邻域\mathcal{B}，李雅普诺夫候选函数V为正定，且其时间导数为负定：

V(x) > 0, \dot{V}(x) < 0 \quad \forall x \in \mathcal{B}\setminus\{0\}

则此平衡点为一局部渐近稳定的平衡点。

全域渐近稳定平衡点[编辑]

若李雅普诺夫候选函数V为全域正定，其时间导数为全域负定：

V(x) > 0, \dot{V}(x) < 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}^n\setminus\{0\},

且V满足以下的条件（称为“径向无界” radially unbounded）：

\| x \| \to \infty \Rightarrow V(x) \to \infty .

则此平衡点为一全域渐近稳定的平衡点。

参见[编辑]

参考资料[编辑]

外部链接[编辑]

    本站是提供个人知识管理的网络存储空间，所有内容均由用户发布，不代表本站观点。请注意甄别内容中的联系方式、诱导购买等信息，谨防诈骗。如发现有害或侵权内容，请点击一键举报。
    转藏 分享 献花（0）

    来自： 容斋承筐 > 《数学》

    举报/认领

    0条评论

    发表

    请遵守用户 评论公约

    类似文章 更多