勾股定理趣题

（选自《数论妙趣——数学女王的盛情款待》第十四章　不朽的三角形）

几乎人人都知道32＋42＝52，这是勾股定理的应用。该定理说：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。但是很少有人知道，5,12,13这些数同样能满足上述关系，而又与3,4,5不成比例。至于知道7,24,25也能满足同样关系的就更少了。

能给出直角三角形整数边长的公式是：

　　　　　　　　一条直角边：X＝m2－n2，

　　　　　　　　另一直角边：Y＝2mn

　　　　　　　　斜　　　边：Z＝m2＋n2

式中，m，n是任意正整数。

　　下面是一些实例：（表1）

　　　 　m      n    X＝m2－n2　　Y＝2mn　 Z＝m2＋n2

　　　 　2　　　1　　　　3　　　　　 4　　 　　5

　　　 　3　　　2　　　　5　　　　  12        13

         5      2       21     　   20        29

         9      6       45     　  108       117

         5      3       16     　   30        34

         4      3        7     　   24        25

         6      1       35      　  12        37

        18     17       35      　 612       613

         9      8       17      　 144       145

         4      1       15       　  8        17

m，n有时称为母数。如果我们把连续正整数对取作m，n值，这时，较长的直角边Y与斜边Z是连续正整数：（表2）

　　　　　　m      n      X      Y      Z

          　2      1      3      4      5

   　　     3      2      5     12     13

       　   4      3      7     24     25

         　 5      4      9     40     41

          　6      5     11     60     61

          　7      6     13     84     85

如果把（表2）中的直角边Y，X当作母数，就能得到斜边为平方数的直角三角形（直角三角形中，只可能有一条边的长度是平方数）：（表3）

　　　　　　m      n       X   　  Y        Z

　　　　　　4　　　3　　　  7      24     25＝52　

　　　　　　　 12      5      119     120    169＝132

　　　　　　　 24      7      527     336    625＝252

               40      9     1519     720   1681＝412

               60     11     3479    1320   3721＝612

　　           84     13     6887    2184   7226＝852

　　如果把（表2）中的Z与Y当作母数，就能得到较小的直角边是平方数的直角三角形：（表4）

　　　　　　m      n       X   　  Y        Z

　　　　　　　　5　　　4　　　 9      40       41

    　　　　　 13     12      25     312      313

               25     24      49    1200     1201

               41     40      81    3280     3281

现在，让我们用三角形数1,3,6,10,15（每个三角形数都是从1开始的连续正整数之和：6＝1＋2＋3；10＝1＋2＋3＋4；15＝1＋2＋3＋4＋5等等）来作母数，此时，最小的直角边X之长是个立方数：（表5）

　　　　　　m      n       X   　  Y       Z

            6      3      27      36      45

           10      6      64     120     136

           15     10     125     300     325

下面是两道非常有趣的题目：

一、在关系式a2＋b2＝c2中，设c＝b＋1，于是，a2＝c2－b2＝(b＋1)2－b2＝b2＋2b＋1－b2＝2b＋1，即a2＝2b＋1。可见a2是奇数，说明a也是奇数。设a＝2n＋1，于是a2＝(2n＋1)2＝4n2＋4n＋1。从a2＝2b＋1得知，b＝(a2－1)/2＝[(4n2＋4n＋1)－1]/2＝2n2＋2n。从而c＝b＋1＝2n2＋2n＋1。

取n为10的幂，得下表：

　　　n　　　a＝2n＋1　     b＝2n2＋2n　　　c＝2n2＋2n＋1

  10   　       21              220                221

 　　102          201            20200              20201

 　　103         2001          2002000            2002001

 　　104        20001         20002000          200020001

  105       200001       2000020000        20000200001

  106      2000001     200000200000      2000002000001

于是，得到一个由勾股定理形成的数字宝塔：

212＋2202＝2212

2012＋202002＝202012

20012＋20020002＝20020012

200012＋2000200002＝2000200012

2000012[phone]002＝200002000012

20000012[phone]002＝20000020000012

如果取n＝20，得下表：

　　　　 n　　 　a＝2n＋1　 　b＝2n2＋2n　　c＝2n2＋2n＋1

  2×10            41             840              841

 　　2×102           401           80400            80401

  　 2×103          4001         8004000          8004001

   　2×104         40001       800040000        800040001  

　 　2×105        400001     80000400000      80000400001

　 　2×106       4000001   8000004000000    8000004000001

又得到一个由勾股定理形成的数字宝塔：

412＋8402＝8412

4012＋804002＝804012

40012＋80040002＝80040012

400012[phone]2＝8000400012

4000012[phone]2＝800004000012

40000012[phone]2＝80000040000012

二、从a＝6n＋9，b＝2n2＋6n，c＝2n2＋6n＋9开始，n取10的正整数次幂，也可以得到一个由勾股定理形成的数字宝塔：

692＋2602＝2692

6092＋206002＝206092

60092＋20060002＝20060092

600092[phone]2＝2000600092

6000092[phone]2＝200006000092

60000092[phone]2＝20000060000092

　　其实，勾股定理本身，就是一座云蒸霞蔚光芒四射的宝塔。