从零讲：牛顿把月亮和苹果统一了

在牛顿之前，运动学有两支：一是天上的现象，由开普勒的三个运动定律所规范；另一则是地表的现象，就是伽利略所描述的落体及抛体运动。在1665及1666这两年，牛顿为了躲避瘟疫而住在乡闲农场，开始认真思考统合运动学的问题。他想苹果掉地可解释为地球有个力量拉着苹果，同理，那么行星绕日运动是否可解释为太阳有个力量拉着行星呢？这两股力量是否一样呢？其方向与大小该如何描述呢？牛顿断断续续以不同角度探索这些问题，一直到1684年用自己发明的微积分解决了一些难题之后，万有引力公式再也没有疑问，才确立了万有引力的想法与计算公式， 于是他开始编写《自然哲学的数学原理》一书，并于1687年出版。由于这段探索过程曲曲折折，这方面的文献有争议之处甚多，而且科学历史的细部发展有时并不按逻辑顺序的，对于启蒙者而言，这种曲折发展史反易构成学习障碍。这里打算将牛顿近二十年万有引力研究的前期探索过程做一扼要回顾，虽然这期间已有苹果落地的轶闻，笔者也将其改编成较易联想的版本，有兴趣请参阅本系列博文【苹果砸牛顿与情人】内文，然而拿这些故事材料来当引发兴趣是可以的，但想当启蒙敲门砖却不行。缺乏数理材料的铺路，是没有办法走入物理殿堂的大门。为什么月球从来都不被吸引到地球上？为什么地球和其他行星不被吸引到太阳上去？一切都在好奇心驱使下开始的，并以较为简易推理技巧和直接相关事物的逻辑顺序铺陈开来，而且，不需要向量的知识，就能进行相关推演。

牛顿对行星运动的探索过程是先从研究月球环绕地球的运动开始的，是以行星运行轨道大致为圆形进行估计。牛顿好奇地想，如果没有任何力作用于月球的话，根据伽利略建立的惯性理论：「不受外力作用的物体，沿一直线作匀速运动。」，可推知月球就应当进行匀速直线运动，然而实际现象恰恰不是这样，月球却是绕地球作圆周运动，所以月球必定要受到力的作用才行。“没有这种力的作用，月球不可能保持在自己的轨道上运动；倘若这个力比轨道所需的力还小，则它使月球偏离直线的程度不够，月球自当会飞离地球；如果这个力比轨道所要求的力还大，则它使月球偏离直线的程度太大，并使月球的轨道更靠近地球。”牛顿当年这样辩思着。牛顿运用正反合辩思方法，推想出行星运行所受到的力，是一种连续地指向一确定中心的作用力。

月球持续前飞，又一直受力而下落，只是地球是圆的，在向心力作用下，恰能维持圆形轨道而不落地

月球持续往前飞，又一直受到力的作用而下落，只是地球是圆的，如有合理的向心力作用下，恰能维持圆形轨道，所以落不到地面，也没飞离地球。总的来讲，月球一直沿着圆形轨道的切线方向飞出，但有一股向心力一直"恰好"把月球拉回来，结果，月球永远在圆形轨道上运动，正是上头左图所描述的那样。为了证明向心力的存在，这里将找出计算向心力的几何分析方法。首先从上头左图中，抽离出在同一片刻时段里的相关细节，例如月球向地球下落的距离、月球切线速度在同一时间片刻所飞行的距离，物理几何图像都是以"向心力恰好把月球拉回到圆形轨道上"为基础来绘制的，详情如上头右图所示，接着进行如下的几何分析与计算。

这里是以距离这项直接证据为准，不需要向量的知识，就能进行相关推演。于上头右图代表月球以速率 V_o 绕半径 R 做圆周运动，这里反向思考在一短片刻时间 t（假设 t 很小， t→0）所发生的运动情形。如果月球没有下落而往前飞行距离为 V_o t，其位置离地心的距离为圆轨道之月地距离，再补上沿径向坠下的落差，这就形成以 t=0 为基准的直角三角形，情况正如右上图所示。其中，红线线段代表月球于时间  t 内沿切线所行进距离，至于紫线线段则代表月球于时间 t 内受向心加速度 a 所落下距离。  则由毕氏（勾股）定理，得知三角形两股长度与斜边距离的关系式如下：

