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函数 一：定义：定义域到值域的映射。
二：映射：若集合A中的每一个元素，按照一定的对应关系，F在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，称F为A—>B的一个映射。 注：（1）可以多个对应一个，不可以一个对应多个。 （2）A集合中的每一个元素在B集合中必须有一个元素与之对应，B集合不一定要与之对应。
一一映射：若f为A→B的映射，而且B中的每一个元素，在A中也有唯一的一个元素与之对应，则f是A→B的的一个意义映射。 注：一一映射的函数一定是严格的单调函数。
三：函数的三要素： （1）:定义域：自变量的取值集合。 （2）值域：因变量的取值集合。 （3）对应关系 注：两函数要表示同一个函数或两函数图像完全相同，则只能是定义域与对应关系f相同。
求函数定义域的方法与技巧： （1） 所求函数中的定义域，以及已知条件函数中的定义域，都仅仅只是指自变量X的取值范围。 例：已经f(2x-1)的定义域[2,3]，求出f(x)与f(x-1)的定义域。 解：设2x-1=t 4≦2x≦6 5≦2x-1≦7 f(x)的定义域为[5,7]. 令x-1=t 4≦x≦6 f(x-1)的定义域为[4,6]. 注：求函数的定义域要满足分母不为0，被开方数必须大于等于0，对数的真数必须大于0.
函数的三种表示方法： （1）分析式法 （2） 图像法 （3） 列表法
求函数值域的方法与技巧： 方法一：观察法 例：f(x)= 解：f(x)的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞） ①当x—>0时f(x)=y—> +∞ 当x—>+∞时f(x)=y—> 0 ②当x—>0时f(x)=y—> -∞ 当x—>-∞时f(x)=y—> 0 综上可得，f(x)的值域为（-∞，0）∪（0，+∞）
方法二：换元法 将函数中带一个根号的部分，带高次幂的部分及复合函数中的基本函数用一个新的未知元替换，并求出新未知元的取值范围。
方法三：分离变量 函数的基本性质 （1） 函数的奇偶性 注：函数要有奇偶性，定义域要关于原点对称。
1：奇函数 定义：若函数图像关于原点对称，则称函数为奇函数。 基本性质：f(-x)+f(x)=0 f(-x)=-f(x) 奇函数在x=0处有意义，则一定有f(0)=0,在x=0处可以无意义。 例：下列说法中不正确的是（B） A:图像关于原点成中心对称的函数一定是奇函数。 B:奇函数的图像一定经过原点。 C：若偶函数的图像不经过原点，则它与X轴交点的个数一定是偶数。 D：图像关于Y轴对称的函数一定是偶函数。
对于多项式的函数，函数要为奇函数，则必须有x的偶次幂系数为0，偶函数系数必须为0，常数也必须为0.
例：设f(x)是定义域在（-∞，+∞）上的奇函数，且x>0时有f(x)=X2+1，则f(-2)=? 解：f(2)=22+1 =5 f(-2)=5 若函数为奇函数，则函数在关于原点对称区间，单调性一定是相同的。 若函数为奇函数，则函数在定义域内有最大值，一定有最小值，且最大值与最小值之和一定为0.
例：若h(x),g(x)均为奇函数，f(x)=ah(x)+bg(x)+2在（0，+∞）上有最大值5，则在（-∞，0）上，f(x)最小值___-1__. 解：f(x)max=5 ah(x)+bg(x)+2=5 ah(x)+bg(x)=3 f(-x)= ah(-x)+bg(-x)=-3 -3+2=-1 注：奇函数加减奇函数还是奇函数，奇函数乘除奇函数为偶函数，奇函数乘除偶函数还是奇函数，奇函数加减偶函数则为非奇非偶。 若奇函数有零点，则过原点一定有奇函数个零点；若不过原点，则有偶函数个零点，且所有零点之和为0.
偶函数 定义：若函数图像关于Y轴对称，则函数为偶函数。 性质：f(-x)=f(x),则函数为为偶函数。
注：判断偶函数的基本步骤， （1） 求出函数的定义域（定义域必须关于原点对称）。 （2） 求出f(x)与f(-x)比较，若f(x)=f(-x),则f(x)为偶函数. （3） 偶函数关于原点对称，区间单调性是相反的。 （4） 若函数有零点，过原点有奇数个零点，不过原点有奇数个零点，所以零点和为0. （5） 奇函数的倒数是偶函数，偶函数的倒数是奇函数。 （6） 对于多项式函数要为偶函数，则所有奇次幂，奇函数系数必须为0，常数不用为0. 注：存在既是奇函数，也是偶函数的函数。 例：f(x)=0 |
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