三角形的心——心心相连

三角形的心——心心相连

“心心”相连，“心”有灵犀

    数学学到平面向量，用向量来表示三角形的“心”是很有意思的事。但，历来的遗憾都是，很多学生不知道这些“心”是什么，而且学过之后总是忘记。功利化一点说，“四心”是高考考点，事实上，问题发现本身的乐趣就是一种牵引。整理一下，三角形有“心”有很多，相应的性质研究还远未结束，虽然一些“心”的发现与证实充满艰辛，除了有限的应用价值，更离不开对美的探寻与向往。
    每个“心”的做法、相应的性质及实际价值等有时间会陆续补充，个别内容来自维基百科，纠正了其中部分漏洞与错误。
    以下按图顺序，介绍三角形的部分“心”。
    重心：三条中线的交点。（重心把每条中线内分为2：1两段；三角形外心和重心的距离等于垂心与重心的距离的一半；重心到三条边的距离与三条边的长成反比；重心到三角形3个顶点距离的平方和最小……）
    外心：三边中垂线交点。（外接圆的圆心；锐角三角形的外心在形内，钝角三角形的外心在形外，直角三角形的外心与斜边中点重合……）
    垂心：三条高线交点。（垂心分每条高线的两部分乘积相等;三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆；三角形外心和重心的距离等于垂心与重心的距离的一半……）
    内心：三个内角角平分线交点。（内切圆的圆心；内心到三边距离相等；连结内心与三个顶点会得到三个面积相等的三角形……）
    旁心：一个内角平分线与另两个角的外角平分线交点。（旁切圆圆心；每个三角形都有三个旁心；旁心到三边的距离相等……）
    界心：D、E、F分别在ABC的三边BC、CA、AB上，且把周长分成两条等长的折线，AD、BE、CF三线共点。界心又叫做奈格尔点。有趣的是，D、E、F三点恰好是旁切圆与三边的切点。
    陪位重心：AD、BE、CF为三角形的中线，D'、E'、F'分别在BC、CA、AB上，若∠BAD=∠D'AC，∠CBE=∠E'BA，∠ACF=∠F'CB，则AD'、BE'、CF'三线共点。
    布洛卡点：设P是△ABC内一点，若∠PAB=∠PBC=∠PCA=ω，则点P称作△ABC的布洛卡点。（图中所做为第一类布洛卡点或正布洛卡点；若∠QBA=∠QCB=∠QAC=ω，则点Q称作△ABC的第二类布洛卡点或负布洛卡点。
    伪垂心：设AD、BE、CF为△ABC的三条高，D、E、F关于三边中点的对称点为D'、E'、F'，则AD'、BE'、CF'三线共点。
    葛尔刚点：△ABC内切圆切三边与D、E、F，AD、BE、CF的共点。
    威毕特点：△ABC两边AB、AC各向外正方形ABDE、ACFG，BF、CD交于N，则AN垂直于BC。
    费马点：△ABC三边各向外做正三角形ABC'、BCA'、CAB'，则AA'、BB'、CC'三线共点，该点到三顶点距离和最小。（另：在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点。）