(R + 0.5 a t² )²= R² +(V_o t)²

R² + R a t²≒ R² +(V_o t)² ( 因 t 很小，忽略 t⁴ 項）

R a t²= (V_o t)²

∴ a = (V_o)²/ R

上式证明了正是这个向心力，恰好使得月球落下來後，时时刻刻在圆形轨道上运行。

由于月球绕着地球运行的情形，就像行星绕着太阳的运动一样，因此，应满足开普勒第三定律，如是这样，那刚刚求得之向心力会有何性质？特别想知道是与距离之间的关系。又，开普勒第三定律说：绕同一中心天体的所有行星轨道距离(R)的三次方，与行星公转周期(T)的平方的比值是固定的，因此可令R³/T²=k 為定值，这里的k是开普勒常数的倒数，它仍然还是常数。将月球轨道长度除上运转周期，就等于是月球在轨运行速率，然后将此以及月地距离带入到前一个向心力式子里头的相关物理量，再与前一个所新定义的常数做一代换，就能得到下列关系式：

从上述的推导结论，可得出月亮天体运行的向心力同距离平方反比的规律。接下来，需要找到合理的观察数据，进行对月亮向心力的定量分析。然而，这里所需要月球运转周期，在天文观测上有两种定义，一种是以地球为中心并用北极星当参考系所观察的月球公转周期，转一圈是27.32天；另一种是以太阳为中心，观察月球被太阳照射的方向和从地球看见的一个月的变化，结果是月球的相位，当日、月、地成一直线后转一圈回到日、月、地成一直线所经历的周期为29.53059天，实际情况如下图(取材自维基百科)所示：

在上图中，月球从最左边日、月、地成一直线开始运行到上图最右边的日、月、地成一直线为止，这个周期叫一个朔望月，此周期与月球公转周期相差时间，正是上图最右边月球掠过青色区块所表示的时空差异。很显然，这里要的是以地球为中心的月球运行轨道，因此是以月球公转周期为准，而不是一个朔望月的周期，这里需要额外的天文知识必须先搞清楚，否则带错数据算错值，那就走了冤枉路。接下来，将进行对月亮向心力的定量分析，以及借助前面用开普勒第三定律推知的平方反比定律，来求证月亮向心力与苹果重力是否为同一件事？如是，那就表明地球引力提供月亮环绕地球运作的向心力。只要证明地球对月球的引力确实就是月亮绕地球运行所需的向心力，同时也是苹果下落所需的重力，那么行星之间都有相互吸引力的推论就是正确的了。

首先，要怎么求得月亮绕地球飞行的速率 V_o 呢？是可将它的绕地轨道长除以绕地球周期来算得其值(V_o ＝2πR/T)，又，从地球到月球的平均距离是 R＝384,401公里，从而可以估算得到月亮的向心加速度 a＝V_o²/R＝4π²R/T²＝0.00272 米/秒²(月球公转周期 T=27.32 天＝2.36×10⁶秒)。这是天上的规律。那么地球吸引苹果的力呢？它的加速度就是自由落体的加速度 g＝9.8米/秒²。前面已经根据开普勒三定律推得月亮的向心加速度与它们间的距离平方成反比，天上与地下的规律若是一个样，那么这个比例是成立的。如果月亮与苹果都是一种同样的作用力，则 a/g＝r²/R²( r 是地球半径，即苹果到地心距离；R 是地月间距离，且地球与月球的距离正好约为地球半径的 60 倍)。又，已知 g=9.8，R=60r，从而可以计算得到 a＝9.8×(1/60)²＝0.00272 米/秒²。妙极了，从不同的途径竟能推出一样的结果，月亮绕地球运行所需的向心力，确实是苹果下落的重力，其所以大小不同，只是由于它们的质量和相互间的距离不同。这就证明天上和地下，苹果和月亮受力，原来是一家啊。不是一家人，不入一家门，是可以统一了。

以上简单估算的结果，得到了月球受的向心力就是重力的结论，这样牛顿就把地面落体运动的原因和月球运行的原因给统一了。而且牛顿也知道了，月球受一指向地球的力的作用，它与月球到地心距离的平方成反比，这种平方反比定律的性质，是满足开普勒第三定律的，使得月球不能出离轨道的力的原因可推广于一切行星，就可以从行星与太阳之间有吸引力等现象出发，认为这些和月地之间的现象系同类现象。这样，牛顿就把天体和其运行中心之间的力都归于引力。牛顿虽然很满意，但实际天体问题比想象的还要复杂，例如行星轨道是椭圆运动，还有许多坎要突破与跨越，这些牛顿得花近二十年时间才将他的引力定律加以细究与发挥，更进一步建构完成后世永流传的经典万有引力定律。艾萨克·牛顿，1687年《原理》：“宇宙中的所有物体都相互吸引，引力的方向沿着物体中心的连线，与各物体的质量成正比，与两物体之间距离的平方成反比。”。